行列式-青岛科技大学

1、第二章 行列式1.求以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性1) 1 3 4 7 8 2 6 9 5;2) 2 1 7 9 8 6 3 5 4;3) 9 8 7 6 5 4 3 2 1;解：1)所求排列的逆序数为：7(134782695)=0 +1+1 +3+3+ 0 + 1+1 =10,所以此排列为偶排列。2) 所求排列的逆序数为：217986354 =1 0 4 5 4 301= 18,所以此排列为偶排列。3) 所求排列的逆序数为：9 9 一1.987654321 )=8 7 6 5 4 3 2 1 = - = 36 ,所以此排列为偶排列。2 .选择i与k使1) 1274i 56k9成偶

2、排列；2) 1i 25 k 4897成奇排列。解：1)当i =8,k=3时，所求排列的逆序数为：1274i56k9 = 127485639=0 0 4 T 3 T 1 0 =10故当i=8,k=3时的排列为偶排列.。2)当i =3,k=6时,所求排列的逆序数为:1i25k4897 = 132564897=01011011=5故当i =3, k = 6时的排歹0为奇排歹M3.写出把排列12345变成排列25341的那些对换。解：12345 趾上 21435性L 25431 心 25341。4.决定排列n(n 1广21的逆序数,并讨论它的奇偶性。解：因为1与其它数构成n -1个逆序,2与其它数构成

3、n - 2个逆序,n 1与n构成1个逆序，所以排列n（n1广21的逆序数为.Inn 1211- n-1i-n-2M -2 1n n -1_2故当n =4k,4k1时,排列为偶排故;当n = 4k - 2,4k - 3时排歹0为奇排歹0。5.如果排歹0 x1x2xnAxn的逆序数为k，排歹0 xnxnx2x1的逆序数是多少？解： 因为比xj大的数有n -x个,所以在xnXn乂2为与 *xnxn这两个排歹U中,由Xj与比它的各数构成的逆序数的和为n -X .因而，由xi构成的逆序总数恰为 1 2 n -1 = n n -1。2而排列乂以2xnxn的逆序数为k ,故排列x”*”乂2为的逆序数为些!&

4、#187;。26.在 6 阶行列式中，823831 a42a56a14a65, 332843814851 a66a25 这两项应带有 什么符号?解：在6阶行列式中，项823831842856814865前面的符号为（_1）珞34516 芯312645 ）=（_1 件=1。同理项832843814851866825前面的符号为泸41562 持234165 ）=（_1产=1。所以这两项都带有正号。7 .写出4阶行列式中所有带有负号并且因子823的项。解：所求的各项应是 811823832844 ,-812823834841 ,-8148238318428 .按定义计算行列式：00-010 1 0

5、0002 00 0 2 0aa+aa333+31)2 )- - - -0 n 1 0 00 0 0 n1n 0-00n 0 0 00 0 100 2 003:a+aa) : :-。n 1 0 000 0 0n解：1)所给行列式的展开式中只含有一个非零项涌*2,口ani,它前面的符号应为一1 的21 _1曾 ,所以原行列式=(-1暨)n!。2 )所给行列式的展开式中只含有一个非零项 a12a%an,nan1 ,它前面的符号应为(1)fn1)=(1件,所以原行列式=(-1 n!。3 )所给行歹0式的展开式中只含有一个非零项跖弟冒工an*ann ,它前面的符号应为-1 l-n4n"21&l

6、t; ”壬蛙一 一 -一，.n 顼/所以原行列式=(-1)n !。9.由行列式定义证明：aa2a3a4a5bb2b3b4b5C2000=0dd2000ee000解：行歹0式展开的一般项可表示为 礼a2j a3j a4j a5j ,歹0标j3j4j5只可 12345以在1, 2, 3, 4, 5中取不同的值，故三个下标中至少有一个要取3, 4, 5列中之一数，从而任何一个展开式中至少要包含一个0元素，故所给行列式展开式中每一项的乘积必为0,因此原行列式值为0。10.由行列式定义计算2xx121x1-132x1111xf x =中x4与x3的系数，并说明理由。解：含有x4的展开项只能是ana22a

7、33a44,所以x4的系数为2；同理,含有x3的展开项只能是11. 由1111=0 ,证明：奇偶排列各半。a12a21a33a44，所以x3的系 数为-1。号是由该乘积中各因子下标排列的逆序数所决定的，且第二个下标所成排列为偶排列否则为负号，所以，由带正号的项与带负号的Px =aa22 x2a2 a2n-1 xn -Jan -1a2an2 an J口 an其中a,a2,an是互不相同的数。11证：由题设，所给行列式的展开式中的每一项的绝对值等丁1。而行列式的值为0,这说明带正号与带负号的项的项数相等.根据行列式的定义， 其展开式中的每一项的符号是由该乘积中各因子下标排列的逆序数所决定的，即当该

8、乘积中各因子的第一个下标排成自然顺序， 时，该项前面所带的符号为正， 项数相等即说明奇偶排列各半。12.设1)由行列式定义，说明P(x )是一个n-1次多项式;2)由行列式性质，求P(x)的根。解：1)因为所给行列式的展开式中只有第一行含有x,所以若行列式的第一行展开时，含有xn，的对应项的系数恰为(-1笋乘一个范德蒙行列式1a2an-2 a2n-21a2a2a22n-21a3a3a39-a+9 ,2n-21anaza。丁是，由a,a2,，anv为互不相同的的数即知含有xn*的对应项的系数不为0,因而P(x凶一个n 1次的多项式2)若用4庄,，an分代替x时，则由行列式的性质知所给行列式的值为

9、 0,即P )=0.故P(x)至少有n1个根昌任,，a”.乂因为P(x)是一个n1次的多项式，所以a，a2,an必是P(x)的全部根。13.计算下面的行列式:246427)1014543-3427213 11 11 31 1)1 13 11 11 3+ x1111-x1111+ y11113-y1111xyx + y2)yx + yxx + yxy32744362112344)2341341241232ab2a 122 b 1c 12a 222 b 2c 222 d 2a 322 b 3c 32d 32解：1)原式=10002000100032711327443= 10521443621116

10、21d427543721122 cd210532744362151 -101327621一一 _ 5-294 102x +2yyx + y1 yx + y2x +2yx十yx= 2(x 十 y)0 x-y2x +2yxy0 x y-xx2)原式=y3)。y = -2己一 x61116311=6613161132(x 十 y)x y3)原式=1000120010201002= 68=48。10 2 3 4123410 3 4 10 11-3) 原式=1010 4 1 202-2-210 1 2 30 -1-1 -111-3=20-220 -22 =20=160。0-400-4xx00x0005)

11、原式=11-x11 _1-x1000yy00y01111 y101-y6)2-a 2a +1 2a +3 2a +52_a 2a+1 2 2b2 2b+1 2b + 3 2b + 5 _b2 2b + 1 2 22 一，一一 一一 c2c+1 2c+ 3 2c + 5c2 2c+ 1 2 2d2 2d +1 2d +3 2d +5d2 2d+1 2 2原式=0 ob +cc + aa +babc14.证明b +cG +aa +b=2 ab1Gb2 +c2c2 +a2a2 +b2a2b2c20证明：由行列式的性质，有a +b +c左边=2 a1 +b1 +g a2 +b2 +c2c aciaic

12、2 a2a baibia2 b2a +b + c-b-c=2a +b +g-b1-c1a? +b2 +c2-b2a b c=2abic=右边0a2b2c2.算出下歹U行歹U式的全部代数余子式:1512140-121002100031 -1)322解：1) A1=-6, A2=0 ， A3=0 ， A4=0,A21 = -12 ,A22 = 6 ,A23 = 0 ,A24 = 0A31 =15,% =-6,&3 =-3,&4 =0A41 = 7, A42 =0,A43 =1,A44 = -2)A1 =7, A2 - -12, A13 = 3,A21 = 6, A22 = 4, A

13、23 = -1 ,A31 = -5, A32 = 5, A33 = 5 o16.计算下面的行列式:1111211_31225432121111121213111-132101c012-141 -01 -1220 12120-112-13 5124 )13 21 0233 1211-10122103512 13 0 -122102-22102-220-11220-112原W1J =-642101104034881-10121-1012426011620613212-2212-2110434120-51281-112830301626131202174)=31111111111110-1 -1 -

14、501150 115011400 0-10 0-120-1 -2 -300-120 0 0 -1311243 031-12 2 2116 041212 -11 -1212 -11-3 2 01-3 2 01:1）原式=36234141-311121312=1 。24 6 - 36 54 - 3 - 32 10-14-1030-55-1120-2413）原式=2-13212211361000261581-9-63196301-4831-1-5-224541-10-11116-9193001315-6253106836831723127101138123701237012

15、0010=01017810017810017-532阶行列式:Xy0000Xy 0000X 00999+- 一 ,000-y000XX1-mX2-q.计算下列n2x2 mxXnXn4)X1X2Xn-mn -1-1-2_ b1a_ b2.qa-bn-b1na2-b2+a2-如9_ b1an_ b2an一如a2aan解：1）按第一列展开，原式=Xn -1 iyn2）从第2列起各列减去第1列a fb b2a? bb b2原式=b1 - bnb1 -尾an -加b1 -b2b1 - bn当n芝3时，原式=0;当 n = 2 时，原式=(a2 a1，b2 b| );当n =1时，原式=a1 b1。XnX

16、n9Xn m1x2s工n1 x2 -m3) 原式=£ xm LM 寸：xn 0-m1 x21 X2仁 0 - mX - m .f ：00；n、x -m - mJ4）原式=2 0 1 -2=(2'(n 2)!。0 -5）各列加到第1列得到23n -1-1002-20-(n-2)0n T(n T )-1n42n 118.证明:cos a100012cos«100012cos«'00-+ +-000'2cosa100012 cos"cos"。a。11 11a0 0r10a2 0=弱2ana°3a+ .9k100 an

17、x000a0-1x00a0-1x + + _0a2=nx00+0 'xa0001 x + an史-i 4 ain Aanx+ax +a0。+ pOtP0001cc + PaP 0001a +P +-00-+ +-J一-a H000Ct + PaP0001a +aCC - P证明：4)分别将第i(i =2, ,n +1)仃乘以-加到第1行，得 ai品1 +%111111 +a2111111+a3 "119+ +-aJq +1111 +an 盘111111+ana1a211ao -Li皂ai00 0左边=1a0 010a2 0a-a+a 100 anaa2an （aon-zn右i

18、oi日ai4）从最后一行起，分别将每一行都乘以 x后加到其前一行，得=（-1 广（xn +anx° ax a0-1-1000 -0n .n _1 . B. .,x +anx+ax + a0-100 -0nn_2x +anJ1x+a2x + a0-1a0 + +0-n_2nJ3x +ax +a3x +a2a000 -0x2 +anx + anq000 -1x+an左边=-1nJ=-1n1 xn anxn=xn anjxn4 +ax + a01-1舟a1x a0右边。）将所给行歹u式记为Dn ,按第1列展开得Dn = ：- Dn4-Dnu ,即 Dn - ODn4=E（Dn4-叩口）,此

19、式对一切n都成立.故递推得Dn -： D = ：2 Dn -： DnJ=伊(。3-aDnw)=E2(D2-aDi ),=E n u 金 + E 2 一 aE 一 a (ct + E )】=P n在Dn中a, P的地位是一样的，故同理可得Dn - ：Dn =，所以:-Dn = : n,n 1 _ ： n 1从而Dn =:一 =右边。a - P cosa1c4)对2阶仃歹0式，有D2 =2cos a -1 = cos匆,此时结论12cosa成立。假设对阶数小丁 n的行列式结论皆成立，则对n阶行列式Dn按最后一行展开，得 Dn =2coSC(Dn-Dnu ,因为=cos n -1 ： - ： I -

20、 cos n -1 二 cos 上 1 sin n 一 1 上 sin 二代入Dn可得Dn = 2cos： cos n T ： - cosn -V cos： - sin n -1 ： sin :=cosn T ： I = cosn：故对一切n结论成立，即证11101 a14）左边=°1a1 a2+0111111 anJ 1111-1a0-10a2-+J.-100-1001010n 111i =1 ai11 100 _0a00+r=00a20-9+9. a口0 a0an000anaa2ann1 '、.1,一=右边19.用克拉默法则解下列方程:2x1 x2 +3x3 +2x4 =

21、 6 3x1 - 3x2 ' 3x3 ' 2x4 = 5 | 3x1 - x2 - x3 2x4 = 3 I 3x1 -x2 3x3 -x4 =4x1 + 2x2 + 3x3 2x4 = 62x - x2 - 2x3 - 3x4 = 83x1 2x2 - x3 2x4 = 42x1 -3x2 2x3 x4 = -85x1 + 6x2 = 1x1 +5x2 + 6x3 = 0* x2 +5x3 + 6x4 = 0x3 +5x4 +6x5 = 0x4 5x5 =1鱼=1,x4 =dx1 +2x2 2x3 +4x4 x5 =T2x1 x2 +3x3 4x4 +2x5 =8)v 3x1

22、 +x2 -x3 +2x4 +2x5 =-2 4) 4x1 +3x2 +4x3 +2x4 +2x5 = -2 J x1 'x2 -'x3 2x4 '3x5 = -3解：1) d = -70,d1 = -70,d2 = -70,d3 = -70,d4 = -70所以方程组有唯一解:d1d2z I z I Zx, x2, x3dd)d = 324, d1 = 324, d2 = 648, d3 = -324, d4 = -648。d1d2x = =1,乂2 = dd所以方程组有唯一解:=2, x3 =虫=1, x4 =色-2 0dd)d =24,d1 =96,d2=-336,d3 =-96,d4 =168,d5 =312。所以方程组有唯一解:20d d2x1 = = 4, x2 = = -14,ddx3=-4,x4 d4 d=7,x5 = - =13 od)d =665,di =1507,d2 = -11453 = 703,d4所以方程组有唯一解1 =, X2, X3 =, X4 二66513335133-395,d5 =212 .212,x5