因式分解的概念提公因式法（课堂PPT）

1、2021/3/2912021/3/2921. .整式乘法有几种形式整式乘法有几种形式? (1)单项式乘以单项式单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式单项式乘以多项式: a(m+n)=_ (3)多项式乘以多项式多项式乘以多项式: (a+b)(m+n)=_ 2.乘法公式有哪些乘法公式有哪些? (1)平方差公式平方差公式: (a+b)(a-b)=_ (2)完全平方公式完全平方公式: (ab)2=_am+anam+an+bm+bn22ab22a2ab+b复习与回顾复习与回顾2021/3/29399993 3-99-99能被能被100100整除吗整除吗? ?小明是这样想的小明是这样想的:993-99=

2、99992-99 1 =99 (992-1) =99 (99+1)(99-1) = 9910098 所以所以, 993-99能被能被100整除整除. .你知道每一步的根据吗你知道每一步的根据吗? ?想一想想一想: 99: 993 3-99-99还能被哪些整数整除还能被哪些整数整除? ?答答：98， 99探究探究2021/3/294做一做做一做计算下列个式计算下列个式:3x(x-1)= _(m+4)(m-4)= _(y-3)2= _a(a+1)(a-1)= _m(a+b+c) =_根据左面的算式填空根据左面的算式填空: 3x2-3x=_ m2-16=_(3) y2-6y+9=_(4) a3-a=

3、_(5)ma+mb+mc=_3x2-3xma+mb+mcm2-16y2-6y+9a3-a3x(x-1) m(a+b+c) (m+4)(m-4) (y-3)2 a(a+1)(a-1)思考：左右两边的运算有什么特点思考：左右两边的运算有什么特点?2021/3/295请把下列多项式写成整式乘积的形式请把下列多项式写成整式乘积的形式 把一个把一个化成几个化成几个积积的形的形式，式，这种这种变形变形叫做把这个多项式叫做把这个多项式因式因式分解分解（或或分解因式分解因式）. (1) x2+x (2) x21 = (3) ma+mb+mc=x(x+1)(x+1)(x-1)m(a+b+c) 想一想想一想: 分

4、解因式与整式乘法有何关系分解因式与整式乘法有何关系?2021/3/292021/3/296 6 想一想想一想:因式分解与整式乘法有何关系因式分解与整式乘法有何关系?因式分解与整式乘法是相反方向的变形，因式分解与整式乘法是相反方向的变形，是是互逆的互逆的过程过程(x+1)(x-1)x2-1整式乘法整式乘法(x+1)(x-1)x2-1因式分解因式分解(x+1)(x-1)x2-1因式分解因式分解整式乘法整式乘法2021/3/292021/3/297 7练一练“理解概念理解概念”判断下列各式哪些是因式分解判断下列各式哪些是因式分解? ?为什么？为什么？ (1) 2x(x-3y) = 2x (1) 2x

5、(x-3y) = 2x2 2- 6xy- 6xy (2) 6a (2) 6abc = 2abbc = 2ab3ac3ac (3) a (3) a2 2-4 = (a-2)(a+2) -4 = (a-2)(a+2) (4) m (4) m2 2-5 = (m+2)(m-2) 1-5 = (m+2)(m-2) 1 (5) x (5) x2 2+4x+4=(x+2)+4x+4=(x+2)2 2 (6)x (6)x +1 = x (x + +1 = x (x + ) ) (7) 2R+ 2r= 2(R+r) (7) 2R+ 2r= 2(R+r) x1整式乘法整式乘法单项式单项式没有因式分解没有因式分解

6、因式分解因式分解整体上是整体上是求和求和x1 不是整式不是整式因式分解因式分解因式分解因式分解把一个把一个化成几个化成几个积积的形式的形式,这这种种变形变形叫做把这个多项式叫做把这个多项式因式分解因式分解2021/3/298解解 因为因为( (a- -2)()(a- -3) ) = a2- -5a+6， 所以因式分解所以因式分解a2 - - 5a + 6 = ( (a- -2)()(a- -3) )正确正确.（1） x2 + xy = x( (x+y) )解解 因为因为x( ( x + y ) ) = x2 + xy ， 所以因式分解所以因式分解 x2 + xy = x( (x + y) )正

7、确正确.（2） a2 - - 5a + 6 = ( (a- -2)()(a- -3) ) （3） 2m2 - -n2 = ( (2m- -n)()(2m+n) ) .解解 因为因为( (2m- -n)()(2m+n) )= 4m2- -n22m2- -n2， 所以因式分解所以因式分解2m2- -n2=( (2m- -n)()(2m+n) )不正确不正确. 检验下列因式分解是否正确检验下列因式分解是否正确.检验因式分解是否正确，只要检验因式分解是否正确，只要看等式右边的几个多项式的乘看等式右边的几个多项式的乘积与左边的多项式积与左边的多项式是否相等是否相等.2021/3/299自学指导因式分解有

8、什么特点：因式分解有什么特点：1 1、因式分解是多项式的、因式分解是多项式的恒等变形恒等变形2 2、因式分解结果必须是几个、因式分解结果必须是几个整式乘积整式乘积的形式的形式 等式右边（即分解结果）不能含独立的加减号等式右边（即分解结果）不能含独立的加减号3 3、分解到、分解到不能再分解不能再分解为止为止2021/3/292021/3/291010通过本节课的学习，你有哪些收获和感悟？通过本节课的学习，你有哪些收获和感悟？因式分解因式分解整式乘法整式乘法积积化化和和差差和和差差化化积积恒等变形恒等变形2021/3/292021/3/291111请把下列多项式写成整式乘积的形式请把下列多项式写成

9、整式乘积的形式 (1) x2+x (2) ma+mb+mc=x(x+1)m(a+b+c)2021/3/292021/3/291212 多项式中多项式中各项各项都含有的都含有的相同因式相同因式，叫做叫做这个多项式这个多项式的的公因式公因式。mcmbma相同因式相同因式m m这个多项式有什么特点？这个多项式有什么特点？2021/3/292021/3/291313 把多项式把多项式ma+mb+mc分解成分解成m(a+b+c)的的形式，其中形式，其中m是各项的是各项的公因式公因式，另一个因式，另一个因式(a+b+c)是是ma+mb+mc 除以除以m的的商商，像这种分，像这种分解因式的方法，叫做解因式的

10、方法，叫做。怎样分解因式:mcmbmama + mb + mc = m ( a + b + c )mammbmmcm提取公因式提取公因式2021/3/292021/3/291414分析：分析：8a3b2+12ab3c 的的公因式公因式是什么？是什么？最大公约数最大公约数相同相同字母最字母最低低次幂次幂公因式：公因式：4ab24ab2一一看系数看系数二二看字母看字母三三看指数看指数步骤步骤:如何用如何用提公因式法提公因式法将将8a3b2+12ab3c 分解因式？分解因式？2021/3/292021/3/291515正确找出多项式各项公因式公因式的关键关键是：1 1、定系数定系数：公因式的系数是多

11、项式各项系公因式的系数是多项式各项系数的数的最大公约数最大公约数。 2 2、定字母定字母： 字母取多项式各项中都含有的字母取多项式各项中都含有的相同的字母相同的字母。 3 3、定指数定指数： 相同字母的指数取各项中最小相同字母的指数取各项中最小的一个，即的一个，即字母最低次幂字母最低次幂 认真理解认真理解2021/3/292021/3/291616找一找找一找: 下列各多项式的下列各多项式的公因式公因式是什么？是什么？ （3）（a）（a2）（2(m+n)）（3mn）（-2xy）(1) 3x + 6y(2) ab - 2ac(3) a2 - a3(4) 9m2n - 6mn(5) -6x2y -

12、 8xy2(6) 4(m+n)2 +2(m+n)首项有负常提负首项有负常提负一个数一个数一个字母一个字母单项式单项式多项式多项式还剩还剩2(m+n)+1整项提出莫漏整项提出莫漏12021/3/292021/3/291717例1、把 8ab+12abc分解因式。 如何检查因式分如何检查因式分解是否正确？解是否正确？ 在分解因式完成后，按照整式乘法把因式再乘回去，在分解因式完成后，按照整式乘法把因式再乘回去，看结果是否与原式相等，如果相等就说明分解正确。看结果是否与原式相等，如果相等就说明分解正确。解：解：8ab+12abc=4ab2a=4ab(2a+3bc)+4ab3bc公因式：公因式：4ab2

13、第一步：确定公因式；第一步：确定公因式；第二步：分离公因式；第二步：分离公因式；第三步：提取公因式；第三步：提取公因式；2021/3/2918看你是否过关看你是否过关？ 把下列各式分解因式：把下列各式分解因式： 8mn+2mn = 12xyz-9xy = 2a(y-z)-3b(z-y) = P(a+b)-q(a+b) = 3x2-6xy+x=2mn(4m+1)3xy(4z-3xy)(y-z)(2a+3b)(a+b)(p-q)z-y = - (y-z)x(3x-6y+1)不能漏掉不能漏掉1互为相反数的多项式互为相反数的多项式可化为同一因式可化为同一因式2021/3/292021/3/291919

14、1、把下列各式分解因式、把下列各式分解因式:(1)、3am+1b2n-2am-1bn+1 ;2021/3/292021/3/292020(2)、-3a2b2+6ab2c-9abc ；首项（最高次项）系数为负数时，应提出负号首项（最高次项）系数为负数时，应提出负号, ,此时添到括号内的各项要注意变号此时添到括号内的各项要注意变号. .2021/3/292021/3/292121（3）、(x-y)(a+b) - - (y-x)(2a-b)公因式可以是多项式公因式可以是多项式最后结果，单项式应写在多项式前面最后结果，单项式应写在多项式前面2021/3/292021/3/292222（4）、）、m2(

15、a-2)+m(2-a)公因式要提尽，分解要彻底公因式要提尽，分解要彻底2021/3/292021/3/2923232、已知、已知x-2y=6,xy=3.求求2x2y-4xy2的值的值2021/3/292021/3/2924243x, 5a),7x(3)7x(a412其中、先分解因式，再求值2、计算：、计算：534+2433+63322021/3/292021/3/2925253、因式分解：、因式分解：（1）-6m4n2-3m3n2+15m2n4;（2）27xn+1-18xn+9xn-1.2021/3/292021/3/292626把把12x2y+18xy2分解因式分解因式解：原式解：原式 =3

16、xy(4x + 6y) 错误错误公因式没有提尽，公因式没有提尽，还可以提出公因式还可以提出公因式2 2注意：注意：公因式要提尽。公因式要提尽。诊断诊断正确解：正确解：原式原式=6xy(2x+3y)2021/3/292021/3/292727当多项式的某一项和公当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式因式相同时，提公因式后剩余的项是后剩余的项是1 1。错误错误注意：注意：某项提出莫漏某项提出莫漏1 1。解：原式解：原式 =x(3x-6y)把把3x2 - 6xy+x分解因式分解因式正确解：正确解：原式原式=3xx-6yx+1x =x(3x-6y+1)2021/3/292021/3/292828提出

17、负号时括号里的项提出负号时括号里的项没变号没变号错误错误诊断诊断把把 - x2+xy-xz分解因式分解因式解：原式解：原式= - x(x+y-z)注意：注意：首项有负常提负首项有负常提负,使括号中首项系数为正。使括号中首项系数为正。正确解：正确解：原式原式= - (x2-xy+xz) = - x(x-y+z)2021/3/292021/3/2929292 2、确定公因式的方法、确定公因式的方法：3 3、提公因式法分解因式步骤、提公因式法分解因式步骤( (分三步分三步) )：1 1、什么叫因式分解？、什么叫因式分解？(1)(1)定系数定系数 (2)(2)定字母定字母 (3)(3)定指数定指数第一步：确定公因式；第二步：分离公因式；第一