山路引理在二阶椭圆型方程中的应用

1、3在二阶椭圆型方程中的应用接下来我们应用山路引理来证明变系数二阶椭圆型方程边值问题的非平凡 解的存在性。问题 设Rn(n 3)是有界区域，充分光滑，设f :R1R1满足Caratheodory条件，并且满足下列增长性条件：(Fi)存在常数Ci,C2以及,1 口，使得n 2I f (x,t)| c C2 111 .考虑下列问题div(a(x) u) b(x)u f (x,u), x u| 0在H0()中弱解的存在性(其中a(x) 0,b(x) 0)。令tF(x,t) 0 f (x, s)ds,1 2 2I (u)a(x)| u | b(x)u dx F(x, u)dx,2则可知,i是h1()上的

2、c1泛函，并且1I '(u),v lim I (u tv) I (u)t 0 t1a(x) u v b(x)uv f (x, u)vdx, v H 0().因此，边值问题(1)是泛函I的Euler-Lagrange方程。于是，为了求(1)在H；() 中的弱解，我们只需求泛函I在H0()中的临界点。下面定义|u |为|u| .a(x) | u |2 b(x)u2dx，下面我们来证明它是h0()空间中的一个范数。证：首先由于|u|的定义，可以知道| |是一个非负函数。接下来验证其满足范 数的条件。(a) 已知|u | 0 ,由|u |的构造我们可以得到| |u| 0 u 0。(b) u,v

3、 H0()2 2 2|u v |a(x) | u v | b(x)(u v) dx2 2 2 2a(x)(| u |2 u v | v| ) b(x)(u2 uv v )dx另一方面(|U| |v|)2(a(x)| u|2 b(x)u2dxa(x) | v |2 b(x)v2dx)2a(x)(| u|2| v|2) b(x)(u2 v2)dx2 a(x)| u f b(x)u2dxa(x)| v |2 b(x)v2dx由于不等式a(x) u v b(x)uvdx a(x) u v b(x)uvdx2 2 2 2a(x) | u | b(x)u dx a(x) | v | b(x)v dx成立,

4、所以可以得出|u v | |u | |v|。(c) 0, u H0()| ou| . a(x) |ou|2 b(x)( ou)2dxo a(x)| u |2 b(x)(u)2dxo|u|故上述定义的|u |是一个范数，亦与范数|u|o | u|2 dx为等价范数。定理3 :设Rn(n 3)是有界区域，且具有充分光滑的边界，再设f :R1R1除满足Caratheodory条件和斤之外还满足：1(F2)存在常数(o,-)，以及M使得当|t| M时，F(x,t) tf(x,t);m It-4X- t其中 0, 1是div(a(x) ?) b(x) ?在Dirichlet零边界条件下的第一特征值。则边

5、值问题(1)至少有一个非零解 证明：为了利用山路引理，我们需要逐条验证该引理的条件1验证P.S条件。设UnH0()，满足|I(un)| C,I'(un) o,欲证明Un有强收敛的子列首先证明Un有界。由(FJ可得，|t|F(x,t)| °|f(x,s)|ds1iGtC2|t|1因此，当|t| M时，| F(x,t)|,|t| f (x,t)|在 上一致有界。结合(F2)以及第式可得，存在MM2，使得1 2C 2|Un|1 2 -|Un|21 2|Un|1(1Un(x)|MF(x，Un(X)dXMi皿)*山(如(/&)皿M1Un(x) f (x,Un(x)dx M2)|

6、Un|)|Un|2a(x) Un Un b(X)Un(X)Un(X)I '(Un), Un M 2f (X,Un(x)Un(x)dX M 2其中| |是本文中定义的范数。由于I'(Un)0，所以当n充分大时，有| I'(Un),Un |Un|1 2于是 C (2)|Un|2|Un| M2。由此可以得到| Un |有界。再证Un有强收敛的子列。由于已知 f(X,Un(x)在H0()中有强收敛的子 列，不妨假设f (X,Un(x)本身强收敛。因此，对任何£ >0存在N，使得当m,n N,v H0()时，有(f (X, Un (x) f (x,um(x)v(x

7、)dx|v|.同时，由(2)的第二式，也有a(x) Un v b(x)Un(x)v(x) f (x,Un(x)v(x)dx|v|.让v Un Um，则a(x)Un (Un Um) b( X) U n ( X)( Un ( X) Um(x) f (X, Un (x)(Un( X) Um(x)dX(4)|Un同理，u m |.a(X)Um (UnUm) b(X)Um(X)(Un(X)Um(x) f (X,Um(X)(Un( X)Um(X)dX|UnUm |.将与合并，并利用可得，2|Un Um |2 2a( X) | (Un Um)| b(X)(Un Um)dX2 |Un Um | | (f (X

8、,Un(X) f (X,Um(X)( Un(X)Um(X)dx|3 |Un Um |.由此可得,|Un Um | 3，即Un是h1()中的Cauchy列，从而比收敛。2验证存在正常数B, P使得I |b ，其中B是H0()中以零点为中心，以 P为半径的球。事实上，由条件(F3)可得，存在常数',0'，以及S >0使得当0 |t| ,x 时，f(x,t)'1t从而，当|t| ,x 时，有1 2F(x,t) -( 1')t2.2联合条件(FJ，存在常数C3使得1 2 1F(x,t) ( 1')tC3|t| .2利用Sobolev嵌入定理以Poinear

9、不等式可得，F(x,U(x)dx -(1 一)|uC3|u(x) | dx2 17(1 二)l|u C4|u| 1,2 1其中C4是常数，从而1 ' 2 1I(U)llull2 C4|u| 1.2 1由于a >1可取p足够小，以致1 ' 2 1 llull2 C4|u| 1 0.2 1即得I | b3 找 Uo H0()，使得 Uo B，且 l(uo) 0。让i表示div(a(x) ?) b(x) ?在Dirichlet零边界条件下的第一特征函数则i 0，且为了方便可让i2dx 1。考虑下列函数1 2(t) I(t i) - it2F(x,t i(x)dx,t 0.条件(F4)蕴含了存在',0'，以及丫 >0当s时，f (x,s)( 1')s.于是，存在与t无关的常数M',M''，使得F(x,t 1(x)dxt 1 (x)t 1(x)f (x,s)dsdx01 f (x,s) |dsdxt 1(x)(t22(x)2)dx由于当t 时，mesx I