131函数的单调性（1）

1、 函数是描述事物运动变化规律的数学模型函数是描述事物运动变化规律的数学模型.如果如果了解了函数的变化规律，那么也就基本把握了相应了解了函数的变化规律，那么也就基本把握了相应事物的变化规律事物的变化规律. 观察下列两个函数的图象，你能说说它们分别反观察下列两个函数的图象，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律？映了相应函数的哪些变化规律？ ()fxx 2()fxx ( )f xx 2( )f xx 函数函数 f(x)=x 的图象的图象由左至右是由左至右是的；的；函数函数 f(x)=x2的图象的图象在在y轴左侧是轴左侧是下降下降的的,在在y轴右侧是轴右侧是上升上升的的.1.3.1 函数的单调

2、性（函数的单调性（1）xOy由由左左至至右右轴轴左左侧侧y图图象象下下降降由由左左至至右右轴轴右右侧侧y图图象象上上升升9410149f(x)3210-1-2-3x的的增增大大随随着着 x0 ,(区间区间减小减小对应对应)(xf的的增增大大随随着着x), 0 区间区间增大增大对应对应)(xf函函数数的的单单调调性性呢呢？如如何何准准确确而而简简洁洁地地刻刻画画 函数图象的函数图象的“上升上升” “下降下降”反映了函数的反映了函数的一个基本性质一个基本性质 如何描述函数图象的如何描述函数图象的“上升上升” “下降下降”呢呢？ 单调性单调性2( )f xx x01234f(x) 014916f(x

3、)x1x)(1xf2x)(2xf10 10 31 91 42 164 21xx 12()()f xf x至至少少需需要要两两组组数数来来刻刻画画任意任意.)(),()(,:)(212121上是增函数上是增函数在区间在区间函数函数那么就说那么就说时，都有时，都有当当的值的值上的任意两个自变量上的任意两个自变量内某个区间内某个区间如果对于定义域如果对于定义域的定义域为的定义域为一般地，设函数一般地，设函数DxfxfxfxxxxDIIxf xOy2( )f xx .)(),()(,:)(212121上上是是增增函函数数在在区区间间函函数数那那么么就就说说时时，都都有有当当的的值值上上的的任任意意两两

4、个个自自变变量量内内某某个个区区间间如如果果对对于于定定义义域域的的定定义义域域为为一一般般地地，设设函函数数DxfxfxfxxxxDIIxf 增函数的定义：增函数的定义：.)(),()(,:)(212121上上是是减减函函数数在在区区间间函函数数那那么么就就说说时时，都都有有当当的的值值上上的的任任意意两两个个自自变变量量内内某某个个区区间间如如果果对对于于定定义义域域的的定定义义域域为为一一般般地地，设设函函数数DxfxfxfxxxxDIIxf 减函数的定义：减函数的定义：).()(),()()()(,:)(21212121减减函函数数上上是是增增函函数数在在区区间间那那么么就就说说函函数

5、数时时，都都有有，当当值值上上的的任任意意两两个个自自变变量量的的内内某某个个区区间间如如果果对对于于定定义义域域的的定定义义域域为为一一般般地地，设设函函数数DxfxfxfxfxfxxxxDIIxf 定定 义：义： 如果如果y=f(x)在某个区间是增函数或减函数在某个区间是增函数或减函数,那么那么就说函数就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）在这一区间具有（严格的）单调性单调性，这一区间叫做这一区间叫做y=f(x)的的单调区间单调区间.xOy)., 00 ,()(2 单增区间是单增区间是；的单减区间是的单减区间是函数函数xxf函数单调性的定义：函数单调性的定义：.),(1)(上是增函数

6、上是增函数在区间在区间函数函数 xxfxOyxOy.), 0(),0 ,(1)(上是减函数上是减函数在区间在区间函数函数 xxf能写成并集么？能写成并集么？例例1 1. .定义在闭区间定义在闭区间-5，5上的函数上的函数y=f(x)的图象，的图象，根据图象说出根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调的单调区间，以及在每一单调区间上，区间上，y=f(x)是增函数还是减函数是增函数还是减函数. .解：解：函数的单调区间有函数的单调区间有-5,-2),-2,1),1,3),3,5; 其中其中y=f(x)在区间在区间-5,-2)，1,3)上是减函数，上是减函数， 在区间在区间-2,1)，3,

7、5上是增函数上是增函数. .练习练习1练习练习1练习练习1 1（3 3）、求函数）、求函数y=|=|x2 2-2-2x-3|-3|的单调区间。的单调区间。例例2 2、利用定义证明：函数、利用定义证明：函数f( (x)=)=x+ + 在在(0,1)(0,1)上为上为减函数减函数。x1证明函数单调性的方法步骤证明函数单调性的方法步骤 1. 任取任取x1，x2D，且，且x1x2；2. 作差作差f(x1)f(x2)；3. 变形（通常是因式分解和配方）；变形（通常是因式分解和配方）；4. 定号（即判断差定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；的正负）；5.下结论（即指出函数下结论（即指出函数f(x)

8、在给定的区间在给定的区间D上的上的单调性）单调性） 利用定义证明函数利用定义证明函数f(x)在给定的区间在给定的区间D上的单上的单调性的一般步骤：调性的一般步骤：练习练习2 2、利用定义证明：函数、利用定义证明：函数f( (x)=)=x+ + 在在(1, )(1, )上为增函数上为增函数。x1 若若 呢？呢？ 0)()(2121xxxfxf思考思考1 1：对于函数对于函数f( (x) )定义域内某个区间定义域内某个区间D D上的任意上的任意两个自变量的值两个自变量的值x1 1, ,x2 2，若，若 ，则函数，则函数f( (x) )在区间在区间D D上的单调性如何？上的单调性如何？0)()(21

9、21xxxfxf思考思考2 2：若若f( (x) )在区间在区间D D上为增函数，且上为增函数，且a为非零常为非零常数，则函数数，则函数a+ +f( (x) )、af( (x) )的单调性如何？的单调性如何？思考思考3 3：若函数若函数f( (x) )、g( (x) )在区间在区间D D上都是增函数，上都是增函数，则函数则函数f( (x)+)+g( (x) )、f( (x)-)-g( (x) )在区间在区间D D上的单调性上的单调性能否确定？能否确定？思考思考4 4：若函数若函数f( (x) )在区间在区间D D上是增函数，则函数上是增函数，则函数 在区间在区间D D上是增函数吗？函数上是增函数吗？函数 在在区间区间D D上是减函数吗？上是减函数吗？)(xfy )(1xfy 思考思考5:5:下列图象表示的函数是增函数吗？下列图象表示的函数是增函数吗？ xy0 0图图1 1xy0 0图