多元函数复合求导和隐函数PPT学习教案

1、会计学1多元函数复合求导和隐函数多元函数复合求导和隐函数)(),(ttfz定理定理. 若函数若函数,)(, )(可导在点ttvtu),(vufz 处偏导连续处偏导连续, ),(vu在点在点在点 t 可导可导, tvvztuuztzddddddz则复合函数则复合函数且有链式法则且有链式法则vutt机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ( 全导数公式全导数公式 )第1页/共44页1) 中间变量多于两个的情形中间变量多于两个的情形. 例如例如, ),(wvufz 设下面所涉及的函数都可微设下面所涉及的函数都可微 .tzdd321fff2) 中间变量是多元函数的情形中间变量是多元

2、函数的情形.例如例如,),(, ),(, ),(yxvyxuvufzxz1211ff2221ffyzzzwvuvuyxyxttttuuzddtvvzddtwwzddxuuzxvvzyuuzyvvz机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 )(, )(, )(twtvtu第2页/共44页),(, ),(yxvvxfz当它们都具有可微条件时当它们都具有可微条件时, 有有xz121ffyz22 ffz xyx注意注意: 这里这里xzxfxz表示固定表示固定 y 对对 x 求导求导,xf表示固定表示固定 v 对对 x 求导求导口诀口诀 : 分段用乘分段用乘, 分叉用加分叉用加, 单路

3、全导单路全导, 叉路偏叉路偏导导xfxvvfyvvf与与不同不同,v机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第3页/共44页,sinyxvyxuvezu.,yzxz求解解:xzveusin)cos()sin(yxyxyeyxyz)cos()sin(yxyxxeyxveusinxuuzxvvzveucosyuuzyvvzveucosy1 x1 zvuyxyx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第4页/共44页,sin,),(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解解:xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(2zyxy

4、xuyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yx cos2机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共44页,sintvuz.ddtzztvutttzddtevtttetcos)sin(costuuzddtvvzddtz求全导数求全导数,teu ,costv 解解:tusintcos注意：注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 验证解的问题中经常遇到验证解的问题中经常遇到, 下列例题有助

5、于掌握下列例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号这方面问题的求导技巧与常用导数符号.第6页/共44页为简便起见为简便起见 , 引入记号引入记号,2121vuffuff ),(1zyxzyxff 具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数, ),(zyxzyxfw求求.,2zxwxw解解: 令令,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy则则zxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy121 fyxf 2221,ff机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第7页/共44页设函

6、数设函数),(, ),(, ),(yxvyxuvufz的全微分的全微分为为yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz可见无论可见无论 u , v 是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量, )dd(yyuxxu)dd(yyvxxv则复合函数则复合函数) (fz ),(, ),(yxyxudvzvd都可微都可微, , 其全微分表达其全微分表达 形式都一样形式都一样, 这性质叫做这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第8页/共44页 )cos( )sin(yxyxeyx例例1 .,sinyxvy

7、xuvezu.,yzxz求利用全微分形式不变性再解例利用全微分形式不变性再解例1. 解解: :) (dd zuveudsin)cos()sin(yxyxyeyx)cos()sin(yxyxyexzyx)cos()sin(yxyxxeyzyx所以所以veusinvveudcos )cos( )sin(yxyxeyx)(dyx)(dyx )cos()sin(yxyxxeyx)d(dyx xdyd)dd(yxxy机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第9页/共44页,)(.02zyxezed解,)(02zdezdyxdezyxzdexdyydxezyx)()(2ydeexxde

8、eyzdzyxzyx)()(22,2zyxeeyxz.2zyxeexyz.,02.7yzxzezezyx和求已知例第10页/共44页机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一个方程所确定的隐函数一、一个方程所确定的隐函数 及其导数及其导数 二、方程组所确定的隐函数组二、方程组所确定的隐函数组 及其导数及其导数隐函数的求导方法 第11页/共44页y )(, 01sinxyyyxeyxyycos两边对两边对 x 求导求导xey0 yxxyeyx cos 利用隐函数求导利用隐函数求导机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第12页/共44页0)(,(xfxF两边对两边对 x 求导

9、求导0ddxyyFxFyxFFxydd0yF,0),()(所确定的隐函数为方程设yxFxfy在在),(00yx的某邻域内的某邻域内则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 0),(. 1 yxF第13页/共44页若若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续的二阶偏导数也都连续, ,22ddxy2yxxyyxxFFFFF3222yxyyyxyxyxxFFFFFFFFyxFF)(yxFFy)(2yxyxyyyyxFFFFFFF)(yxFFxxyxxydd则还有则还有机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第14页/共44页01sinyxeyx0dd,0d

10、d22xxyxxy解解: 令令, 1sin),(yxeyyxFx, yeFxx则则xyFy cos求求0ddxxy0 xFFyx 1xy cosyex0, 0yx0dd22xxy)cos(ddxyyexx1, 0, 0yyx2)cos( xy 3100yyx)(yex)(cosxy )(yex) 1sin(yy第15页/共44页0),(,(yxfyxF两边对两边对 x 求偏导求偏导xFzxFFxzzyFFyz同样可得同样可得,0),(),(所所确确定定的的隐隐函函数数是是方方程程设设 zyxFyxfz则则zFxz00),(000zFzyx的某邻域内在0),(. 2 zyxF第16页/共44页设

11、设zzyxzyxF4),(222则则,2xFxzxFFxz两边对两边对 x 求偏导求偏导)2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz2zxzx242 zFz机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例2. 设设,04222zzyx.22xz求第17页/共44页解法解法2 利用隐函数求导利用隐函数求导0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)( 2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 再对再对 x 求导求导例例2. 设设,04222zzyx.22xz求第18页

12、/共44页机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例2. 设设,04222zzyx.22xz求解法解法3. 利用全微分形式不变性同时求出各偏导数利用全微分形式不变性同时求出各偏导数. .,0)4(222 zzyxd,04222 dzdzdydx,04222 dzzdzydyxdx,22dyzydxzxdz ,dyyzdxxzdz zxxz 2第19页/共44页思路思路：把把z看看成成yx,的的函函数数对对x求求偏偏导导数数得得xz ，把把x看看成成yz,的的函函数数对对y求求偏偏导导数数得得yx ，把把y看看成成zx,的的函函数数对对z求求偏偏导导数数得得zy .解解令令

13、, zyxu ,xyzv 则则),(vufz 第20页/共44页把把z看成看成yx,的函数对的函数对x求偏导数得求偏导数得xz )1(xzfu ),(xzxyyzfv 整理得整理得xz ,1vuvuxyffyzff ),(vufz 第21页/共44页整理得整理得,vuvuyzffxzff yx )1(1 zyfu),(zyxzxyfv 整理得整理得zy .1vuvuxzffxyff 把把x看成看成yz,的函数对的函数对y求偏导数得求偏导数得)1(0 yxfu),(yxyzxzfv 第22页/共44页第六节第六节 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ),(vufz 设设zxyzzy

14、xfzyxF ),(),(则则,vuxyzffF 1 vuzxyffFzxFFxz ,1vuvuxyffyzff 第23页/共44页),(zyxzyxfz ,yx zd1f zyxddd 2f zyxyzxxzyddd :dx解出解出 d x21fzyf zfyxfd121 yfzxfd21 .zx 第六节第六节 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 由由d y, d z 的系数即可得的系数即可得),(vufz 第24页/共44页0),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF,的线性方程组这是关于xvxu0),(0),(vuyxGvuyxF有隐函数组有隐函

15、数组则则两边对两边对 x 求导得求导得,),(),(yxvvyxuuxuxvxuxvxFuFvF0 xGuGvG0公式公式 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、方程组所确定的隐函数组及其导二、方程组所确定的隐函数组及其导数数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.第25页/共44页 0),(0),(vuyxGvuyxF ),(),(yxvvyxuu由由 F、G 的偏导数组成的行列式的偏导数组成的行列式vuvuGGFFvuGFJ ),(),(称为称为F、G 的的雅可比雅可比( Jacobi )行列式行列式.雅可比雅可比 目录目录 上页上页

16、下页下页 返回返回 结束结束 第26页/共44页),(),(1vxGFJxu ),(),(1vyGFJyu ),(),(1xuGFJxv ),(),(1yuGFJyv vvvuvuGFGGFF1 vvvuvuGFGGFF1 uuvuvuGFGGFF1 uuvuvuGFGGFF1 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xxGFyyGFxxGFyyGF第27页/共44页222111cybxacybxa解解:22111babax 2211bcbc2211caca22111babay 第28页/共44页, 1,0vxuyvyux.,yvxvyuxu解解:xu 22yxvxuyyu

17、方程组两边对方程组两边对 x 求导，并移项得求导，并移项得求求0 vxvxxuy22yxvyuxxv 22yxuyvx练习练习: 求求yvyu,0 xvyxuxu22yxvyuxyv机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 答案答案:故有故有第29页/共44页1. 复合函数求导的链式法复合函数求导的链式法则则“分段用乘分段用乘, 分叉用加分叉用加, 单路全导单路全导, 叉路偏导叉路偏导”例如例如, ),(, ),(yxvvyxfuuvyxyxxu1f 3f;1yu2f 3f22. 全微分形式不变性全微分形式不变性, ),(vufz 对不论不论 u , v 是自变量还是因变量是

18、自变量还是因变量,vvufuvufzvud),(d),(d机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第30页/共44页3、 隐函数隐函数 ( 组组) 求导方法求导方法方法方法1. 利用复合函数求导法则直接计算利用复合函数求导法则直接计算 ;方法方法2. 代公式代公式;方法方法3. 利用微分形式不变性利用微分形式不变性 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第31页/共44页,1),(2xyyxf,2),(21xyxfxy1. 已知已知求求.),(22xyyxf解解: 由由1),(2xxf两边对两边对 x 求导求导, 得得02),(),(2221xxxfx

19、xfxxxf2),(211),(22xxf机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第32页/共44页,.223Cfxyyxfxz 设设.,yxzyzyz222求求.解解xfxfxyz1213 ,2214fxfxxfxfxxfxfx112221212114 ,221231152fxfxfx yyz222214fxfx第33页/共44页yxz2xyz22214fxfxx,2214fxfxyz,23Cfxyyxfxz 212114134xyfyfxfx 22221222xyfyfxfx.2211421324fyfyxfxfx 第34页/共44页)()(xzzxyy及,2 yxey

20、x.ddxu求分别由下列两式确定分别由下列两式确定 :又函数又函数),(zyxfu 有连续的一阶偏导数有连续的一阶偏导数 ,3. 设设解解: 两个隐函数方程两边对两个隐函数方程两边对 x 求导求导, 得得321)sin()(1ddfzxzxefxyfxuxuzyxx x0)()(yxyyxyeyxxezxzx )sin()1 (z,xyy)sin()(1zxzxezx,dsin0tttezxx(2001考研考研)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解得解得因此因此第35页/共44页 zxFyFy0zFz fx)1 (y)(, )(xzzxyy 是由方程是由方程)(yxf

21、xz 和和0),( zyxF所确定的函数所确定的函数 , 求求.ddxz解法解法1 分别在各方程两端对分别在各方程两端对 x 求导求导, 得得ffxfzyfx xzyFzFyF)0( zyFfxFzyxyFfxFFfxFfxf )(xzdd 1 zyFFfxxyFFfxffx(99考研考研)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第36页/共44页0),(),(zyxFyxfxz对各方程两边分别求微分对各方程两边分别求微分:化简得化简得消去消去yd.ddxzyF d20d3zFyfxd 0d z)d(dddyxfxxfz 0ddd321zFyFxFxfxfd)(xF d1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 可得可得第37页/共44页一、填空题一、填空题: : 1 1、设、设xyyxzcoscos , ,则则 xz_； yz_. .2 2、 设设22)23ln(yyxxz , ,则则 xz_； yz_._. 3 3、设、设32sinttez , ,则则 dtdz_._.二二、设设uvuez , ,而而xyvyxu ,22，求求yzxz , . .练练 习习 题题第38页/共44页三、设三、设)arctan(xyz , ,而而xey , ,求求dxdz. .四、设四