【新课标II卷】2020年全国统一高考数学模拟试题(理)(含答案)

1、绝密启用前注意事项:2020年普通高等学校招生全国统一模拟考试理科数学2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的。1 2i1 .1 2i3. i53. i5c.0 4i5 5D.4.-i 52.已知集合22x y <3,则A中元素的个数为A. 9B. 8C. 5D.3.函数fxeAx的图像大致为4,已知向量aA. 45.双曲线a. ya b1 ,则 a (2a b)b满足|a| 12

2、 y b21(a- 2x6.在 ABC 中,C cos 2B.0,bB.C. 2D.0）的离心率为y 3xBC 1, AC73,则其渐近线方程为C. yD.5,则 ABB.C.国D.7.11为计算S 1 2 31199 100,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入N 0,T 0IB.100i 1C.D. i i 48.9.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于数可以表示为两个素数的和”，如30 7于30的概率是1A .一121B .一142的偶23 .在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等C.1151D .一18在长方体ABCDAB

3、1GD1 中，AB BC1, AA点,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为C.dU210.若f(x) cos xsin x在a, a是减函数,则a的最大值是兀A. 一43兀C.一411.已知f（x）是定义域为（）的奇函数，满足 f（1 x） f （1x) .若 f(1) 2,则f (1) f (2) f (3)f(50)A.50C. 2D. 502212.已知F2是椭圆 C: xy yr 1(a ba b0）的左，右焦点， A是C的左顶点，点P在过A且斜率为由的直线上,6PF1F2为等腰三角形,F1F2 P 120 ,则C的离心率为二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.曲线

4、 y 21n(x1）在点（0,0）处的切线方程为x 2y 5 0,14.若x，y满足约束条件 x 2y 3 0,则Z x y的最大值为x 5 0,15. 已知 sin & cos 3 1, cos & sin 3 。，则 sin( a 3) .16. 已知圆锥的顶点为 S,母线SA, SB所成角的余弦值为 7, SA与圆锥底面所成角为 45。，若SAB的 8面积为5灰，则该圆锥的侧面积为.三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共 60分。17. (1

5、2 分)记Sn为等差数列an的前n项和，已知a17, S315.(1)求4的通项公式；(2)求& ,并求&的最小值.18. (12 分)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额 y (单位：亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额， 建立了 y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000 年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,，17)建立模型：? 30.4 13.5t;根据2010年 至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,，7 )建立模型：? 99 17.5t .(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资

6、额的预测值；(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.19. (12 分)2设抛物线C: y 4x的焦点为F ,过F且斜率为k(k 0)的直线l与C交于A , B两点，| AB| 8.(1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.20. （12 分）如图，在三棱锥 P ABC中，AB BC 2屐,PA PB PC AC 4 ,。为AC的中点.(1)证明：PO 平面ABC ;(2)若点M在棱BC上，且二面角 M PA C为30 ,求PC与平面PAM所成角的正弦值.21. （12 分）已知函数f（x） ex ax2.(1)若 a 1 ,证明：当 x 。时，f (x)

7、1 ;(2)若f(x)在(0,)只有一个零点，求a .(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22. 选彳4-4：坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x 2cos 0,(。为参数)，直线l的参数方程为y 4sin 0x 1 t COS a ,0 , .(t为参数).y 2 tsin a(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.23. 选彳4- 5:不等式选讲(10分)设函数 f (x) 5 | x a | | x 2| .(1)当a 1时，求不等式f(x)

8、0的解集；(2)若f (x) 1 ,求a的取值范围.参考答案：、选择题1.D2.A3.B4.B5.A6.A7.B8.C9.C10.A11.C12.D二、填空题13. y 2x 14.915. -16.40后 九2三、解答题17 . （12 分）解：（1）设an的公差为d,由题意得3a1 3d 15.由 a17 得 d=2.所以%的通项公式为an 2n 9.（2）由（1）得 Sn n2 8n （n 4）2 16.所以当n=4时，Sn取得最小值，最小彳t为-16.18 .（12 分）解：（1）利用模型，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为?30,4 13.5 19 226.1 （亿元）.

9、利用模型，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为? 99 17.5 9 256.5（亿元）.（2）利用模型得到的预测值更可靠.理由如下：（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y 30.4 13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y? 99 17.5t可以较好

10、地描述 2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠（ii）从计算Z果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型得到的预测值更可靠以上给出了 2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分19.(12 分)解：（1）由题意得F（1,0）l的方程为y k(x 1)(k 0).设 A(x1,y1), B(x2,y2)，y k(x 1),八由2得k2x2y 4x(2k24)xk20.216k2 16 0 ,故 x1X22k2所以 | AB | | AF |

11、BF |(X11) (X2 1)4k2 4k2,.4k2 4由题设知2 4k1 （舍去）1.因此1的方程为y（2）由（1）得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为 y 2 （x 3）,即y x 5.设所求圆的圆心坐标为（,丫0）,则5,81)2(y° x0 1)2 16 解得X0V。3,或2X0V。11,6.因此所求圆的方程为(x3)2 (y2)2一，2_ 216或(x 11) (y 6)144.20.(12 分)解：（1）因为APCPAC 4。为AC的中点，所以OP AC,且OP 2J3.连结OB.因为ABBCW2AC ,所以 ABC为等腰直角三角形,2且 OB A

12、C,OB1 AC 2.2由 OP2 OB2PB2知 PO OB .由 OP OB,OP AC 知 PO 平面 ABC.urn（2）如图，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz._ uur_由已知得 O(0,0,0), B(2,0,0), A(0, 2,0),C (0,2,0), P(0,0,2 V3), AP (0,2,2 73),取平面 PAC 的法uuu向量 OB (2,0,0).设 M(a,2 a,0)(0 auuur2),则 AM (a,4 a,0).设平面PAM的法向量为n (x,y,z).uur uuu由 AP n 0, AM八 2y 2,3z 0n

13、0得y，可取ax (4 a)y 0n (V3(a 4),73a, a),所以umcos： OB, n2.3(a 4)23(a 4)2 3a2 a2.由已知得|cos：.OB, n.： | 所以2.3|a2,3(a 4)2g-=.解得a 22n3a a 24 （舍去），所以8 3 4 34 uuun ( , 一).又 PC (0,2,3332石），所以.umcos； PC, n3所以PC与平面PAM所成角的正弦值为421. (12 分)【解析】（1）当a 1时，f （x） 1等价于（x2 1）e x 1设函数 g(x) (x2 1)ex 1,贝U g'(x) (x2 2x 1)ex (x

14、 1)2e当x 1时，g'(x) 0,所以g(x)在(0,)单调递减.而 g(0) 0,故当 x 0 时，g(x) 0,即 f(x) 1.设函数h(x) 1 ax2e x.f (x)在(0,)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,)只有一个零点. 当a 0时，h(x) 0, h(x)没有零点;(ii)当 a 0时,h'(x) ax(x 2)e x.当 x (0,2)时，h'(x) 0；当 x (2,)时，h'(x) 0.所以h(x)在(0, 2)单调递减，在(2,)单调递增.4a故 h(2) 1)的最小值.4a 是 h(x)在0, e2若h(2) 0,即a h(x

15、)在(0,)没有零点;42若h(2) 0,即a h(x)在(0,)只有一个零点;42若h(2) 0,即a 土，由于h(0) 1,所以h(x)在(0,2)有一个零点, 4由(1)知，当x 0时，exx2,所以 h(4a),16a3 .16a31-4a-1/ 2a、2e (e )16a3(2a)4)有两个零点.故h(x)在(2,4 a)有一个零点，因此h(x)在(0,2综上，f(x)在(0,)只有一个零点时，a e .422选彳4-4：坐标系与参数方程(10分)22【解析】(1)曲线C的直角坐标方程为1 .416当cos 0时，l的直角坐标方程为 y tan x 2 tan当cos 0时，l的直角坐标方程为 x 1 .(2)将l的参数方程代入 C的直角坐标方程，整理得关于 t的方程-22(1 3cos )t 4(2cos sin )t 8 0 .因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以有两个解，设为ti , t2,则ti t2 0 .又由得t1 t