312　指数函数（3）

1、姓名：范金泉姓名：范金泉 单位：宿迁市马陵中学单位：宿迁市马陵中学情境问题：情境问题：一般地，函数一般地，函数y=ax(a0且且a1)叫做指数函数叫做指数函数指数函数的定义：指数函数的定义：某工厂今年的年产值为某工厂今年的年产值为a万元，为了增加产值，今年增加了新产品的万元，为了增加产值，今年增加了新产品的研发，预计从明年起，年产值递增研发，预计从明年起，年产值递增15%，则明年的产值为，则明年的产值为 万万元，后年的产值为元，后年的产值为 万元若设万元若设x年后实现产值翻两番，则年后实现产值翻两番，则得方程得方程 a(115%)a(115%)2(115%)x2数学建构：数学建构：在实际问题中

2、，经常会遇到类似的指数函数模型，设原有基数在实际问题中，经常会遇到类似的指数函数模型，设原有基数(如今如今年的产值年的产值)为为m，平均增长率为，平均增长率为p，则对于经过时间，则对于经过时间x后的数值后的数值y要以用要以用ym(1p)x表示我们把形如表示我们把形如ykax(k R，a0且且a1)的函数称为指数型的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型函数，这是非常有用的函数模型2递增的常见模型为递增的常见模型为y(1p%)x(p0)； 递减的常见模型则递减的常见模型则为为y(1p%)x(p0) 1指数型函数，常见于工农业生产，环境治理以及投资理财等；指数型函数，常见于工农业生产，环境治理

3、以及投资理财等； 数学应用：数学应用：例例1某种放射性物质不断变化为其他，每经过一年，这种物质剩留的某种放射性物质不断变化为其他，每经过一年，这种物质剩留的质量是原来的质量是原来的84%，写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式，写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式截止到截止到1999年底我国人口约年底我国人口约13亿如果今后能将人口平均增长率控亿如果今后能将人口平均增长率控制在制在1%，那么经过，那么经过20年后，我国人口约为多少年后，我国人口约为多少(精确到亿精确到亿)？变式：变式：数学建构：数学建构：对于实际应用问题还有两点必需注意：对于实际应用问题还有两点必需注意：一是精确度的问题

4、，同学们在解决问题时往往忽视题中的精确度；一是精确度的问题，同学们在解决问题时往往忽视题中的精确度；二是定义域，在实际问题中函数的定义域必需使实际问题有意义二是定义域，在实际问题中函数的定义域必需使实际问题有意义数学应用：数学应用：1一电子元件去年生产某种规格的电子元件一电子元件去年生产某种规格的电子元件a个，计划从今年开始个，计划从今年开始的的m年内，每年生产此种规格电子元件的产量比上一年增长年内，每年生产此种规格电子元件的产量比上一年增长p%，试写出，试写出此种规格电子元件的年产量随年数变化的函数关系式；此种规格电子元件的年产量随年数变化的函数关系式； 2一电子元件去年生产某种规格的电子元

5、件的成本是一电子元件去年生产某种规格的电子元件的成本是a元元/个，计划从个，计划从今年开始的今年开始的m年内，每年生产此种规格电子元件的单件成本比上一年下降年内，每年生产此种规格电子元件的单件成本比上一年下降p%，试写出次种规格电子元件的单件成本随年数变化的函数关系式，试写出次种规格电子元件的单件成本随年数变化的函数关系式 练习：练习：数学应用：数学应用：例例2某医药研究所开发一种新药，据检测：如果成人按规定的剂量服用，某医药研究所开发一种新药，据检测：如果成人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量为服药后每毫升血液中的含药量为y(微克微克)与服药后的时间与服药后的时间t(小时小时)之间

6、近似满足之间近似满足如图曲线，其中如图曲线，其中OA是线段，曲线是线段，曲线ABC是函数是函数ykat的图象试根据图象，的图象试根据图象，求出函数求出函数y f(t)的解析式的解析式A(1，8)yOxB(7，1)C数学应用：数学应用：例例3某位公民按定期三年，年利率为某位公民按定期三年，年利率为2.70%的方式把的方式把5000元存入银行元存入银行.问问三年后这位公民所得利息是多少元？三年后这位公民所得利息是多少元？(利息本金利息本金存期存期利率利率)变式：变式：某种储蓄按复利计算利息，若本金为某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为元，每期利率为r，设存期是，设存期是x，本利和，本利

7、和(本金加上利息本金加上利息)为为y元元(1)写出本利和写出本利和y随存期随存期x变化的函数关系式；变化的函数关系式；(2)如果存入本金如果存入本金1000元，每期利率为元，每期利率为2.25%，试计算，试计算5期后的本利和期后的本利和(复利是把前一期的利息和本金加在一起作本金，再计算下一期利息的一复利是把前一期的利息和本金加在一起作本金，再计算下一期利息的一种计算利息方法种计算利息方法) 数学建构：数学建构：单利与复利：单利与复利：银行存款往往采用单利计算方式，而分期付款、按揭则采用复利计银行存款往往采用单利计算方式，而分期付款、按揭则采用复利计算这是因为在存款上，为了减少储户的重复操作给银

8、行带来的工作压力，算这是因为在存款上，为了减少储户的重复操作给银行带来的工作压力，同时也是为了提高储户的长期存款的积极性，往往定期现年的利息比再次同时也是为了提高储户的长期存款的积极性，往往定期现年的利息比再次存取定期一年的收益要高；而在分期付款的过程中，由于每次存入的现金存取定期一年的收益要高；而在分期付款的过程中，由于每次存入的现金存期不一样，故需要采用复利计算方式比如存期不一样，故需要采用复利计算方式比如“本金为本金为a元，每期还元，每期还b元，元，每期利率为每期利率为r”，第一期还款时本息和应为，第一期还款时本息和应为a(1p%)，还款后余额为，还款后余额为a(1p%)b，第二次还款时

9、本息为，第二次还款时本息为(a(1p%)b)(1p%)，再还款后余额为，再还款后余额为(a(1p%)b)(1p%)ba(1p%)2b(1p%)b，第，第n次还款次还款后余额为后余额为a(1p%)nb(1p%)n- -1b(1p%)n- -2b这就是复利计这就是复利计算依据算依据 数学应用：数学应用：例例420002002年，我国国内生产总值年平均增长年，我国国内生产总值年平均增长7.8%按照这个增按照这个增长速度，画出从长速度，画出从2000年开始我国年国内生产总值随时间变化的图象，年开始我国年国内生产总值随时间变化的图象，并通过图象观察到并通过图象观察到2010年我国年国内生产总值约为年我国年国内生产总值约为2000年的多少倍年的多少倍(结结果取整数果取整数) 数学应用数学应用：3某种细菌在培养过程中，每某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次分钟分裂一次(一个分裂为两个一个分裂为两个)，经经3小时后，这种细菌可由小时后，这种细菌可由1个分裂成个个分裂成个 4我国工