6.2留数概念和留数定理ppt课件

1、1二二.留数留数0z00zz)(zf0z设设 为为 的孤立奇点的孤立奇点,在在 的去心邻域的去心邻域)(zf内内 ， 的的Laurent 展式为展式为: nnnzzCzf)()(0对对上上式式两两边边积积分分得得的的任任一一条条简简单单闭闭曲曲线线，内内包包含含为为000zzzL 12)( iCdzzfL 10001)(21),(Res,),(Res)()(21 CdzzfizzfzzfzzfdzzfiCLL 即即的的留留数数，记记为为在在为为称称20),(Res0 zzf)()(lim),( sRe000zfzzzzfzz )()(lim)!1(1),( sRe01100zfzzdzdmzz

2、fmmmzz 留数计算法：留数计算法：则则的的可可去去奇奇点点为为若若,)()1(0zfz则则级级极极点点的的为为若若,1)()2(0zfz则则级级极极点点的的为为若若,)()3(0mzfz ,0)(,0)(,0)()()(,)()()()4(0000则则解解析析，且且在在及及设设 zQzQzPzzQzPzQzPzf)()(),(zRes 000zQzPzf 1m3 0),(Re12)0(13) 1()0(021)!1(lim)!1(1)()0(11lim)!1(100zzfsCzzCmzzCmCmzzmzfmzzmdzmdzzm 于是证明,)()3(0级级极极点点的的为为若若mzfz的的去去

3、心心邻邻域域内内则则在在0z )()()( )(0101010zzCCzzCzzCzfmm,)()()()(001010 mmmmzzCzzCCzfzz0 mC4）；即即得得（）中中取取（注注：2, 13. 1 m2.从证明过程不难看出，即使极点的级数小于从证明过程不难看出，即使极点的级数小于m,也可也可当作级数为当作级数为m 来计算。这是因为表达式来计算。这是因为表达式)0(01)0(1)0(1()0()( zzCmzzCzzmCmCmzzzf这不影响证明结果。这不影响证明结果。的系数的系数 中可能有一个或几个为零而已中可能有一个或几个为零而已，1,mmCC5 2111( )()fzzz 解

4、0( ),1zfzz为的 二 级 奇 点为 一 级 奇 点2/20210211R e(),lim ()!()zsfzzzz 201 =-11lim()zz 2111111Re ( ), lim()()zs f zzzz 例2 求下列函数的有限奇点并计算留数：662sin( ) ( )zzf zz 00001|zzz,cosz / /z z- -s si in nz z( (z z- -s si in nz z) )= =0 00000010sinsin,zzzzzz /(z-sinz)(z-sinz)(z-sinz)(z-sinz)|( )f z分子的三级零点，为的三级零点。3/002Res

5、( ),0lim( )(3 1)!zzf zz f z01125/sinlim()!zzz 3z6解：有限孤立奇点z=0, z=0为分母的 级零点7(3) ( )coszf zz cos0,(0, 1, 2)2zzkk 解解：令令22(cos )sin0,2z kz kzzk 为为一一级级极极点点121222Re ( ),()()sin()kks f z kkk (0, 1, 2)k 81)(21),(Re CdzzfizfsL 无穷远点处的留数无穷远点处的留数内内解解析析的的去去心心邻邻域域在在无无穷穷远远点点设设 zRzzf)(处处的的留留数数定定义义为为在在则则简简单单闭闭曲曲线线，内内

6、任任一一条条逆逆时时针针方方向向的的为为 )(zfzRL的的系系数数中中展展式式内内的的在在为为其其中中11Laurent)( zzCzRzfCnnn21 1 Res (z),Res ( ),0z zff 9例3 求下列函数在无穷远处的留数：23212( ) ( )()zf zz z lim( )zf zz 解：存在且有界，为可去奇点221 13 2z Res (zRes (0 Res00z z1 2z), ), , ff 21( )( )zf zz 1z 解：时102111 ()zz 11Re ( ),.s f zC 1111( )zf zzz 21 1 Res (z),Res ( ),0z

7、 zff 另另法法：22111Res,0Res,01(1)1zzzzz 112414( )zef zz 例 ：求的所有奇点及对应的留数。244401111212( )()!znnnnnefzzzzznn .340),(Re1 Czfs341lim!310),(Re)3(4240 zezzfszz解法法1)(zf所以，所以，0为为 的三级极点，且的三级极点，且法2因为因为0是分子的一级零点，是分母的四级零点是分子的一级零点，是分母的四级零点，)(zf所以所以0是是 的三级极点，取的三级极点，取 m=4,由公式由公式 2 得.34),(Re1 Czfs12 Lnkkzzfsidzzf1),(Re2

8、)( 三三.留数定理留数定理)(zf定理定理1 设函数设函数 在区域在区域D内除有限个孤立奇点内除有限个孤立奇点nzzz,21外处处解析，外处处解析，L是是D内包围诸奇点的内包围诸奇点的一条逆时针方向简单闭曲线，那么条逆时针方向简单闭曲线，那么由复合闭路定理由复合闭路定理,得得利用这个定理，可将求沿封闭曲线利用这个定理，可将求沿封闭曲线L的积分的积分，转化为求被积函数在转化为求被积函数在L中的各孤立奇点处的留数中的各孤立奇点处的留数。130),(Re),(Re1 nkkzzfszfs)(zf定理定理2 如果函数如果函数 在扩充的复平面内除有限在扩充的复平面内除有限个点总和必等于零点总和必等于零

9、, ）的留数的）的留数的即)(zf孤立奇点外解析，那么孤立奇点外解析，那么 在所有各奇点（包括在所有各奇点（包括14222211d112:( )() ():(),LIzzzL xyxy 例1逆时针。222211111112( ),() (),:()().f zzzizzzziLxy 解：的奇点为在内I2 i(Res1Res ( ), ( ), )f zf z i 由留数定理一：2112 ilim(1)( )lim() ( )(2 1)!zzizf zz i f z 112242()ii 15515(2)d:,(3)(1)2LIzLzzz逆 时 针 。5100 1 2 3 43( )(, , ,

10、 , ),.kLf zzzkzL 解： 在 内奇点为的五个根奇点在 外511 22Re ( ), kkIis f z z由留数定理 、 ，得：2( Re ( ),3Re ( ), )is f zs f z12(0)242121ii31Res33242 ( ), lim() ( ),zf zzf z 其中163z 时55511313111()()()()zzzzzz 625101391111()()zzzzz10Re ( ),.s f zC 21 1Res (zRes (0 z z ),), ff 41 Res00(1-3z)(1-z ), 17四四.利用留数计算某些实积分利用留数计算某些实积分

11、,)sin,(cos) 1 (20型dR2220111(cos ,sin)(,)22iz ezzzdzRdRziziz22001,daaa 计算1-2 cos例4.2 , 0cossin)sin,(cos 上上连连续续的的有有理理函函数数，在在，为为其其中中 R18201=2 10(cos )iaaaaaze 2解：，1-2 cos（1- )积分是常义的，令2221121122()()zdzdzIzi zazaa zizaaz 111( )()()zzdzf z dzi zaazza在1内，仅有一奇点z=一级211Res=11 ( ), lim()()()()zaf z azai zaazia

12、22122Res211 ( ), ()Iif z aiiaa 19,)()2(型型 dxxR满满足足：),0, 0(1010)()()( nbmanxnbxbbmxmaxaaxnQxmPxR则则在在实实轴轴上上无无奇奇点点，即即在在实实轴轴上上)(,0)()2(,2)1(zRzQmnn ),(Re2)(kzzRsidxxR 点点。在在上上半半平平面面内内的的所所有有奇奇为为其其中中)(zRzk其中20.),0,0()22222bababxaxdx （计计算算 )1)(2222222222bxaxdxbzazzf（232222223222)(2)2()(21)(432)()(lim) )()(l

13、im2),(Re),(Re2abbaababbiabiaabizfbizzfaizibizfsaizfsibizaiz 例5解21.)1032 xdx（计计算算dxxdxxzzf3232032)1121)11)11)( （163)(12lim21 )()(lim)!13(1),(Re22133 izizfiziizfsiiziz例6解22,)0()()3(型型 adxexRiax满满足足：),0,0(1010)()()( nbmanxnbxbbmxmaxaaxnQxmPxR ,)(Re2)(kiaziaxzezRsidxexR 则则在在实实轴轴上上无无奇奇点点，即即在在实实轴轴上上)(,0)()2(,1)1(zRzQmn 。在在上上半半平平内内的的所所有有奇奇点点为为其其中中)(zRzk其中23. )0