多元函数微分法52513PPT学习教案

1、会计学1多元函数微分法多元函数微分法52513.,),(),(),(),(yxyxffyzxzzyxyxfyxfDyxfz或或记记为为简简称称为为偏偏导导数数的的偏偏导导函函数数称称为为的的函函数数它它们们均均为为上上的的每每一一点点都都有有偏偏导导数数在在区区域域若若 处处可可偏偏导导。在在点点偏偏导导数数时时，简简称称的的与与对对处处同同时时存存在在对对在在点点当当函函数数00,00),()(),(MyxfyxyxMyxfz 第1页/共75页xyxzuxyzyeyxxzyzxz )3(;arctan)2( ;2)1( :,323求求偏偏导导数数例1xxeyxyzyexyxxz 22326

2、,43)1(:解解第2页/共75页11;ln ;lnln)3( xxxyxxyxyzyzuxyzzyuyyzzxu2222222 ;)(11)2(yxxyzyxyxyxyxz 第3页/共75页).0 ,0(),0 ,0()2(.)0 ,0(),()1( )0 ,0(),( 0)0 ,0(),( ),(422yxffyxfyxyxyxxyyxf求求的的连连续续性性在在讨讨论论设设 .)0,0(),(.lim),(lim)1(:422)0,0(),()0,0(),(点点不不连连续续在在不不存存在在由由第第二二节节例例知知解解yxfyxxyyxfyxyx 0)0,0(),0(lim)0,0(0)0,

3、0()0,(lim)0,0().2(00 yfyffxfxffyyxx例2函数中，可导必连续。函数中，可导必连续。在该点连续。而在一元在该点连续。而在一元不能保证不能保证在一点的偏导数存在在一点的偏导数存在二元函数二元函数),( ),(yxfyxf第4页/共75页:偏偏导导数数的的几几何何意意义义.)(,( ),(:),(0,00,00000轴轴的的斜斜率率处处的的切切线线对对在在点点表表示示曲曲线线yyxfyxMxxyxfzyxfy .)(,( )(:)(0,00,0000,0轴轴的的斜斜率率处处的的切切线线对对在在点点表表示示曲曲线线xyxfyxMyyx,yfzyxfx 第5页/共75页x

4、yz),(yxNyxMxT),(yxfz yT第6页/共75页3.2 高阶偏导数二二阶阶混混合合偏偏导导数数 )(),()(),( 22yzxyxfxyzxzyyxfyxzyxxy .,., 阶阶偏偏导导数数以以及及四四阶阶类类似似地地定定义义三三阶阶n)(),( )(),( 2222yzyyxfyzxzxyxfxzyyxx 二二阶阶偏偏导导数数第7页/共75页.,),0(),(222222yzxzxyzyxzxxyxfzy 求求设设xyzxyxxyxzxxyzxxyzxyyxzyxxzyyyyyy 21122222221ln )(ln,ln )1(,:解解例3第8页/共75页0 122222

5、2222 zuyuxuzyxu满满足足拉拉普普拉拉斯斯方方程程证证明明25222222252222322222)(2 2)(23)(1 zyxzyxxzyxxzyxxu 例4 )( 2)(21:2322223222zyxxxzyxxu 证证明明第9页/共75页25222222222522222222)(2 , )(2 :zyxxyzzuzyxxzyyu 同同样样可可得得0222222 zuyuxu第10页/共75页0)0 , 0()0, 0(lim)0 , 0( 0)0 , 0()0 , 0(lim)0 , 0(:00 yfyffxfxffyyxx解解 (0,0).(0,0),0 00 ),(

6、2222223yxxyffyxyxyxyxyxf求求 22223522232422)(2),( ,)(3),(,0yxyxxyxfyxyxyxyxfyxyx 时时当当例5第11页/共75页,5,32222xyyyxyxyyyxy 中中例例而而中中例例?么么条条件件混混合合偏偏导导数数相相等等需需要要什什00lim )0,0(),0(lim)0,0(00 yyfyffyxxyxy )0 , 0()0 , 0(1lim)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(00yxxyxyyxyxffxxxfxff 第12页/共75页. ),(),(,),( ),(),(),(:1 . 3关关即与求偏导数的次

7、序无即与求偏导数的次序无则有则有处连续处连续存在，且在点存在，且在点内内的某邻域的某邻域在点在点若若定理定理yxfyxfyxyxyxfyxfxyyxyxxy 10 ),( ),(),( ),(),(),( ),(),( ),(),(:11 yyyxyxyyxFyxfyxxfyxyxfyxxfyyxfyyxxfFy则则设设证证明明 10 ),( ),(),( 21211 yxyyxxfyyyxfyyxxfyxyy第13页/共75页),(),( :0, 0, ),(),( 1,0 ),( : 43424343yxfyxfyxffyyxxfyyxxfyxyyxxfFyxxyyxxyxyyxxy 得得

8、令令连连续续由由于于同同样样可可得得 第14页/共75页定义定义 3.23.23.3 全微分全微分),(),(yxfyyxxfz :),(),( 处的全增量处的全增量在在yxyxfz , )()(),(),( ),(),(22有有关关而而与与无无关关与与其其中中的的全全增增量量可可表表示示为为在在点点如如果果yxyxyxoyxyxfyyxxfzyxyxfz yxdzdzyxyxfzyxyxyxfz ,),(),(,),(),( 即即记为记为的全微分的全微分在点在点为为处可微处可微在点在点则称则称第15页/共75页如果函数f在区域D内处处可微，则称f为区域D内可微函数。yyzxxzdz 则则可可

9、微微在在点点若若函函数数必必要要条条件件定定理理,),(),()(2yxyxfz 且且处存在偏导数处存在偏导数在在,),(),()2(yzxzyxyxf ;),(),()1(处处连连续续在在yxyxf第16页/共75页),(),(lim)()(),(),(),(),()1()0,0(),(22yxfyyxxfyxoyxyxfyyxxfzyxyxfzyx 处处可可微微在在证证明明处处连连续续在在),(),(yxyxf第17页/共75页 )(lim),(),(lim 00 xxoxyxfyxxfxzxx于于是是处处可可微微在在),(),(),(),(),(),(),(),()2(yoyyxfyyx

10、fxoxyxfyxxfyxyxfz )(lim),(),(lim 00yyoyyxfyyxfyzyy第18页/共75页由于自变量的微分等于自变量的改变量由于自变量的微分等于自变量的改变量, ,即即,d ,dyyxx 从而全微分可写成从而全微分可写成可微可微连续和可偏导连续和可偏导可微可微可偏导可偏导? ?dyyzdxxzdz 第19页/共75页.)0 , 0(),(),0 , 0(),0 , 0(00 0sin),(222222处处的的可可微微性性在在并并讨讨论论求求设设yxfffyxyxyxyxyxfyx 0000lim)0 , 0(), 0(0lim)0 , 0( 0000lim)0 ,

11、0()0 ,(0lim)0 , 0(: yyyfyfyfxxxfxfxfyx解解例6第20页/共75页22)()()sin(yxyx ) 0 , 0()0 ,0(fyxff 而而22)()()0 , 0()0 , 0(yxyfxffyx 22)()()sin(yxyx 而极限而极限220)()()sin(limyxyx 不存在。不存在。第21页/共75页,.,62:的条件的条件高阶无穷小高阶无穷小是比是比加上加上必须再必须再但它并不一定是全微分但它并不一定是全微分表达式表达式当偏导数存在时可得到当偏导数存在时可得到而非充分条件而非充分条件要条件要条件偏导数存在是可微的必偏导数存在是可微的必知知

12、及例及例由定理由定理注注 yyzxxzzdzyyzxxz 才能保证全微分存在，且yyzxxzdz 第22页/共75页定理3.3（充分条件） .,在在该该点点可可微微则则函函数数处处连连续续在在点点的的偏偏导导数数若若fyxMyzxzyxfz 0,1010,:2121 yyxfxyxfyyyxfxyyxxfyxfyyxfyyxfyyxxfyxfyyxxfzyxyx证证明明 yxyyxfxyxfyx ,第23页/共75页 ;0;0lim,0lim;002222 oyxyxyyxxyx又又而而由定义知，f 在M点可微。第24页/共75页 处处在在求求全全微微分分2, 12)2( )1(:34xyxz

13、ezyx dydxdzyzxzyxyzyxxzdyxedxyedzyxyx123412,34:2, 13,242 1:)2,1(2433 处处在在解解例例8处处的的全全微微分分。在在求求函函数数)1 , 1 , 1()ln(2zyxu 第25页/共75页例例 9 设二元设二元函数函数00 01sin),(22222222 yxyxyxyxyxf）（问在问在(0,0)处，处，f (x, y)的偏导数是否存在？偏的偏导数是否存在？偏导数是否连续？导数是否连续？f(x, y)是否可微？是否可微？解：解： 01sinlim0,00,0lim0,02200 xxxxfxffxxx第26页/共75页同样同

14、样 00,0 yf022 yx时时 不不存存在在yxfyxfyxyxyyxyyxfyxyxxyxxyxfyyxxyxyx,lim,lim1cos21sin2,1cos21sin2,0,0,0,0,222222222222 第27页/共75页所以在一点可微，在此点所以在一点可微，在此点 偏导数不一定连续。偏导数不一定连续。 .0,0 ,0,1sin 0 ,00 ,0222222 dfyxfyxoyxyxyfxffyx且且可可微微在在而而第28页/共75页f 的偏导数连续的偏导数连续 f 可微可微f 的偏导数的偏导数存在存在( (可导可导) )f 连续连续几个概念之间的关系见下图：几个概念之间的关

15、系见下图：第29页/共75页与一元函数类似，多元函数的微分运算法则：设f(x,y),g(x,y)是可微函数，则：; 0),(,),(),(),(),(),(),(),()3();,(),(),(),(),(),()2();,(),(),(),()1(2 yxgyxgyxdgyxfyxdfyxgyxgyxfdyxdgyxfyxdfyxgyxgyxfdyxdgyxdfyxgyxfd多元函数的全微分也可用于近似计算与误差估计。第30页/共75页习题5.3(P2223)作 业1. (3)(5)(6)(8)；2.(2)(3); 3(2); 4. (3)(4);5(2); 6; 10; 13.第31页/共

16、75页第四节第四节 微分运算法则微分运算法则4.1 复合函数微分法复合函数微分法 yyvvzyuuzxxvvzxuuzzyxyxyxfzvuvufzyxyxvyxuddd, 且其全微分为且其全微分为微微处也必可处也必可在点在点函数函数则复合则复合处可微处可微在对应的点在对应的点而而处可微处可微均在点均在点设设 定理定理4.1第32页/共75页 yvvzyuuzyzxvvzxuuzxz 故多元函数有如下：第33页/共75页按线相乘按线相乘, ,分线相加分线相加zuvxyxy第34页/共75页 全导数全导数的的对对它称为复合函数它称为复合函数于是有于是有的一元函数的一元函数复合以后是复合以后是则则

17、均分别可微均分别可微设设xzxvvzxuuzxzxxfzxxvxuvufzdddddd,1 zuuwzwyuuwywxuuwxwzyxuufw dd,dd,dd,2则有则有均可微均可微设设 几种特殊的情形：几种特殊的情形：第35页/共75页 yzzfyfyuxzzfxfxu，yxzzyxfu ,3则有则有均可微均可微设设 左端左端 表示复合后对表示复合后对x的偏导数的偏导数,xu 右端右端 表示复合前对表示复合前对x的偏导数的偏导数,xf 第36页/共75页yzxzyxvxyuvezu ,2sin求求设设)(2cos2)(2sin2cos22sin)(2cos2)(2sin2cos22sin:

18、yxexyxyevexveyzyxeyxyevevyexzxyxyuuxyxyuu 解解例1第37页/共75页.,sin,cos,),( zrzryrxyxfz求求可可微微设设 ryzxr :解解 sincosxzyzryyzxxzzryyzrxxzrz sincosyzxz 222222222sincos1 sincos1 yzxzxzyzrryzxzzrrz 例2第38页/共75页ztyuzfzuxtyfxyfxfxu :解解 ., ,),(zuxuzxttxyzyxfu 求求均均可可微微设设 utxzyxzx是不同的是不同的与与与与注意题中注意题中zfzuxfxu ,例3第39页/共75

19、页.,),2(2222xzyxzxzfxyyxfz 求求有有二二阶阶连连续续偏偏导导数数设设 ,2:2xyvyxu 设设解解vxzyuyx22yffxzvu )2(2422222yffyyffxzxxzvvvuuvuu vuvvvuuvvvuvuvuuyffyxyfxyfxyffyyfxyffxzyyxz242221222)1(22322 例4vuff ,第40页/共75页4222121122221244,2:, 2, 1,2,yfyffxzyffxzxyyxvu 则则有有分分别别简简记记为为而而把把可可不不引引入入符符号号为为了了书书写写简简单单起起见见2122231122)4(22fyfy

20、yxfxyfxyz .,21原变量的复合函数原变量的复合函数仍是仍是一定要注意一定要注意在求二阶偏导数时在求二阶偏导数时ff第41页/共75页. ),sin(222yxzfyxyefzx 求求有有二二阶阶连连续续偏偏导导数数，设设xz12yxyxfyefxzx2sin21 ：解解12)cossin(2fyxyyex 221121222111211242sin21cos2cos2 cossin2cosxyfyfeyfeyfyefxyefyeyfyefxzyyxzxxxxxx 例5第42页/共75页.).,()2(,2yxzxyxgyxfzgf 求求有有二二阶阶连连续续偏偏导导数数有有二二阶阶导导

21、数数设设22212 22122:gxygxgfyxzyggfxz 解解例6第43页/共75页0111222 2 2 2 2 yxuyxuxgxyfyxxgxygxxgyxfxuyyxu.,222yxuyxuxxygxyxfyugf 求求二二阶阶连连续续可可微微设设21:gxygfxyxgxygyyfxu 解解 2 22 221xygxygxyxygfyxu 32 1gxyfy 例7第44页/共75页。变变换换为为为为何何值值时时，可可使使问问设设0034,),(,),( uuuubababyxayxuuyyxyxx例8 buubaauuubabuuauuuuuxyyyxx )(,2 ,222解

22、解第45页/共75页31,11,31 baba或或02446 , 0143 , 01430 0)143( )2446( )143(342222 baabbbaauubbubaabuaauuuyyxyxx变换为变换为第46页/共75页 ijmjjinmiinnxuufxFxxxFxxufxFyxxxuuufymixxunxxx 1111, , 1 ,R,且有且有的偏导数均存在的偏导数均存在关于各个变量关于各个变量从而从而处也必可微处也必可微在在合函数合函数则复则复处可微处可微对应的对应的在在而数量值函数而数量值函数处可微处可微在在元数量值函数元数量值函数设设 推广到推广到n元函数元函数第47页/

23、共75页一阶微分形式的不变性:,),(则则可可微微设设vufz yxyxfz, dvvzduuzdzvu 有有为自变量为自变量若若, ,yxvyxu 若若dyyzdxxzdz 有有第48页/共75页 dyyvdxxvvzdyyudxxuuzdyyvvzyuuzdxxvvzxuuzdvvzduuz 性性一阶全微分形式的不变一阶全微分形式的不变，均有：，均有：是中间变量还是自变量是中间变量还是自变量无论无论 dvvzduuzdzvu,第49页/共75页 0,dd1d3ddd2ddd12 vvuuvvvuvuuvuvvuvu由一阶微分形式不变性得：由一阶微分形式不变性得：第50页/共75页 ., ,

24、),(zuxuzxttxyzyxfu 求求均均可可微微设设 例3dzzfdttdxxyfdxxfdzzfdyyfdxxfdu 解解：dxxtyfxyfxfdzzfdzydxxtyfdxxyfdxxf dzzfytyf zu xu 第51页/共75页4.2 隐函数微分法隐函数微分法 yxyFFxyxfxFxfyxfyyxyxFyxFyxyxFyxF dd,0,),(0,.0,3;,2; 0,1,0000000000并且并且及及它满足它满足函数函数了一个具有连续导数的了一个具有连续导数的的某一邻域内唯一确定的某一邻域内唯一确定在在则方程则方程导数导数的某邻域中有连续的偏的某邻域中有连续的偏在点在点

25、满足满足如果二元函数如果二元函数定理定理4.2(4.2(隐函数存在定理隐函数存在定理) )第52页/共75页可推广到多元函数：可推广到多元函数：)., 2, 1( ),( ),( ),(0),( , 0),(, 0),()2( , ),( ),(1)1(0010100101000100010001,21niFFxyxxfyxxfyxxxyxxFyxxFyxxFyxxyxxxFnyxinnnnnynnni 且且满满足足偏偏导导数数的的函函数数个个连连续续且且有有一一阶阶连连续续的的邻邻域域内内能能唯唯一一确确定定一一在在点点则则方方程程续续的的偏偏导导数数域域内内具具有有连连的的某某邻邻在在点点

26、元元函函数数设设定理定理4.1 第53页/共75页., ,3223yxzyzxzyxzaxyzz 求求的的函函数数是是确确定定设设方方程程: : 法法一一解解例9公式法公式法 xyzxzFFyzxyzyzFFxzxyzFxzFyzFaxyzzzyxFzyzxzyx22223:,33,3,3,3),(则则令令第54页/共75页0333,033322 yzxyxzyzzxzxyyzxzz法二：法二：直接法直接法得求导两边分别对,323x,yaxyzz 在在xyyxzyzxyyyzxz 22,第55页/共75页233330z dzxydzxzdyyzdxxyyxzyzxyyyzxzdyxyzxzdx

27、xyzyzdz 2222即即得得法三：法三：在等式两边求全微分在等式两边求全微分得：得：全微分法全微分法第56页/共75页,0333336222 yxzxyxzxyzyzyxzzxzyzz得导求两边分别对, 03332偏偏在在yxzxyyzxzz 就就可可解解出出yxz 2第57页/共75页1,0),(),( yzbxzababzyazxFyxzz求求证证为为常常数数所所确确定定由由方方程程设设1,),(),(:2122112121 yzbxzabFaFFGGyzbFaFFGGxzbFaFGFGFGbzyazxFzyxGzyzxzyx则则设设证证明明例10第58页/共75页例11., 0, ,

28、0),( )(),(sin),(2dxduzgfzexxzzxgyzyxfuy求求可可导导，且且阶阶连连续续偏偏导导数数，具具有有一一其其中中确确定定程程由由方方设设 代代入入即即可可，而而法法一一解解zyzxzyxxgexdxdzxgdxdydxdzfdxdyffdxdu 21cos2 ,cos,: 第59页/共75页 cos2 0cos2)(:2121221dxxgexdzdzxdxgedxxdzdexdzyzyzy 求求微微分分得得法法二二zyzyxxgexfxgffdxdu cos2cos21 dxxgexfxgffdzfdyfdxfduzyzyxzyx)cos2cos( 21 而而第

29、60页/共75页为为例例以以 0),(0),( vuyxGvuyxF的的某某邻邻域域内内能能在在则则由由方方程程组组PvuyxGvuyxF 0),(0),(内有一阶连续偏导数，内有一阶连续偏导数，的某一邻域的某一邻域在点在点设设 ),( ),(),()1(0000vuyxPvuyxGvuyxF, 0|),(),(|, 0),(, 0),()2(00000000 PvuvuPPGGFFvuGFJJacobivuyxGvuyxF行行列列式式一一阶阶连连续续偏偏导导数数的的函函数数唯唯一一确确定定一一组组连连续续且且具具由方程组确定的隐函数微分法由方程组确定的隐函数微分法第61页/共75页且且满满足

30、足),( ),( ),( ),( 000000yxvvyxuuyxvvyxuu ),(),(1,),(),(1,),(),(1,),(),(1yuGFJyvxuGFJxvvyGFJyuvxGFJxu ), ., ,00:,0,0,(同同理理可可得得由由此此解解得得求求偏偏导导两两边边对对由由于于yvyuxvxuxvGxuGGxvFxuFFxyxvyxuyxGyxvyxuyxFvuxvux 第62页/共75页uvxvuvvxuxvvxuxvxuux411,41202012,: 解解得得得得求求偏偏导导两两边边对对法法一一解解., ,00 ),(),(22yvyuxvxuyvuxvuyxvvyxu

31、u 求求确定确定由方程组由方程组例12第63页/共75页uvuyvuvyuyvvyuyvyuuy412,41101202 , 解解得得得得求求偏偏导导两两边边对对第64页/共75页uvudydxdvuvdyvdxdudyvdvdudxdvudu412,412:0202: 解解得得求求微微分分得得法法二二uvuyvuvxvuvyuuvvxu412,411411,412 由由此此得得第65页/共75页习题5.4(P3436)作 业1.(2), 2.(3), 3.(2), 5, 6.(2), 7.(5)(6), 9, 10.(2), 11.(1), 14, 15.(1)(2), 16.(2)第66页/共75页5.1 方向导数第五节第五节 方向导数与梯度方向导数与梯度定义5.1 tyxftytxflzlzlMyxfztyxftytxflyxMyxfztMMt)()cos,cos(lim,.),(,)()cos,cos(limcos,cos,)(),(0,000000,00000,0000 即即记记为为的的方方向向导导数数沿沿方方向向在在点点则则称称此此极极限限为为存存在在，若若极极限限的的方方向向余余弦弦为为向向量量的的某某邻邻域域内内有有定定义义在在点点设设第67页/共75页 00001,00,1MMMMyzlzjlxzlzil ，则则若若，则则特特