复变函数讲义PPT学习教案

1、会计学1复变函数讲义复变函数讲义21.1.定义定义 , 0 数相应地都能找到一个正如果任意给定称那么时成立在使 , ),(NnNn记作时的极限当为复数列 , nn.lim nn . 收收敛敛于于此此时时也也称称复复数数列列n , ), 2 , 1( 其中为一复数列设nn,nnniba , 为一确定的复数又设iba 第1页/共97页32.2.复数列收敛的条件复数列收敛的条件 ),2, 1( 1的充要条件是收敛于复数列定理nn.lim,limbbaannnn 此定理说明此定理说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性个实数列的敛散性.第2页/共97页4ni

2、enn)11()1( 因为因为下列数列是否收敛下列数列是否收敛, 如果收敛如果收敛, 求出其极限求出其极限.;)11 () 1 (ninen.sin)11(nnbn ,cos)11(nnan 所以所以而而0lim,1lim nnnnba解解 例例1 1),sin)(cos11(ninn ;1) 1()2(niznn第3页/共97页5)2(解解 nna) 1(由于,时时当当 n所以数列发散所以数列发散.,)11(收敛收敛所以数列所以数列nienn .1lim nn 且且,极限不存在na第4页/共97页61.1.定义定义,), 2 , 1(为为一一复复数数列列设设 nbannn nnn 211表达

3、式表达式称为复数项无穷级数称为复数项无穷级数.其最前面其最前面 n 项的和项的和nns 21称为级数的部分和称为级数的部分和.部分和部分和第5页/共97页7收敛与发散收敛与发散,收敛收敛如果部分和数列如果部分和数列ns ,1收敛收敛那末级数那末级数 nn .lim称称为为级级数数的的和和并并且且极极限限ssnn 说明说明:.lim ssnn 利用极限利用极限 与实数项级数相同与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散判别复数项级数敛散性的基本方法是性的基本方法是:,不收敛不收敛如果部分和数列如果部分和数列ns .1发散发散那末级数那末级数 nn 第6页/共97页8:,0 nnz级数级数例如例如1-

4、21nnzzzs ,1时时由于当由于当 z, )1(11 zzznzzsnnnn 11limlim,11z .1时级数收敛时级数收敛所以当所以当 z第7页/共97页92.2.复数项级数收敛的条件复数项级数收敛的条件 )( 11收收敛敛的的充充要要条条件件级级数数 nnnnniba . 11都收敛都收敛和和 nnnnba定理定理2说明说明 复数项级数的审敛问题复数项级数的审敛问题 实数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题(定理定理2)第8页/共97页10 )1(1 1是否收敛？是否收敛？级数级数 nnin解解; 1 11发散发散因为因为 nnnna . 1121收敛收敛 nnnnb所以原级数发散

5、所以原级数发散. 课堂练习课堂练习第9页/共97页11 11nnnnba收收敛敛的的必必要要条条件件是是和和因因为为实实数数项项级级数数.0lim0lim nnnnba和和0lim nn 级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件重要结论重要结论:.0lim1发散发散级数级数 nnnn 收敛的必要条件是收敛的必要条件是所以复数项级数所以复数项级数 1nn 第10页/共97页12:,1 nine级数级数例如例如, 0limlim innnne 因为因为不满足必要条件不满足必要条件,所以原级数发散所以原级数发散.启示启示: 判别级数的敛散性时判别级数的敛散性时, 可先考察可先考察0lim nn ? ,

6、0limnn 如果如果级数发散级数发散;应进一步判断应进一步判断., 0lim nn 第11页/共97页133. 3. 绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛 . , 11也收敛也收敛那末那末收敛收敛如果如果 nnnn 定理定理3条件收敛条件收敛.如果如果 收敛收敛, 那末称级数那末称级数 为为绝对收敛绝对收敛. 1nn 1nn 定理3说明，绝对收敛的级数本身一定是收敛的；但反过来， 11却不一定收敛。收敛，如果nnnn为不收敛，则称级数而收敛，若111 nnnnnn第12页/共97页14证证由于由于,1221 nnnnnba 而而,2222nnnnnnbabbaa 根据实数项正项级数的比较审敛

7、法根据实数项正项级数的比较审敛法, 知知 , 11都收敛都收敛及及 nnnnba . 11也都收敛也都收敛及及故故 nnnnba由定理由定理2可得可得. 1是收敛的是收敛的 nn 证毕证毕（实数项）（实数项）正项级数正项级数 . , 11也收敛那末收敛如果nnnn第13页/共97页15说明说明, 22nnnnbaba由于.111绝对收敛绝对收敛与与绝对收敛绝对收敛 nnnnnnba ,11绝对收敛时绝对收敛时与与 nnnnba所以.1绝对收敛绝对收敛也也 nn ，由正项级数的比较审敛法知第14页/共97页16都收敛都收敛, 故原级数收敛故原级数收敛. 但是级但是级数数条件收敛条件收敛, 所以原

8、级数非绝对收敛所以原级数非绝对收敛, 是条件收敛是条件收敛的的.解解 因为因为例例2 2 (1) (1)级数级数 是否绝对收敛是否绝对收敛? ? 1( 1)1 2nnnin 11( 1)1, 2nnnnn 1( 1)nnn (2) (2) 级数级数 是否绝对收敛呢是否绝对收敛呢? 1(34 ) 6nnni 第15页/共97页17 !)8( 1是否绝对收敛？是否绝对收敛？级数级数 nnni例例3 3, !81收敛收敛 nnn故原级数收敛故原级数收敛, 且为绝对收敛且为绝对收敛.,!8!)8(nninn 因为因为所以由正项级数的比值判别法知所以由正项级数的比值判别法知:解解第16页/共97页18为

9、复变函数项级数为复变函数项级数. . 121( )( )( )( )nnnfzfzfzfz )()()()(21zfzfzfzSnn 为该级数前为该级数前n项的项的部分和部分和. .设设 是定义在区域是定义在区域D上的复变函数列上的复变函数列, ( )nfz称称1.1.定义定义第17页/共97页19 )()()()(21zfzfzfzSnS(z) 称称为该级数在区域为该级数在区域D上的上的和函数和函数.如果对如果对 级数级数 收敛收敛, 即即 0,zD 01()nnfz 00lim()(),nnSzS z 则称级数则称级数 在在 点收敛点收敛, 且且 是级数的是级数的和和. 1( )nnfz

10、0z0()S z如果级数如果级数 在在D内处处收敛内处处收敛, 则称其则称其在在 1( )nnfz 区域区域D内收敛内收敛. 此时级数的和是此时级数的和是D内的函数内的函数2. 2. 收敛概念及和函数收敛概念及和函数第18页/共97页2020120()()()nnnc zacc zac za 20121,nnnnnc zcc zc zc z 这类函数项级数称为这类函数项级数称为幂级数幂级数.或或 的特殊情形的特殊情形0 函数项级数函数项级数(),nncza三、幂级数三、幂级数1.1.定义定义第19页/共97页21定理定理4 (Abel定理定理)若级数若级数 在在 0nnnc z 10z 处收敛

11、，则当处收敛，则当 时时, 级数级数 绝对收绝对收敛敛; 0nnnc z 1zz 若级数若级数 在在 处发散，则当处发散，则当 时时, 级数级数 0nnnc z 2z2zz 0nnnc z 发散发散. 2.2.幂级数的敛散性幂级数的敛散性第20页/共97页22收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径(1) 级数在复平面内处处绝对收敛级数在复平面内处处绝对收敛.(2) 级数仅在级数仅在 z=0 (即原点处即原点处)收敛，除原点外收敛，除原点外处处发散处处发散.(3) 在复平面内既存在使级数发散的点在复平面内既存在使级数发散的点, 也存在也存在使级数收敛的点。使级数收敛的点。由由 , 幂级数幂级数 收敛情

12、况有三种收敛情况有三种:0nnnc z 第21页/共97页23xyo . .R收敛圆收敛圆收敛半径收敛半径幂级数幂级数 0nnnzc的收敛范围是以原点为中心的圆域的收敛范围是以原点为中心的圆域.1 1 .设设 时时, 级数收敛级数收敛; 时时, 级数发散级数发散. 如图如图:z z 第22页/共97页24 幂级数幂级数00()nnnczz 的收敛范围是的收敛范围是因此因此，事实上事实上, 幂级数在收敛圆周上敛散性的幂级数在收敛圆周上敛散性的讨讨问题：问题：幂级数在收敛圆周上的敛散性如何幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?以以 为中心的圆域为中心的圆域.0zz 收敛半径根据前面所述的三种情形收敛半径

13、根据前面所述的三种情形, 分别分别, 0, . R规定为规定为论比较复杂论比较复杂, 没有一般的结论没有一般的结论, 要对具体级数要对具体级数进行具体分析进行具体分析.第23页/共97页25收敛半径的求法收敛半径的求法1lim,nnncc 设级数设级数0.nnnc z (比值法比值法) 如果如果则收敛半径则收敛半径 .1 Rlim,nnnc (根值法根值法) 如果如果则收敛半径则收敛半径 .1 R;R 当当 时时, 收敛半径收敛半径 0 0;R 当当 时时, 收敛半径收敛半径 第24页/共97页26解解2111(1).1nnnzSzzzzz 1 z1lim1nnSz 级数级数 0nnz收敛收敛

14、,1 z0lim nnz级数级数 0nnz发散发散.绝对收敛绝对收敛, 且有且有在在 内内, 级级数数1z 0nnz例例4 4 求级数求级数 的和函数与收敛半径的和函数与收敛半径.0nnz 所以收敛半径所以收敛半径1,R 11.1nnzz 第25页/共97页27例例5求下列幂级数的收敛半径：求下列幂级数的收敛半径： 21nnzn 1(2)nnzn (1)(2)第26页/共97页28由于幂级数在收敛圆的内部绝对收敛，因此由于幂级数在收敛圆的内部绝对收敛，因此可得出下面几个性质：可得出下面几个性质： (1) 设级数设级数 和和 的收敛半径分别的收敛半径分别0nnna z 0nnnb z 为为 和和

15、 1R2,R则在则在 内内, 12min(,)zRR R000(),nnnnnnnnnnabza zb z 0110000.nnnnnnnnnnna zb za ba ba bz 3.3.幂级数的性质幂级数的性质第27页/共97页29(2) 幂级数幂级数 的和函数的和函数0nnnc z 在收敛圆在收敛圆 ( )s z内是解析的；且幂级数在其收敛圆内，可以逐内是解析的；且幂级数在其收敛圆内，可以逐项求导和逐项积分。项求导和逐项积分。第28页/共97页30(3) 设级数设级数 的收敛半径为的收敛半径为 r.0( )nnnf zc z 如果在如果在 内内, 函数函数 解析解析, 并并且且Rz )(z

16、g,)(rzg 则当则当 时时,Rz 0 ( ) ( ) .nnnf g zc g z 第29页/共97页31例例6 6 求求 的收敛半径与和函数的收敛半径与和函数. 11)12(nnnz112111(21) .121(12 )(1)2nnnzzzzzz 解解 因为因为 所以所以1121limlim2,21nnnnnncc 1.2R 111112222.12nnnnnnzzz 当当 时时,12z 又因为又因为 从而从而, 111 1 ,1nnzzz 第30页/共97页32例例7 7 把函数把函数 表示成形如表示成形如bz 1 0)(nnnazc的幂级数的幂级数, 其中其中a与与b是不相等的复常

17、数是不相等的复常数 . bz1)()(1abaz 11.1zababa 代数变形代数变形 , 使其分母中出现使其分母中出现)(az 凑出凑出)(11zg 把函数把函数 写成如下的形式写成如下的形式:bz 1第31页/共97页33211.1nzazazazababababa 2231111()()()()zazazbbababa 11().()nnzaba 当当 即即 时时,1,zaba zaRba所以所以第32页/共97页341.1.复数项无穷级数复数项无穷级数 ),2, 1( 收敛于复数列nn.lim,limbbaannnn )( 11收敛复数项级数nnnnniba . 11都收敛和nnnn

18、ba第33页/共97页35复级数的绝对收敛与条件收敛如果 收敛, 那末称级数 为绝对收敛绝对收敛. 1nn 1nn.111绝对收敛绝对收敛与与绝对收敛绝对收敛 nnnnnnba 绝对收敛绝对收敛 条件收敛条件收敛第34页/共97页36方法方法1 1: 比值法比值法方法方法2: 根值法根值法, 0lim 1 nnncc如果如果那末收敛半径那末收敛半径.1 R ., 0; 0,;0,1 R即即, 0lim nnnc如果如果那末收敛半径那末收敛半径.1 R2.2.幂级数幂级数第35页/共97页37第36页/共97页38二、泰勒展开定理三、将函数展开成泰勒级数一、问题的引入四、典型例题五、小结与思考第

19、37页/共97页39问题问题: : 任一个解析函数能否用幂级数来表达？任一个解析函数能否用幂级数来表达？DKz.内任意点内任意点, )( 内解析内解析在区域在区域设函数设函数Dzf , 0为中心的任一圆周为中心的任一圆周内以内以为为zD如图如图:r0z.Krz 0 圆周圆周. 0rz , , KD 记为记为它与它的内部全包含于它与它的内部全包含于第38页/共97页40由柯西积分公式由柯西积分公式 , 有有 Kzfizf,d)(21)( 其中其中 K 取正方向取正方向., , 的内部的内部在在点点上上取在圆周取在圆周因为积分变量因为积分变量KzK . 1 00 zzz 所以所以0001111zz

20、zzz 则则第39页/共97页41 200000)()(11zzzzzzz nzzz)(00 0010.)()(1nnnzzz 10010)()(d)(21)( NnnKnzzzfizf 于是于是 KNnnnzzzfi.d)()()(21010 第40页/共97页42由高阶导数公式由高阶导数公式, 上式又可写成上式又可写成 1000)()()(!)()(NnNnnzRzznzfzf其中其中 KNnnnNzzzfizR d)()()(21)(010, 0)(lim zRNN若若可知在可知在K内内 000)()(!)()(nnnzznzfzf第41页/共97页43, )( 内可以用幂级数来表示内可

21、以用幂级数来表示在在即即Kzf令令qrzzzzz 000 , )( )(内解析内解析在在DKDzf 则在则在K上连续上连续, , 10, qq且且无关的量无关的量是与积分变量是与积分变量 , )( 上也连续上也连续在在因此因此Kf , )(上有界上有界在在 Kf 第42页/共97页44即存在一个正常数即存在一个正常数M,.)( MfK 上上在在szzzfzRKNnnnNd)()()(21)(010 KNnnszzzzfd)(21000 NnnrqrM221.1qMqn 第43页/共97页450lim nNqK0)(lim zRNN在在内成立内成立,从而在从而在K内内 圆圆周周K的半径可以任意增

22、大的半径可以任意增大,只要只要K内成立内成立.D在在 000)()(!)()(nnnzznzfzf的的泰勒展开式泰勒展开式,)(zf在在0z泰勒级数泰勒级数第44页/共97页46如果如果0z到到D的边界上各点的最短距离为的边界上各点的最短距离为,d0z那末那末)(zf在在的泰勒展开式在内成立的泰勒展开式在内成立dzz 0因为凡满足因为凡满足dzz 0的的z必能使必能使.dR 即即由上讨论得重要定理由上讨论得重要定理泰勒展开定理泰勒展开定理)(zf在在0z的泰勒级数的泰勒级数的收敛半径的收敛半径R至少等于，至少等于，d但但成立，成立， 000)()(!)()(nnnzznzfzf第45页/共97

23、页47, 2, 1 , 0),(!10)( nzfncnn其中其中泰勒级数泰勒级数泰勒展开式泰勒展开式定理定理设设)(zf在区域在区域D内解析内解析,0z为为D 内的一内的一d为为0z到到D的边界上各点的最短距离的边界上各点的最短距离, 那末那末点点,dzz 0时时, 00)()(nnnzzczf成立成立,当当第46页/共97页48说明说明:1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多时弱得多; (想一想想一想, 为什么为什么?); , , )( . 200zdzdDzf 即即之间的距离之间的距离一个奇点一个奇点到最近到最近等于等于则则内有奇点内有奇

24、点在在如果如果;,0. 30级数称为麦克劳林级数级数称为麦克劳林级数时时当当 z第47页/共97页49 )( zf因为解析，可以保证无限次可导因为解析，可以保证无限次可导即各阶导数连续即各阶导数连续.所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就要比实变函数广的多要比实变函数广的多.注意注意问题：问题：利用泰勒级数可以将函数展开为幂级利用泰勒级数可以将函数展开为幂级数数，展开式是否唯一？展开式是否唯一？第48页/共97页50 : )( 0已已被被展展开开成成幂幂级级数数在在设设zzf 202010)()()(zzazzaazf,)(0 nnzza那末那末,)(00az

25、f ,)(10azf 即即, )(!10)(zfnann 因此因此, 任何解析函数展开成幂级数的结果就是任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数泰勒级数, 因而是唯一的因而是唯一的.第49页/共97页51常用方法常用方法: 直接法和间接法直接法和间接法. .1.直接法直接法:,2,1 ,0, )(!10)( nzfncnn. )( 0展开成幂级数展开成幂级数在在将函数将函数zzf由泰勒展开定理计算系数由泰勒展开定理计算系数第50页/共97页52例如，例如，. 0 的泰勒展开式的泰勒展开式在在求求 zez),2,1 ,0(,1)(0)( neznz故有故有 02! 21nnnznznzzze,

26、 在复平面内处处解析在复平面内处处解析因为因为ze. R所以级数的收敛半径所以级数的收敛半径,)( )(znzee 因为因为第51页/共97页53仿照上例仿照上例 , ,)!12()1(! 5! 3sin1253 nzzzzznn)( R,)!2()1(! 4! 21cos242 nzzzznn)( R. 0 cos sin 的的泰泰勒勒展展开开式式在在与与可可得得 zzz第52页/共97页542. 间接展开法间接展开法 : 借助于一些已知函数的展开式借助于一些已知函数的展开式 , 结合解结合解析函数的性质析函数的性质, 幂级数运算性质幂级数运算性质 (逐项求导逐项求导, 积积分等分等)和其它

27、数学技巧和其它数学技巧 (代换等代换等) , 求函数的泰勒求函数的泰勒展开式展开式.间接法的优点间接法的优点: : 不需要求各阶导数与收敛半径不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比因而比直接展开更为简洁直接展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛使用范围也更为广泛 .第53页/共97页55例如，例如， . 0 sin 的泰勒展开式的泰勒展开式在在利用间接展开法求利用间接展开法求 zz)(21sinizizeeiz 012)!12()1(nnnnz 00!)(!)(21nnnnniznizi第54页/共97页56附附: 常见函数的泰勒展开式常见函数的泰勒展开式,! 21)102 nnnznznzzz

28、e,111)202 nnnzzzzz,) 1() 1(111)302 nnnnnzzzzz)1( z)1( z)( z第55页/共97页57,)!2()1(! 4! 21cos)5242 nzzzznn)( z,)!12()1(! 5! 3sin)41253 nzzzzznn)( z第56页/共97页58例例1 1. )1 (1 2的的幂幂级级数数展展开开成成把把函函数数zz 解解 nnzzzz) 1(11121 z, 11)1(12 zzz上有一奇点上有一奇点在在由于由于,1内处处解析内处处解析且在且在 z,的幂级数的幂级数可展开成可展开成 z第57页/共97页59 zz11)1 (12.

29、1,)1(321112 znzzznn上式两边逐项求导上式两边逐项求导,第58页/共97页60例例2 2. 0 )1ln( 泰勒展开式泰勒展开式处的处的在在求对数函数的主值求对数函数的主值 zz分析分析, 1 , 1 )1ln( 是它的一个奇点是它的一个奇点平面内是解析的平面内是解析的向左沿负实轴剪开的向左沿负实轴剪开的在从在从 z. 1 的幂级数的幂级数内可以展开成内可以展开成所以它在所以它在zz 如图如图,1 Ro1 1xy第59页/共97页61zzzzzznnnd)1(d11000 即即 1)1(32)1ln(132nzzzzznn1 z 将展开式两端沿将展开式两端沿 C 逐项积分逐项积

30、分, 得得解解zz 11)1ln( 02) 1() 1(1nnnnnzzzz)1( z, 0 1 的曲线的曲线到到内从内从为收敛圆为收敛圆设设zzC 第60页/共97页62例例3 3. 231)( 的的幂幂级级数数展展开开成成把把函函数数zzzf 解解231121231zz )23()23(231 212 nzzz 1322223232321nnnzzz,2301 nnnnz. 32, 123 zz即即第61页/共97页63例例4 4.cos2的的幂幂级级数数求求z解解),2cos1(21cos2zz 因为因为 ! 6)2(! 4)2(! 2)2(12cos642zzzz zzzz! 62!

31、42! 221664422)2cos1(21cos2zz 所以所以 zzzz! 62! 42! 22165432第62页/共97页64 通过本课的学习通过本课的学习, 应理解泰勒展开定理应理解泰勒展开定理,熟记熟记五个基本函数的泰勒展开式五个基本函数的泰勒展开式,掌握将函数展开成掌握将函数展开成泰勒级数的方法泰勒级数的方法, 能比较熟练的把一些解析函数能比较熟练的把一些解析函数展开成泰勒级数展开成泰勒级数.第63页/共97页65奇、偶函数的泰勒级数有什么特点奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?思考题思考题第64页/共97页66 奇函数的泰勒级数只含奇函数的泰勒级数只含 z 的奇次幂项的奇次幂项,

32、偶函数偶函数的泰勒级数只含的泰勒级数只含 z 的偶次幂项的偶次幂项.思考题答案思考题答案放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. .第65页/共97页67Born: 18 Aug 1685 in Edmonton, Middlesex, EnglandDied: 29 Dec 1731 in Somerset House, London, EnglandBrook Taylor第66页/共97页68二、洛朗级数的概念三、函数的洛朗展开式一、问题的引入五、小结与思考四、典型例题第67页/共97页69问题问题: . , )( 00的幂级数的幂级数是否能表示为是否能表示为不解析不解析在在如果如

33、果zzzzf nnnzzc)(. 10 双边幂级数双边幂级数负幂项部分负幂项部分正幂项部分正幂项部分主要部分主要部分解析部分解析部分同时收敛同时收敛收敛收敛 nnnnzzc)(0nnnnnnzzczzc)()(0001 第68页/共97页70nnnzzc)(00 nnnzzc )(0110)( zz 令令nnnc 1收敛半径收敛半径收敛收敛时时,R 101RRzz 收敛域收敛域收敛半径收敛半径2R20Rzz 收敛域收敛域:)1( 21RR 若若两收敛域无公共部分两收敛域无公共部分,:)2(21RR 两收敛域有公共部分两收敛域有公共部分.201RzzR R第69页/共97页71结论结论:的的收收

34、敛敛区区域域为为双双边边幂幂级级数数nnnzzc)(0 .201RzzR 圆环域圆环域1R2R.0z常见的特殊圆环域常见的特殊圆环域: :2R.0z200Rzz 1R.0z 01zzR 00zz.0z第70页/共97页72:10 内内在圆环域在圆环域 z例如，例如，10)1(1)( zzzzzf及及在在都不解析都不解析,但在圆环域但在圆环域10 z及及110 z内都是解析的内都是解析的.)1(1)(zzzf 而而1,1112 zzzzzn2. 问题问题: :在圆环域内解析的函数是否一定能展在圆环域内解析的函数是否一定能展开成级数开成级数? ?,111zz 第71页/共97页73所以所以)1(1

35、)(zzzf ,121 nzzzz即即在在)(zf10 z内可以展开成级数内可以展开成级数.内，内，在圆环域在圆环域110 z也可以展开成级数：也可以展开成级数：)1(1)(zzzf .)1()1()1(1)1(121 nzzzz nzzzz)1()1()1(1112 )1(1111zz第72页/共97页74定理定理内内处处处处解解析析，在在圆圆环环域域设设 )( 201RzzRzf ,)()(0nnnzzczf Cnnzfic d)()(21 10其中其中),1,0( nC为圆环域内绕为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线的任一正向简单闭曲线. 0z为洛朗系数为洛朗系数.内内可可展展开开成成洛洛

36、朗朗级级数数在在那那末末Dzf )( 第73页/共97页75 d21d21)(12 KKzfizfizf证证)()(1100zzzz 因因为为对于第一个积分对于第一个积分: 00001nnzzzz 111100000zzzzzzzz 0zRr2R.z1K2K1R. ,)()(0100 nnnzzz 第74页/共97页76nnnzzc)(00 d)(212 Kzfi所以所以对于第二个积分对于第二个积分: d)(211 Kzfi)()(11 00zzzz 因因为为 100zzz nnKnzzzfi)(d)()(2100102 000111zzzzz 第75页/共97页77 1010)()(nnnz

37、zz ,)()(10110nnnzzz d)(211 Kzfi则则其中其中 )(zRN d)()()(211010 KNnnnzzfzi)()(d)()(21011101zRzzzfiNnNnKn 第76页/共97页78下面证明下面证明.0)(lim1外部成立外部成立在在 KzRNN 000 zzrzzzq 令令. 10, q无关无关与积分变量与积分变量 )()( 的连续性决定的连续性决定由由因为因为又又zfMf szzzzfzRKNnnNd)(21)(1000 rqrMnNn 221.1qMqN 第77页/共97页79. 0)(lim zRNN所以所以,)(01nnnzzc d)(21 1

38、Kzfi于于是是nnKnzzzfi )(d)()(2101101 d)(21d)(21)(12 KKzfizfizf则则第78页/共97页80nnnnnnzzczzc )()(0100.)(0nnnzzc ), 2, 1, 0(d)()(2110 nzficCnn 如果如果C为在圆环域内绕为在圆环域内绕 的任何一条正向简单的任何一条正向简单0znncc 与与闭曲线闭曲线 . 则则可用一个式子表示为可用一个式子表示为:证毕证毕第79页/共97页81说明说明:函数函数)(zf在圆环域内的在圆环域内的洛朗展开式洛朗展开式)(zf在圆环域内的在圆环域内的洛朗洛朗(Laurent)级数级数. nnnzz

39、czf)()(0 1) 2) 某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，幂项的级数是唯一的， 这就是这就是 f (z) 的洛朗级数的洛朗级数. 定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的一般方法的一般方法. .第80页/共97页82常用方法常用方法 : 1. 直接法直接法 2. 间接法间接法 1. 直接展开法直接展开法利用定理公式计算系数利用定理公式计算系数nc), 2, 1, 0(d)()(2110 nzficCnn 然后写出然后写出.)()(0nnnzzczf 缺点缺点: 计算往往很麻烦计算往

40、往很麻烦.第81页/共97页83根据正、负幂项组成的的级数的唯一性根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, 可可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 .优点优点 : 简捷简捷 , 快速快速 .2. 间接展开法间接展开法第82页/共97页84例例1 1, 0 内内在在 z. )( 2展开成洛朗级数展开成洛朗级数将将zezfz 解解,)(nnnzczf 由定理知由定理知: d)()(2110 Cnnzfic d213 Cnei其中其中)2, 1,0(, )0(: nzC 第83页/共97页85, 3 时时当当 n0 nc, 2在圆环域内解析在圆环域内解析ze

41、z故由柯西故由柯西古萨基本定理知古萨基本定理知:, 2 时时当当 n由高阶导数公式知由高阶导数公式知:022)(dd)!2(1 zznnezn)!2(1 n 2)!2()( nnnzzf故故 ! 4! 3! 211122zzzz z0 d213 Cnneic第84页/共97页86另解另解 ! 4! 3! 21143222zzzzzzez ! 4! 3! 211122zzzz本例中圆环域的中心本例中圆环域的中心 z = 0 既是各负幂项的奇点既是各负幂项的奇点,. 2的奇点的奇点也是函数也是函数zez第85页/共97页87例例2 2 : )2)(1(1)( 在圆环域在圆环域函数函数 zzzf;10)1 z;21)2 z.2)3 z内是处处解析的内是处处解析的,试把试把 f (z) 在这些区域内展开成洛朗级数在这些区域内展开成洛朗级数.解解,)2(1)1(1)(