复变函数第四章2泰勒级数PPT学习教案

1、会计学1复变函数第四章复变函数第四章2泰勒级数泰勒级数课件2证明思路：0zC1CzR1R围成的闭区域内解析，在曲线函数1)(CzfdszssfizfC 121)()(（柯西积分公式）nCnnzzdszssfi)()()(0010121 nnnzzzs)()(00101 0000011111zszzzszzzszs )()()(）zRzzdszssfiNnCNnn()()()( 01010121s. 1110 zzznn根据定理前提条件,知第1页/共28页课件3）zRzzdszssfiNnCnNn()()()( 01010121）（zRzznzfNnNnn)(!)(0100)(高阶导数公式）定理

2、:.5(3 )(zRN其中nCNnnzzdszssfi)()()(010121 ),()( NzRN0可以证明.)(!)()(000)(nnnzznzfzf第2页/共28页课件4（2） 如果 f (z)在z0解析, 则使 f (z)在z0的泰勒展开式成立的圆域的半径 R等于从z0到 f (z)的距z0最近一个奇点a 的距离, 即R=|az0|. 注：（1）泰勒展开式的唯一性。【定理4.8】(采用反证 法证明）第3页/共28页课件5（1）直接展开法 利用泰勒展开式, 我们可以直接通过计算系数:), 2 , 1 , 0()(!10)(nzfncnn把 f (z)在z0展开成幂级数。的泰勒展开式在处

3、解析，计算在00zzfzzf)()(第4页/共28页课件6例1：处的泰勒展开式在函数0 zez,)()(210 neeznz10 znze)()(!)()(nnecznzn10 !nzzzenz212在复平面上处处解析，因为ze R收敛半径 z类似地，3521242sin( 1)3!5!(21)!cos1( 1)2!4!(2 )!nnnnzzzzzznzzzzzn 处的泰勒展开式在0zcos,sin zz11112 zzzzzn解：第5页/共28页课件7（二）间接展开法 借助一些已知函数的展开式, 利用幂级数的运算（加法，乘法，积分，求导等运算）和分析性质, 以唯一性为依据来得出一个函数的泰勒

4、展开式,003521011( )()sin(ee)22!( 1)3!5!(21)!nniziznnnnnizizziinnzzzzzn 处的泰勒展开式在：例0zsin z2第6页/共28页课件8处的泰勒展开式在：函数例013 zzez, 1 z函数有一奇点。收敛半径1 R内解析，函数在1 z !nzzzenz21211112 zzzzzn两式相乘得， nzznzze)!()!(121111111111 z解：第7页/共28页课件9（方法二 待定系数法） 01nnnzzcze为假设所求的泰勒展开式那么， 01nnnzzcze)( 11nnnz! 110nnnnzccc)(同次幂系数相等，10 c

5、! nccnn11 nzznzze)!()!(12111111111第8页/共28页课件10处的泰勒展开式。在（：求函数例0z) 2114z解 由于函数有一奇点z1, 而在|z|1内处处解析, 所以可在|z|1内展开成z的幂级数. 211( 1),| 1.1nnzzzzz 将上式两边求导得 21121123( 1),| 1.(1)nnzznzzz 第9页/共28页课件11 对于多值函数，要先求出单值分支（主值），再计算相应的泰勒展开式。处的泰勒展开式。在：求函数例0zz)n(1)( Lzf5 ln(1+z)在从1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的, 1是它的奇点, 所以可在|z|1展开为z的幂级

6、数.1OR=1xy解：)ln(1)(zzLn 的主值为1第10页/共28页课件120001dd( 1)d,1zzznnz231ln(1)( 1)| 1.231nnzzzzzzn 即 01111nnnzzz)()ln(逐项积分得ikzzLn211 )ln()( 11322132nzzzziknn)(1 z第11页/共28页课件13而如果把函数中的x换成z, 在复平面内来看函数211z1z2+z4它有两个奇点i, 而这两个奇点都在此函数展开式的收敛圆周上, 所以这个级数的收敛半径只能等于1. 因此, 即使我们只关心z的实数值, 但复平面上的奇点形成了限制. 在实变函数中有些不易理解的问题, 一到复

7、变函数中就成为显然的事情, 例如在实数范围内, 展开式242211( 1)1nnxxxx 的成立必须受|x|1的限制, 这一点往往使人难以理解, 因为上式左端的函数对任何实数都是确定的且可导的.第12页/共28页课件14第13页/共28页课件154.4 罗朗级数 一个以z0为中心的圆域内解析的函数 f (z), 可以在该圆域内展开成zz0的幂级数. 如果 f (z)在z0处不解析, 则在z0 的邻域内就不能用zz0的幂级数来表示. 但是这种情况在实际问题中却经常遇到. 因此, 在本节中将讨论在以 z0 为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法.的去心邻域内围绕为其中计算积分01 zcdzecz,

8、曲线。的任意一条正向简单闭0 z例：处不解析。在0z ze1行计算。则可代入积分运算中进，内对应的幂级数表达式在若知道z 01ze第14页/共28页课件16 !nzzzenz212 z nzznzzze!1312111321 z0dzzzdzzndzecncncz! 2111)1(!1201 i2第15页/共28页课件174.4.1 罗朗级数的概念定义4.6的级数称为罗朗级数。形如nnnzzc)(0 nnnzzc)(0 )()(101nnnzzc )()(200nnnzzc 收敛。收敛，则称罗朗级数在）同时在）（若级数（zz21则（令10 )zz,)(101nnnnnnczzcnnnc1R的收

9、敛半径为:)(01nnnzzc时收敛，Rzz10 .时发散Rzz10 第16页/共28页课件18,RR11 若令为2Rnnnzzc)(00的收敛半径，2:RR 1若则.内收敛在201RzzR nnnzzc)(0.为收敛圆环此时，称圆环201RzzR 在收敛圆环域内也具有. 例如, 可以证明, 上述级数在收敛域内其和函数是解析的, 而且可以逐项求积和逐项求导.幂级数在收敛圆内的许多性质, 级数100100100()()()()(),nnnnnnnczzczzczzcc zzczz现在反问, 在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成幂级数?第17页/共28页课件1994.定理上解析，：在圆环域设20

10、1RzzRDzf )(,)()(0nnnzzczf其中),(,)()(102110 ndzzzzficcnn的任意实数。是满足是正向圆周210RRzzC ,内则在D2R1R0zz上的罗朗展开式。在圆环域201RzzRzf )(注:(1)罗朗级数在形式上与泰勒级数类似,它的证明也是类似的.阶导数公式的条件。上的积分不满足应用高此时上有奇点，一般在圆域因为CRz-zzf10 )(2)一般地,即使正幂项的系数也不能利用高阶导数形式表示.第18页/共28页课件20),)()(上无奇点（处处解析在特例，如果103Rzzzf 上解析。在圆域结合定理的前提条件，20Rzzzf )(此时,罗朗级数退化为泰勒级

11、数。),(,)()()(21021211010 ndzfidzficnCcnn),(,!)()()()(21021010 nnzfdzficncnn柯西基本定理高阶导数公式（4）唯一性罗朗展式唯一。在该圆环内的内解析，那么在若)()(zfRzzRzf201 第19页/共28页课件21133234321111e(1)2!3!4!110.2!3!4!zzzzzzzzzzzz 23e12!3!nzzzzzn 内展开为罗朗级数。在：将函数例 z)(0613zezzf解：因为第20页/共28页课件22内展开为罗朗级数。与在圆环：将函数例 z-iz-iizzzf110172)()(解：讨论的圆环域以 i圆

12、心，n-nnizc)( 为：所求解的罗朗级数形式211zizzf )(.)(内在iiz 01)(iziz 11iizi 11111112 zzzzzn 011nnniizi)()(nnnizii)( 01)(zz112 ）此时，1 iiz(第21页/共28页课件23112111 nnnizniizz)()(所以，211zizzf )(211 nnnizni)( 132nnnizin)()(10 iz111 nnnizni)(.)(内在 iz12)(iziz 11iizi 11111112 zzzzzn（但iiz 1不能得到相应的级数形式。）第22页/共28页课件24)(iziz 11)(izi

13、iz 111)(1 izi此时，nnniziiz)()( 011103 nnnizi)(2032111 nnnizinzz)()()(所以，211zizzf )(3031 nnnizin)()( iz1第23页/共28页课件25级数。的解析邻域内展为罗朗在点将函数例 zzzzzzf,)()(0221830-2解： zzzzf,)(02点在扩充复平面上不解析2202 )(的解析邻域：z-z200 zz的解析邻域： zz2的解析邻域：内在2201 )()(zn-nnzc)(2 为：所求解的罗朗级数形式zzzf1213 )()()()(2211 zz221121 )(z)(122 z此时，第24页/共28页课件26 02221nnz)(所以，zzzf1213 )()(301221 nnnz)(220 )(z内在202 z)(n-nnzc)( 为：所求解的罗朗级数形式zzzf1213 )()(22121)()( zz323221)()( zz)()(2121213 zz2112121zz )(12 z此时，nnnz)()( 02121第25页/共28页课件27)()(2121213 zz2212141 nnnznn)()(zzzf1213 )()(所以，321214