复变函数的可导与解析82580PPT学习教案

1、会计学1复变函数的可导与解析复变函数的可导与解析82580复复平平面面复复数数域域有有序序数数组组复复数数 ),(yxiyxz复复数数的的表表示示法法：三三角角表表示示法法）或或向向量量复复平平面面上上的的点点()sini(cos.3),(.2i.1 rzOPyxPyxz（指指数数表表示示法法） irez .4第1页/共26页, 1, 0,2arg.arg,(.22 kkzArgzzzArgzzyxzr 为为内内的的幅幅角角为为主主幅幅角角，记记范范围围个个幅幅角角，称称在在任任一一非非零零复复数数有有无无穷穷多多的的幅幅角角的的模模其其中中：第2页/共26页复复数数的的乘乘幂幂：)sini(

2、cos)(),sini(cos nnrreznzrreznnini 为为次次幂幂的的则则设设复复数数的的方方根根：)1,2,1 ,0()2sini2(cos ),sini(cos1 nknknkrznzrreznni 为为次次方方根根的的则则设设第3页/共26页二. 复变函数复变函数 ：一个复变函数 二个二元实函数 ),(),()(:yxivyxuzfwuvxyivuwiyxzf 平面上的点集平面上的点集平面上的点集平面上的点集例如：xyyxvyxyxuixyyxiyxzzfw2),(,),(,2)()(222222 第4页/共26页可以利用二元实函数的极限，连续等概念来定义复变函数的极限，连

3、续。),(),(lim)(lim),(),(000yxivyxuzfyxyxzz 极限极限例如：例如： ),(),(lim ),(),(lim )()(lim,(),(),( )(00),(),(00),(),(000000000yxvyxvyxuyxuzfzfyxyxvyxuzzfyxyxyxyxzz （）（）连续）连续在在，连续连续在在因此，复变函数具有与实函数类似的关于极限，连续的性质。第5页/共26页三. 复变函数的导数 000000000000limdd,limlim,zzzfzfzwzfzzfzzfzwzzzfzfzzfwzzzzzzz 记作记作的的在在其极限值称为其极限值称为可导

4、可导在在则称则称存在存在果极限果极限如如的某邻域内有定义的某邻域内有定义在在设函数设函数导数导数定义第6页/共26页 .,内可导内可导D D在在zfDzf称称则则内每一点都可导内每一点都可导在区域在区域如果如果例1. 求f(z)=zn, (n 为正整数 ) 的导数. 1 nnnzz的的连连续续性性与与可可导导性性。讨讨论论zzf )( 例2可导必连续,连续不一定可导第7页/共26页求导法则: ;, 0)1(为为复复常常数数其其中中CC ;)2(1 nnnzz ;)4(zgzfzgzfzgzf ;)3(zgzfzgzf ;0,)5(2 zgzgzgzfzfzgzgzf第8页/共26页 ;,)6(

5、zgwzgwfzgf 其中其中 . 0,1)7( wwzf 且且数数的的单单值值函函数数其其中中与与为为两两个个互互为为反反函函第9页/共26页极极限限。对对应应于于二二元元实实函函数数的的函函数数导导数数定定义义中中的的极极限限函函数数的的极极限限，而而复复变变定定义义中中的的极极限限是是一一元元实实因因为为一一元元实实函函数数导导数数本本质质上上有有很很大大的的不不同同。然然形形式式上上一一样样，但但在在实实函函数数的的导导数数定定义义，虽虽数数的的导导数数定定义义与与一一元元需需要要注注意意的的是是，复复变变函函第10页/共26页 .,.,;,0000奇点奇点解析函数解析函数在D内解析在

6、D内解析解析点解析点解析解析z z在在0 0的的为为那末称那末称不解析不解析在在如果如果内的一个内的一个是是或称或称则称则称内处处解析内处处解析在在若若的的是是或称或称则称则称导导及其某个邻域内处处可及其某个邻域内处处可在在如果函数如果函数zfzzzfDzfzfDzfzfzzfzzf定义3内内可可导导在在区区域域内内解解析析在在区区域域DzfDzf)()(第11页/共26页两个解析函数的和、差、积、商(除去分母为零的点)都是解析函数,解析函数的复合函数、反函数(单值)仍是解析函数.第12页/共26页 xyyxvuvuRCyxzDyxvyxuDyxvyxuzf , :,i,:,i,00方程方程而

7、且满足而且满足可微可微内任一点内任一点在在和和充要条件是充要条件是上解析的上解析的在在函数函数定理 1 yuyvxvxuzf ii 且且一般用验证偏导数连续来代替验证函数可微。第13页/共26页例 3条条件件，但但不不可可导导。满满足足在在证证明明： 0ImRe)( RCzzzzf )sin(cos)(1 yiyezfx ）（解解析析？可可导导？何何处处判判断断下下列列函函数数何何处处例4yixxyzf22)(2 ）（3332)(3yixzf ）（第14页/共26页。求求的的虚虚部部已已知知解解析析函函数数)(,)(22zfyxyvzf 例5。求虚部及求虚部及的实部为的实部为已知解析函数已知解

8、析函数)(,)(22zfyxxzf 例6例7内必为常数。内必为常数。在在试证试证内为常数，内为常数，在在内解析且内解析且在区域在区域若函数若函数DzfDzfDzf)(| )(|)(222| )(| )(| )(|)(zfyzfxzfzivuzf 的解析函数，证明的解析函数，证明是是如果如果例8第15页/共26页三 初等函数1. 指数函数)sin(cosyiyeewxz zzzikzzzzzzzzzzxzeeeeeeeeeekyArgeee )()4()3(,)2(2,1221212121处处解析，且有处处解析，且有周期性：周期性：）（性质：性质： 第16页/共26页2. 对数函数)2i(arg

9、lniArglnLn kzzzzzw ), 2, 1(2lnLnLnarglnlnlnLnarg.)Ln(Ln kikzzzzizzzzzArgzzkzk 的主值支的主值支，即，即的主值，记为的主值，记为时，相应的对数称为时，相应的对数称为取主值取主值当当，记为，记为可确定的一个单值分支可确定的一个单值分支，于每个固定的于每个固定的为无穷多值函数。对应为无穷多值函数。对应第17页/共26页.lnLn)111ln(lnargarglim,arglimln(Ln00有相同的导数值有相同的导数值点处解析，且与点处解析，且与负实轴外的其它负实轴外的其它的各个分支在除原点与的各个分支在除原点与）（）（其

10、它点处解析其它点处解析在除原点与负实轴外的在除原点与负实轴外的）除原点与负实轴外连续除原点与负实轴外连续除原点外连续，除原点外连续，其它点处连续其它点处连续在除原点与负实轴外的在除原点与负实轴外的解析性：解析性：zzzeezzzzzzzwwyy 第18页/共26页.)2(,25)(Ln的值的值并计算此时并计算此时一个分支，使一个分支，使求求iwiiwzw 例9及辐角与辐角主值。及辐角与辐角主值。计算计算)41( ie 第19页/共26页3.幂函数为复数）为复数）（ ,0(),2, 1,0ee) i2(ln)iArg(lnLn zkezwkzzzz有无穷多值有无穷多值对其他的对其他的次方根次方根

11、的的时，即为时，即为为正整数为正整数特别，当特别，当个值个值时的时的取取）时，）时，互质互质（当为有理数当为有理数次幂次幂的的为正整数时，即为为正整数时，即为特别，当特别，当单值单值为整数时，为整数时，当当）性质：（性质：（ znznnqqkezqqpqpzzqpkzqpzqpz, )(1 1, 2 , 1 , 0,e 0, e1i2lnLnln 第20页/共26页的主值的主值称为称为相应的相应的时时取主值取主值）（ zezzzzln,lnLn2 1)( Ln)3( zzzz处解析，且有处解析，且有点与负实轴外的其它点点与负实轴外的其它点的各个单值分支在除原的各个单值分支在除原的各个单值分支，

12、的各个单值分支，对应于对应于解析性：解析性：iii）（）计计算算（ 1(3 i)2(1(12例10第21页/共26页4.三角函数2eecos2ie-esini -i-iizzzzzz 无界无界时时如如不成立不成立）（且且在复平面上处处解析，在复平面上处处解析，）（为奇函数为奇函数为偶函数为偶函数）（为周期为周期以以）（性质性质zziyyzzzzzzzzzzzzyyyycos,sin 2e2eecos 0 .1cos, 1sin4 sin)(cos,cos)(sin cos,sin3 ;sin,cos2 ;2cos,sin1 第22页/共26页0cossin zz解方程解方程01 iez例10第23页/共26页四 解析函数与调和函数内的调和函数。内的调和函数。，则称为，则称为方程：方程：且满足且满足，内具有二阶连续偏导数内具有二阶连续偏导数在区域在区域若二元实函数若二元实函数DyxyxLapLaceDyx),(0 ),(2222 4定定理理内内的的调调和和函函数数。都都是是与与虚虚部部则则它它的的实实部部内内解解析析，在在区区域域若若函函数数