复变函数与积分变换第4章级数PPT学习教案

1、会计学1复变函数与积分变换第复变函数与积分变换第4章级数章级数& 1. 复数列的极限复数列的极限& 2. 级数的概念级数的概念第1页/共62页 1. 复数列的极限复数列的极限定定义义,), 2 , 1(nnnnibaznz其中设复数列：，ibaz又设复常数：又设复常数：时的极限，当称为复数列那么，恒有若nzzzzNnNnn, 0, 0定理定理4.1.lim,limlimbbaazznnnnnn.,limzzzznzznnnn收敛于此时，也称复数列时，或当记作第2页/共62页2. 级数的概念级数的概念nnnzzzz211niinnzzzzs121级数的前面级数的前面n项的项的和和

2、-级数的部分和级数的部分和称称为为级级数数的的和和ssnn lim称为收敛级数1nnz不收敛不收敛称为发散级数1nnz-无穷级数无穷级数定义定义), 2 , 1(nibaznnn设复数列：设复数列： 收收敛敛若若部部分分和和数数列列ns第3页/共62页例例1解解的敛散性。的敛散性。判别判别 123nniisiisnnnnjjn3lim),211(3231 又又.3,i且且和和为为级级数数收收敛敛定理定理4.2都收敛。和收敛级数111nnnnnnbazA 由定理由定理4.2，复数项级数的收敛问题可归之为，复数项级数的收敛问题可归之为 两个实数项级数的收敛问题。两个实数项级数的收敛问题。得出由定理

3、 . 4第4页/共62页. 0lim:nnz收敛的必要条件级数1nnz定理定理4.3定理定理4.4.1111nnnnnnnnzzzz收敛，且收敛若证明证明222222,nnnnnnnnnnnbabbaabaibaz收敛。得由定理均绝对收敛，和由比较判定法1112nnnnnnzba第5页/共62页A 收敛.收敛.收敛收敛若若11nnnnzz?)1(:(1 nnni例例如如定义定义.11111条件收敛为收敛，则称发散，而若为绝对收敛；收敛，则称若nnnnnnnnnnzzzzz由定理由定理4.4的证明过程，及不等式的证明过程，及不等式 :22有有nnnnbaba 推论推论都收敛。和收敛级数111nn

4、nnnnbaz第6页/共62页解解.)1(111)1(1121发发散散收收敛敛，发发散散， nnnninnn绝绝对对收收敛敛。收收敛敛， 000!)8(!8!8)2(nnnnnnninni.)2) 1(21) 1()3(111收收敛敛收收敛敛，收收敛敛， nnnnnnninn例例2否否绝绝对对收收敛敛？下下列列级级数数是是否否收收敛敛？是是 011)2)1()3(!)8()2()1(1)1(nnnnnninninin.)1(1原原级级数数非非绝绝对对收收敛敛收收敛敛，条条件件又又 nnn第7页/共62页例例3解解的敛散性。的敛散性。讨论讨论 011nnien 1111cossin111cos,

5、1sin.lim1,lim011lim1.innnnnnnninnneinnnnabnnnnaben数列收敛,且有第8页/共62页& 1. 幂级数的概念幂级数的概念& 2. 收敛定理收敛定理& 3. 收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径& 4. 收敛半径的求法收敛半径的求法& 5. 幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质第9页/共62页1. 幂级数的概念幂级数的概念定义定义设复变函数列：设复变函数列：)1()()()()(211 zfzfzfzfnnn, 2 , 1,)( nDzzfn-称为复变函数项级称为复变函数项级数数级数的最前面级数的最前面n项的项的和和

6、 nkknnzfzfzfzfzs121)()()()()(-级数的部分和级数的部分和,)1()(lim),(,)1(),()(lim000000发发散散不不存存在在，称称级级数数其其和和为为收收敛敛在在称称级级数数若若zszszzszsDznnnn 第10页/共62页若级数若级数(1)在在D内处处收敛，其和为内处处收敛，其和为z的函数的函数)()()()(21zfzfzfzsn -级数级数(1)的和函数的和函数特殊情况，在级数特殊情况，在级数(1)中中得得nnnzzczf)()(0 ) 2()(00 nnnzzc)3(000 nnnzcz当当称为幂级数称为幂级数并并不不失失一一般般性性。研研究

7、究级级数数中中令令在在)3()2()2(00 kknczz 第11页/共62页2. 收敛定理收敛定理同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：定理定理1 (阿贝尔阿贝尔(Able)定理）定理）.,)0(000级级数数必必绝绝对对收收敛敛的的则则对对满满足足收收敛敛在在若若级级数数zzzzzzcnnn .,00级级数数必必发发散散的的则则对对满满足足发发散散若若级级数数在在zzzzz 第12页/共62页 ,2,1 ,0,max00202010 nMzczczczccMnnNN故故取取 证明证明，即即则则收收敛敛0lim,)1(000 nnnnnn

8、zczc nnzcNnN000，恒恒有有，1,00 qzzzz则则若若,00nnnnnnMqzzzczc ,0收收敛敛由由于于 nnMq,0收收敛敛由由比比较较判判别别法法得得 nnnzc绝对收敛。绝对收敛。 0nnnzc(2)用反证法，用反证法，收收敛敛，有有设设 01011,nnnzczzz！收收敛敛与与假假设设矛矛盾盾，得得证证知知由由 00)1(nnnzc第13页/共62页3. 收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径由由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述定理，幂级数的收敛范围不外乎下述三种情况：三种情况：(i)若对所有正实数都收敛，级数若对所有正实数都收敛，级数(3)在复平面上在复平面

9、上处处收敛。处处收敛。(ii )除除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时，外，对所有的正实数都是发散的，这时， 级数级数(3)在复平面上除在复平面上除z=0外处处发散。外处处发散。., 0, 0)(00发发散散使使得得收收敛敛使使得得 nnnnnncciii .)3(:)3(:发发散散数数外外，级级在在圆圆周周收收敛敛；内内，级级数数定定理理，在在圆圆周周由由 zczcAble显然，显然， 否则，级数否则，级数(3)将在将在 处发散。处发散。第14页/共62页将收敛部分染成红色，发散部分染成蓝色，将收敛部分染成红色，发散部分染成蓝色， 逐渐逐渐变大，在变大，在c c 内部都是红色内部都是红

10、色, , 逐渐变逐渐变小，在小，在c c 外部都外部都是蓝色，是蓝色，红、蓝色不会交错。红、蓝色不会交错。故故蓝两色的分界线。蓝两色的分界线。为红、为红、一定一定,RzcR ：RRc第15页/共62页A ( (i) )幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题要具体分析。要具体分析。定义定义这个红蓝两色的分界圆周这个红蓝两色的分界圆周cR叫做幂级数的叫做幂级数的收敛圆；这个圆的半径收敛圆；这个圆的半径R叫做幂级数的收敛半径。叫做幂级数的收敛半径。(ii)幂级数幂级数(3)的收敛范围是以

11、的收敛范围是以0为中心，半径为为中心，半径为R的圆域；幂级数的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以的收敛范围是以z0为中心为中心,半径半径为为R的圆域的圆域.第16页/共62页4. 收敛半径的求法收敛半径的求法的的收收敛敛半半径径求求法法，有有关关于于幂幂级级数数)3(0 nnnzc根值法根值法 000/1limRcnnn，则，则若若比值法比值法 000/1lim1Rccnnn，则，则若若第17页/共62页例例1的收敛范围及和函数。的收敛范围及和函数。求幂级数求幂级数 nnnzzzz201121 nnzzzs又又zzn 11解解11lim1 Rccnnn.11lim, 0lim1zszznnnn

12、时，时，当当., 0lim1级级数数发发散散时时，当当 nnzz 综上综上 .1;111,0时时当当发散发散时时当当且和函数为且和函数为收敛收敛zzzznn第18页/共62页例例2 求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形:解解 (1); )0() 1 (1 npnpnznnncc1lim 1)1(lim pnnn1 R,1时时当当 z,1时时当当 z,)1(1 nnn级级数数为为,11 nn级级数数为为该级数收敛该级数收敛该级数发散该级数发散p=1p=2,1上上在在圆圆周周 z 1122,1nnnnnz是是收收敛敛的的该级数在收敛圆上是该级数在

13、收敛圆上是处处处处收敛的。收敛的。第19页/共62页5. 幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质q代数运算代数运算2010)()(rRzgzbrRzfzannnnnn 设设Rzzgzfzbazbzannnnnnnnnn )()()(000),min(21rrR 其中：其中：Rzzgzfzbabababazbzannnnnnnnnnnn ),()()()()(002211000-幂级数的加、减运算幂级数的加、减运算-幂级数的乘法运算幂级数的乘法运算第20页/共62页rzgRzzgrzzazfnnn )()(,)(0内内解解析析，且且在在设设Rzzgazgfnnn 0)()(-幂级数的代换幂级数的代

14、换(复合复合)运算运算A 幂级幂级数的代换运数的代换运算在函数展算在函数展成幂级数中成幂级数中很有用很有用.例例3.)(10abazcbznnn 这这里里，复复常常数数的的幂幂级级数数，表表成成形形如如把把解解)()(11abazbz 代换代换 abzgabazab1)(11111第21页/共62页Rabazabazabazabazzgzgzgzgzgnn ,11)(,)()()(1)(1122 abzgabazababazbz1)(11111)()(11Razazabazabazababzgabbznn )()(1)()(1)()(11)(11111232代换代换展开展开还原还原第22页/共

15、62页q分析运算分析运算定理定理4Rzzfzcnnn )(0设设.)()(内内解解析析在在Rzzfi Rzznczczczfiinnnnnnnnn 1100)()()( )(zdzcdzzcdzzfiiincnncnnnc 00)()(-幂级数的逐项求导运算幂级数的逐项求导运算-幂级数的逐项积分运算幂级数的逐项积分运算 0101)(nnnznzcdf 或或RazCRz ,第23页/共62页& 1. 泰勒展开定理泰勒展开定理& 2. 展开式的唯一性展开式的唯一性& 3. 简单初等函数的泰勒展开式简单初等函数的泰勒展开式第24页/共62页1. 泰勒泰勒(Taylor)展开定

16、理展开定理现在研究与此相反的问题：现在研究与此相反的问题：一个解析函数能否用幂级数表达一个解析函数能否用幂级数表达?(或者说或者说,一个解析函数能否展开成幂级数一个解析函数能否展开成幂级数? 解析函解析函数在解析点能否用幂级数表示？）数在解析点能否用幂级数表示？）由由4.24.2幂级数的性质知幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在一个幂级数的和函数在它的收敛圆内部是一个解析函数。它的收敛圆内部是一个解析函数。以下定理给出了肯定回答：以下定理给出了肯定回答：任何任何解析函数解析函数都一定都一定能用幂级数表示。能用幂级数表示。第25页/共62页定理（泰勒展开定理）定理（泰勒展开定理）,2 , 1 ,

17、0)(!1:)1()()(,)(0)(00000 nzfnczzczfRzzDzRDzDzfnnnnn其其中中时时当当上上各各点点的的最最短短距距离离的的边边界界到到为为内内解解析析在在区区域域设设级数的处在Taylorzzf0)(Dk 0z rzkdzfizfncknnn 0100)(:)(21)(!1 分析分析：代入代入(1)得得第26页/共62页Dk 0z(*)()()()()2),10010nnnzzzfzf 有有，比比较较)2)(21)( kdzfizf 又又) 1)()()(21)()()(21)(!)()(00100010000)(00 knnnnnknnnnnnndzzzfiz

18、zdzfizznzfzzc z第27页/共62页) 2()()(11100200000 nzzzzzzzzzzz ,111)(1100000zzzzzzzz 注注意意到到, 100 qzzz 0000)()()()(nnnzzzzfzf 故故-(*)得证！得证！nnnzzzf)()()(0010 第28页/共62页收敛圆周上.收敛圆周上.只能在只能在收敛半径还可以扩收敛半径还可以扩不然的话,不然的话,不可能在收敛圆外,不可能在收敛圆外,奇点奇点又又不可能在收敛圆内.不可能在收敛圆内.所以奇点所以奇点圆内解析圆内解析在收敛在收敛这是因为这是因为在收敛圆上,在收敛圆上, 奇点奇点因此,因此,大,大

19、,)()2(zfA 000,)()()(zRzfzRTalorzzfzf即即之间的距离,之间的距离,的最近的一个奇点的最近的一个奇点到到等于从等于从展开式的收敛半径展开式的收敛半径的的在解析点在解析点那么那么有奇点,有奇点,若若(1)(1)第29页/共62页2. 展开式的唯一性展开式的唯一性结论结论 解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它的的Taylor级数。级数。利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样的展开式是否唯一？的展开式是否唯一？级数为：时当Taylorz,00 nnznfzfzffzf!)0(! 2)0(

20、 )0( )0()()(2-直接法直接法-间接法间接法直接通过计算系数直接通过计算系数:由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分 析运算和析运算和 已知函数的展开式来展开已知函数的展开式来展开函数展开成函数展开成Taylor级数的方法：级数的方法：), 2 , 1 , 0()(!10)(nzfncnn第30页/共62页.!3!21), 2 , 1 , 0(1)(3200)( Renzzzzeneeznzzzznz该该级级数数的的收收敛敛半半径径在在复复平平面面上上解解析析3. 简单初等函数的泰勒展开式简单初等函数的泰勒展开式.0cos,sin,)(展展开

21、开式式的的在在求求Talorzzzezfz 例例1 解解第31页/共62页 00!)(!)(212sinnnnnzizinzinziiieez )!2()1(!4!21)(sincos242nzzzzznn又又 Rzz它们的半径它们的半径在全平面上解析，在全平面上解析，cos,sin 112111212!)!12()1(!)!12(221kkkkkkkzkzii 1121753!)!12()1(!7! 5! 3sinkkkkzzzzzzA 上述求上述求sinz, cosz展开式的方法即为间接法展开式的方法即为间接法.第32页/共62页例例2 把下列函数展开成把下列函数展开成 z 的幂级数的幂级

22、数:)1ln()() 3()1 (1)() 2(11)() 1 (2zzfzzfzzf 解解1111)1(2 zzzzzn1)1(1)(1111 zzzzznn(2)由幂级数逐项求导性质得：由幂级数逐项求导性质得： 1) 1(321) 1(111)1 (1112122 znzzzzzzdzdzdzdznnnn第33页/共62页:)1(,)1(01)3(逐逐项项积积分分得得的的展展开开式式两两边边沿沿将将的的路路径径内内任任意意取取一一条条从从在在收收敛敛圆圆cczzz 11) 1(312)1ln(132 znzzzzznn znnzzzdzzzdzdzzdz0000)1(1定理定理.)()()

23、2(.)()()() 1 (0000幂级数内可展成在内解析在区域函数幂级数的某一邻域内可展成在解析在点函数DzfDzfzzczzfzzfnnn第34页/共62页解析在点小结：0)(zzf级级数数。的的某某一一邻邻域域内内可可展展成成幂幂在在点点。正正向向封封闭闭路路线线的的积积分分为为邻邻域域内内的的任任一一条条的的某某一一邻邻域域内内连连续续且且沿沿在在点点方方程程。且且满满足足导导数数的的某某一一邻邻域域内内有有连连续续偏偏的的实实部部和和虚虚部部在在点点的的某某一一邻邻域域内内可可导导。在在点点0000)()4(0)()3()()2()()1(zzfzzfRCzzfzzf 第35页/共6

24、2页&1. 函数展开成双边幂级数函数展开成双边幂级数&2. 展开式的唯一性展开式的唯一性第36页/共62页 由由4.34.3 知知, f (z) 在在 z0 解析解析，则，则 f (z)总可以总可以在在z0 的某一个圆域的某一个圆域 z - z0 R 内内展开成展开成 z - z0 的幂级数。的幂级数。若若 f (z) 在在 z0 点不解析点不解析，在在 z0的邻域中就不可能展开成的邻域中就不可能展开成 z - z0 的幂级数，但如果在圆环域的幂级数，但如果在圆环域 R1 z - z0 R2 内解析，内解析，那么，那么，f (z)能否用能否用级数表示呢？级数表示呢？例如，例如，

25、.11010:,1, 0)1(1)(内内处处处处解解析析及及圆圆环环域域但但在在都都不不解解析析在在 zzzzzzzf nzzzzz2111zzzzzfz 111)1(1)(,10时时当当第37页/共62页 )1(1111)1(1)(,110zzzzzfz时时当当 nnnnzzczzcczzczzczf)()()()()(00101010由此推想，若由此推想，若f (z) 在在R 1 z - z0 R2 内解析内解析, , f (z) 可以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项可以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项,即即 1211)1()1(111)1()1()1(111nnzzzzzzzz第

26、38页/共62页 本节将讨论在以本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解析函数在析函数在孤立奇点孤立奇点邻域内的性质以及定义邻域内的性质以及定义留数留数和计算留数的基础。和计算留数的基础。第39页/共62页1. 双边幂级数双边幂级数-含有正负幂项的级数含有正负幂项的级数定义定义 形如形如)1()()()()()(001010100 nnnnnnnzzczzcczzczzczzc-双边幂级数双边幂级数正幂项正幂项(包括常数项包括常数项)部分部分：)2()()()(001000 nnnnnzzczz

27、cczzc都是常数都是常数及及其中其中), 2, 1, 0(0 nczn负幂项部分负幂项部分：)3()()()(010110 nnnnnzzczzczzc第40页/共62页级数级数(2)是一幂级数，设收敛半径为是一幂级数，设收敛半径为R2 ， 则级数则级数在在z - z0= =R2 内收敛，且和为内收敛，且和为s(z)+; 在在 z - z0 =R 2外发散。外发散。 则则若若令令对对于于级级数数,1),3(0zz 级级数数发发散散。级级数数收收敛敛则则当当设设其其收收敛敛半半径径为为为为幂幂级级数数级级数数对对变变数数RRR ,)4() 4()(221110 nnnnnnnncccczzc

28、)4(,11,1100则则级级数数代代回回得得将将令令RRzzzz .;)(,1010发发散散当当且且和和为为收收敛敛当当RzzzsRzz 第41页/共62页z0R1R2有有公公共共收收敛敛域域21RR z0R2R1无无公公共共收收敛敛域域21RR 。且和且和收敛收敛称称，此时，此时，区域即圆环域：区域即圆环域：有公共收敛有公共收敛及及时，级数时，级数当且仅当当且仅当 )()()(,)()3()2(020121zszszszzcRzzRRRnnn第42页/共62页.)()4(2010以逐项求积和逐项求导以逐项求积和逐项求导和函数是解析的而且可和函数是解析的而且可内的内的在在级数级数RzzRzz

29、cnnn A 02100)3(zzRR：，收敛域为收敛域为此时此时可以可以可以可以。，发散发散处处处处称称时时当当 nnnzzcRR)()1 (021(2)(2)在圆环域的边界在圆环域的边界 z - z0 =R1, z - z0 =R2上上, , nnnzzc。点点收敛，有些点发散收敛，有些点发散可能有些可能有些)(0第43页/共62页1. 函数展开成双边幂级数函数展开成双边幂级数定理定理.) 5(), 2, 1, 0()()(21:)5()()(,:)(0100201的任何一条简单闭曲线的任何一条简单闭曲线内绕内绕是是其中其中则则内解析内解析在在设设zDcndzzzzficzzczfRzzR

30、Dzfcnnnnn 级级数数内内的的在在称称为为LaurentRzzRDzf201:)( 展展开开式式内内的的在在称称为为LaurentRzzRDzf201:)( 第44页/共62页证明证明 由复连通域上的由复连通域上的Cauchy 积分公式：积分公式：Dz0R1R2rRk1k2D1z(*)(21)(21)(12 dzfidzfizfkk 记为记为I1记为记为I2，时时，当当1002 zzzk ，时时，当当记记为为1001 qzzzk )1(*)()()()(21(00010012 nnnnknnzzczzdzfiI 的的推推导导得得：重重复复 3第45页/共62页 nnzzzzzzzz)()

31、()(10102000 00000111)(11zzzzzzzzz )2(*)()()()()(2)()()(2)()(2)()(21020210110010201021111 nnknnkkkzzczzczzcdzfizzdzfizzdfizzdzfiI :,2)(1逐项积分得逐项积分得并沿并沿两边乘以两边乘以kif 第46页/共62页式式(*1),(*2)中系数中系数cn的积分分别是在的积分分别是在k2， k1上进上进行的，在行的，在D内取绕内取绕z0的简单闭曲线的简单闭曲线c，由复合闭路，由复合闭路定理可将定理可将cn写成统一式子：写成统一式子：), 2, 1, 0()()(2110 n

32、dzficknn nnnzzczf)()(0证毕！证毕！级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分。洛朗级数的解析部分和主要部分。第47页/共62页A .)(,!)(,0)1(0)(解析的解析的内不是处处内不是处处在在相同相同形式上与高阶导数公式形式上与高阶导数公式系数系数时时当当czfnzfccnnnn 但但 (2) (2)在许多实际应用中，经常遇到在许多实际应用中，经常遇到f (z)在奇点在奇点 z0的邻域内解析，需要把的邻域内解析，需要把f (z)展成级数，那么展成级数，那么 就利用洛朗（就利用洛朗（ Laurent ）级

33、数来展开。）级数来展开。级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分。洛朗级数的解析部分和主要部分。第48页/共62页2. 展开式的唯一性展开式的唯一性结论结论 一个在某一一个在某一圆环域内解析圆环域内解析的函数展开为含的函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f (z)的洛朗级数。的洛朗级数。事实上事实上，)6()()(:)(0201 nnnzzazfRzzRDzf可可表表示示为为内内解解析析，在在设设 nnnzaf)()(0 Dz0R1R2cczDc 的的简简单单闭闭曲曲线线

34、，内内任任何何一一条条绕绕为为设设0第49页/共62页的的正正向向积积分分得得：并并沿沿为为任任一一整整数数将将上上式式两两边边乘乘以以cPzP),()(110 Dz0R1R2c dzfiaiadzadzfcpppncnpncp 101010)()(212)(1)()(解解得得：.,级级数数就就是是展展开开成成级级数数在在圆圆环环域域内内解解析析的的函函数数由由此此可可知知Laurent nnnzaf)()(0 第50页/共62页A 由唯一性，将函数展开成由唯一性，将函数展开成Laurent级数，可级数，可用间接法。在大都数情况，均采用这一简便的方用间接法。在大都数情况，均采用这一简便的方法求

35、函数在指定圆环域内的法求函数在指定圆环域内的Laurent展开式，只有展开式，只有在个别情况下，才直接采用公式在个别情况下，才直接采用公式(5)求求Laurent系系数的方法。数的方法。第51页/共62页.03级数级数内展开成内展开成在在将将Laurentzzez )! 21(1!123033 nzzzznzzzennnz例例2解解例例3解解.01级级数数内内展展成成在在将将Laurentzez nttntte!1! 2112在在复复平平面面上上， nznzzeztz!1!2111,121令令)0( z ! 4! 31! 211123nzzzzzn第52页/共62页例例4级数。级数。的的内展开成内展开成（在以下圆环域在以下圆环域将将Laurentzziiiziizizzzf02)(; 21)(; 10)2)(1(1)(0 xyo1221)( ziixyo12 ziii 2)(xyo1210) zi（第53页/共62页解解:zzzf 2111)(2112111)(zzzf 故故12110)( zzzi 012)211 (874321nnnzzz)421 (21)1 (22 zzzzzn没没有有奇奇点点第54页/共62页2112111112111)(zzzzzzf 122 zz又又11