复变函数西安交大　第四版第六讲PPT学习教案

1、会计学1复变函数西安交大第四版第六讲复变函数西安交大第四版第六讲 在在3.63.6我们证明了在我们证明了在D内的解析函数内的解析函数,其导数其导数仍为解析函数仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数。本节所以解析函数有任意阶导数。本节利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间的关系。的关系。内内 容容 简简 介介第1页/共47页.),()00:),(2222内内的的调调和和函函数数为为则则称称即即（方方程程续续偏偏导导数数且且满满足足内内具具有有二二阶阶连连在在若若二二元元实实变变函函数数DyxyxLaplaceDyx 定义定义内的调和函数。内的调和函数

2、。是是，内解析内解析在区域在区域若若DyxvvyxuuDyxivyxuzf),(),(),(),()( 定理定理第2页/共47页证明：证明：设设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域在区域D内解析，则内解析，则xvyuyvxuRC 方方程程由由yxvyuxyvxu 222222从从而而有有xyvyxvyxvyxu 22.),(),(具具有有任任意意阶阶的的连连续续导导数数理理由由解解析析函函数数高高阶阶导导数数定定, 0 2222 yuxuD内有内有故在故在0 2222 yvxv同理有同理有第3页/共47页0, 0 vu2222yx 其其中中即即u及及v 在在D内满足拉普拉斯内满足拉

3、普拉斯(Laplace)方程方程:内内的的调调和和函函数数。是是，Dyxvvyxuu),(),( .),(),(,),(的的共共轭轭调调和和函函数数为为函函数数内内构构成成解解析析函函数数的的调调和和在在称称使使得得内内的的调调和和函函数数为为设设yxuyxvDivuDyxu 定义定义第4页/共47页上面定理说明：上面定理说明：.部部的的共共轭轭调调和和函函数数内内解解析析函函数数的的虚虚部部是是实实D.),(),(),(),()(,的的共共轭轭调调和和函函数数必必为为内内在在内内解解析析在在即即yxuuyxvDDyxivyxuzf 由解析的概念得：由解析的概念得：.,:的的共共轭轭调调和和函

4、函数数必必为为调调和和函函数数的的两两个个方方程程内内满满足足在在uvvuvuvuRCDxyyx ., 一一定定解解析析内内就就不不在在则则内内的的两两个个调调和和函函数数区区域域是是任任意意选选取取的的在在若若DivuDvu 现在研究反过来的问题：现在研究反过来的问题：第5页/共47页.的的共共轭轭调调和和函函数数不不是是但但都都是是调调和和函函数数与与尽尽管管yxuyxvyxvyxu 如如)11)()()(xyyxvuvuzyxiyxivuzf 处处不解析处处不解析平面上平面上在在（由由此此，的的共共轭轭调调和和函函数数必必须须是是方方程程，即即还还必必须须满满足足及及内内解解析析在在要要

5、想想使使.,uvRCvuDivu .),(),(ivuyxvRCyxu 从从而而构构成成解解析析函函数数程程可可求求得得它它的的虚虚部部方方利利用用部部已已知知一一个个解解析析函函数数的的实实),(yxv虚虚部部),(yxu实实部部第6页/共47页0,),(,2222 yuxuDyxuD则则函函数数内内的的调调和和是是区区域域一一单单连连通通区区域域设设内内有有连连续续一一阶阶偏偏导导数数在在、即即Dxuyu ,)()(xuxyuy 且且),(yxdvv )()(),(),(),(00cdyxudxyuyxvyxyxdyyvdxxv dyxudxyu 第7页/共47页.内内解解析析在在方方程程

6、满满足足DivuRCxuyvyuxv .)(),()(,),( 内解析内解析在在使得使得式所确定的式所确定的则则内调和函数内调和函数在单连通在单连通设设DivuzfyxvDyxu 定理定理)()(),(),(),(00cdyxudxyuyxvyxyx第8页/共47页A 公式不用强记！可如下推出：公式不用强记！可如下推出：dyxvdxyvdyyudxxuduRC 方方程程由由),(),(yxvyxu求求其其共共轭轭调调和和函函数数已已知知：类似地，类似地， 然后两端积分得，然后两端积分得，),(),(yxuyxv也也可可以以求求其其调调和和函函数数如如已已知知：dyudxudyyvdxxvdvx

7、yRC 方方程程由由cdyudxuvyxyxxy )(),(),(00然然后后两两端端积积分分得得，第9页/共47页)()(),(),(),(00cdyvdxvyxuyxyxxyA 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中都有重要应用。本节介绍了调和函数与解问题中都有重要应用。本节介绍了调和函数与解析函数的关系。析函数的关系。第10页/共47页iifyxyxuivuzf 1)()(22由由下下列列条条件件求求解解析析函函数数例例1xyyuxvyxxuyv 22解解cdyyxdxxyyxvyx ),()0,0()2()2(),(曲线积分曲线积分法法xy0(x

8、,y)xdyyxdxxydyyvdxxvdv)2()2( cdyyxxdxyx 00)2(cyxyx 22222其中其中c 为任意实的常数为任意实的常数第11页/共47页icziiciyxiiyxcyxyxixyyxzf 2222222)211()(2)()21221()()(故故代代入入上上式式得得，iif 1)(A )(21),(21zziyzzx )(1, 0zfyx代入代入或令或令 21 c也可得也可得iicii 1)21(22)21()(,212izizfc 即即ici 1)21(1第12页/共47页ydyxdxxdyydx 22dyyvdxxvdv 又解又解cyxyxyxv 222

9、),(22)21221()()(2222cyxyxixyyxzf 凑凑全全微微分分法法)22(222yxddxy dyyxdxxyRC)2()2( 方方程程由由其中其中c 为任意实的常数为任意实的常数第13页/共47页)(2222xyxyvyxyv )21221()()(2222cyxyxixyyxzf 又解又解偏偏积积分分法法)( 2xyxv cxx 2)(2 cxyxyyxv 222),(22xx )( xyyuxv 2其中其中c 为任意实的常数为任意实的常数第14页/共47页yxxxiuuivuzf )( )21221()()(2222cyxyxixyyxzf 又解又解不不定定积积分分法

10、法)()(2iyxiiyx zi 2iczizf 222)()2()2(yxiyx )(2(iyxi 其中其中c 为任意实的常数为任意实的常数第15页/共47页一般一般,若已知实部若已知实部u,则则 icdzzUzfzUiuuzfyx)()()()(若已知虚部若已知虚部v,则则cdzzVzfzVivvzfxy)()()()(其中其中c 为任意实的常数为任意实的常数其中其中c 为任意实的常数为任意实的常数第16页/共47页& 1. 复数列的极限复数列的极限& 2. 级数的概念级数的概念第第 四四 章章 级级 数数第17页/共47页 1. 复数列的极限复数列的极限定定义义,), 2

11、 , 1(nnnniban 其其中中设设复复数数列列： ，iba 又设复常数：又设复常数：时时的的极极限限，当当称称为为复复数数列列那那么么，恒恒有有若若 nNnNnn, 0, 0 定理定理1.lim,limlimbbaannnnnn 证明证明 nnnNnN恒恒有有即即，”已已知知“, 0, 0lim.,lim 收收敛敛于于此此时时，也也称称复复数数列列时时，或或当当记记作作nnnnn 第18页/共47页)()(bbiaannn 又又即即，”已已知知“bbaannnn lim,lim22)()(bbaann nnnnbbaa.lim,limbbaannnn 故故恒恒有有, 0, 0NnN 22

12、 bbaann，)()(bbiaannn 又又 bbaann.lim nn故故第19页/共47页2. 级数的概念级数的概念 nnn 211 niinns121 级数的前面级数的前面n项的项的和和-级数的部分和级数的部分和称称为为级级数数的的和和ssnn lim称称为为收收敛敛级级数数 1nn 不收敛不收敛称称为为发发散散级级数数 1nn -无穷级数无穷级数定义定义), 2 , 1( nibannn 设复数列：设复数列： 收收敛敛若若部部分分和和数数列列ns第20页/共47页例例1解解的敛散性。的敛散性。判别判别 123nniisiisnnnnjjn3lim),211(3231 又又.3,i且且

13、和和为为级级数数收收敛敛定理定理2都都收收敛敛。和和收收敛敛级级数数 111nnnnnnba 都收敛。都收敛。和和由定理由定理 111111lim,limlim,)(nnnnnnnnnnnnnkknkkknkknkknbabaibasibiaibas 证明证明第21页/共47页A 由定理由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为，复数项级数的收敛问题可归之为 两个实数项级数的收敛问题。两个实数项级数的收敛问题。. 0lim: nn 收收敛敛的的必必要要条条件件级级数数 1nn 性质性质定理定理3.1111 nnnnnnnn 收收敛敛，且且收收敛敛若若证明证明222222,nnnnnnnnnnnba

14、bbaabaiba 收敛。收敛。得得由定理由定理均绝对收敛，均绝对收敛，和和由比较判定法由比较判定法 1112nnnnnnba 1111,nnnnnkknkk 1, 0limnnnn发散发散则则如果如果推论推论 第22页/共47页A 收敛.收敛.收敛收敛若若 11nnnn ?)1(:(1 nnni例例如如定义定义.11111条条件件收收敛敛为为收收敛敛，则则称称发发散散，而而若若为为绝绝对对收收敛敛；收收敛敛，则则称称若若 nnnnnnnnnn 由定理由定理3的证明过程，及不等式的证明过程，及不等式:22有有nnnnbaba 定理定理4都都收收敛敛。和和收收敛敛级级数数 111nnnnnnba

15、 第23页/共47页解解.)1(111)1(1121发发散散收收敛敛，发发散散， nnnninnn绝绝对对收收敛敛。收收敛敛， 000!)8(!8!8)2(nnnnnnninni.)2) 1(21) 1()3(111收收敛敛收收敛敛，收收敛敛， nnnnnnninn例例2否否绝绝对对收收敛敛？下下列列级级数数是是否否收收敛敛？是是 011)2)1()3(!)8()2()1(1)1(nnnnnninninin.)1(1原原级级数数非非绝绝对对收收敛敛收收敛敛，条条件件又又 nnn第24页/共47页例例3的敛散性。的敛散性。讨论讨论 0!nnnz解解敛。敛。在复平面上处处绝对收在复平面上处处绝对收

16、令令 000!,nnrnnnnnzenrnzrz练习：练习：的敛散性。的敛散性。讨论讨论 111nnien 的敛散性。的敛散性。讨论讨论 02cosnnin2cosnneein 用收敛必要条件做用收敛必要条件做第25页/共47页& 1. 幂级数的概念幂级数的概念& 2. 收敛定理收敛定理& 3. 收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径& 4. 收敛半径的求法收敛半径的求法& 5. 幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质第26页/共47页1. 幂级数的概念幂级数的概念定义定义设复变函数列：设复变函数列：)1()()()()(211 zfzfzfzfnnn, 2 ,

17、 1,)( nDzzfn-称为复变函数项级称为复变函数项级数数级数的最前面级数的最前面n项的项的和和 nkknnzfzfzfzfzs121)()()()()(-级数的部分和级数的部分和发发散散。在在不不存存在在，称称级级数数其其和和为为收收敛敛在在称称级级数数若若0000000)1()(lim),(,)1(),()(limzzszszzszsDznnnn 第27页/共47页若级数若级数(1)在在D内处处收敛，其和为内处处收敛，其和为z的函数的函数)()()()(21zfzfzfzsn -级数级数(1)的和函数的和函数特殊情况，在级数特殊情况，在级数(1)中中得得nnnzzczf)()(0 )

18、2()(00 nnnzzc)3(000 nnnzcz当当称为幂级数称为幂级数并并不不失失一一般般性性。研研究究级级数数中中令令在在)3()2()2(00 kknczz 第28页/共47页.,)0(000级级数数必必绝绝对对收收敛敛的的则则对对满满足足收收敛敛在在若若级级数数zzzzzzcnnn 2. 收敛定理收敛定理同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：定理定理1 (阿贝尔阿贝尔(Able)定理）定理）.,00级级数数必必发发散散的的则则对对满满足足发发散散若若级级数数在在zzzzz 第29页/共47页 ,2,1 ,0,max0020201

19、0 nMzczczczccMnnNN故故取取 证明证明，即即则则收收敛敛0lim,)1(000 nnnnnnzczc nnzcNnN000，恒恒有有，1,00 qzzzz则则若若,00nnnnnnMqzzzczc ,0收收敛敛由由于于 nnMq,0收收敛敛由由比比较较判判别别法法得得 nnnzc绝对收敛。绝对收敛。 0nnnzc第30页/共47页(2)用反证法，用反证法，3. 收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径收收敛敛，有有设设 01011,nnnzczzz由由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述定理，幂级数的收敛范围不外乎下述三种情况：三种情况：(i)若对所有正实数都收敛，级数若对所有正实

20、数都收敛，级数(3)在复平面上在复平面上处处收敛。处处收敛。！收收敛敛与与假假设设矛矛盾盾，得得证证知知由由 00)1(nnnzc(ii )除除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时，外，对所有的正实数都是发散的，这时， 级数级数(3)在复平面上除在复平面上除z=0外处处发散。外处处发散。第31页/共47页.)3(:)3(:发发散散数数外外，级级在在圆圆周周收收敛敛；内内，级级数数定定理理，在在圆圆周周由由 zczcAble., 0, 0)(00发发散散使使得得收收敛敛使使得得 nnnnnncciii 显然，显然， 1,1上上在在圆圆周周 z 11,1nnppnnnz是是收收敛敛的的该级数在

21、收敛圆上是该级数在收敛圆上是处处处处收敛的。收敛的。第40页/共47页nninnineenicninin1cos1sin1cos1sin1cos21)(21ch)2( nnncc1lim 11cos11coslim nnn1 R,11上上在在圆圆周周 z 11)1(cos)1)(ch(nninnenzni 1)1)(ch(, 0)1(coslimnninnznien发发散散。 综上综上该级数发散该级数发散。该级数收敛，该级数收敛，时时，当当11 z时时，当当11 z;)1)(ch)2(1 nnzni第41页/共47页222)2(ln1ln1nnnninc R222lnln2ln)arg(ln)ln()3( ninininiinin其其中中：nnnnnnnc222)2(ln1limlim 故故0)2(ln1lim2122 nn.)ln()3(1nninz 故该级数在复平面上是处处收敛的故该级数在复平面上是处处收敛的.第42页/共47页5. 幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质q代数运算代数运算2010)()(rRzgzbrRzfzannnnnn