化工数学在化学与化工中的应用

1、第六章 化工数学在化学与化工中的应用 线性代数复习总结线性代数复习总结 在化学与化工中的应用实例在化学与化工中的应用实例 体会学习体会学习化工数学化工数学的意义的意义NoImage线性代数总结线性代数总结向量、向量组与向量、向量组与线性方程组线性方程组 行列式行列式矩阵矩阵方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量线性空间线性空间 第二章第二章克莱姆法则克莱姆法则 线性方程组线性方程组 矩阵的初等变换矩阵的初等变换矩阵的秩矩阵的秩向量组的线性相关性向量组的线性相关性 向量组的秩向量组的秩线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构 维数、基与坐标维数、基与坐标 线性变换线性变换 第一章第一章第三

2、章第三章第四章第四章第五章第五章NoImage一、行列式一、行列式第一节第一节 二阶和三阶行列式二阶和三阶行列式第二节第二节 n n阶行列式定义及性质阶行列式定义及性质第三节第三节 n n阶行列式的计算阶行列式的计算第四节第四节 克莱姆法则克莱姆法则重点是计算，利用性质熟练准确的重点是计算，利用性质熟练准确的计算出行列式的值计算出行列式的值NoImage二、矩阵二、矩阵第一节第一节 高斯消元法，矩阵，高斯消元法，矩阵， 矩阵的初等变换矩阵的初等变换第二节第二节 矩阵的运算矩阵的运算第三节第三节 可逆矩阵可逆矩阵第四节第四节 矩阵的分块矩阵的分块第五节第五节 矩阵的秩，初等矩阵矩阵的秩，初等矩阵

3、重点是：重点是：1概念（可逆阵、伴随阵、概念（可逆阵、伴随阵、分块阵、初等阵）分块阵、初等阵）2运算（矩阵的符号运算、运算（矩阵的符号运算、具体矩阵的数值运算）具体矩阵的数值运算）NoImageNoImage 意义？意义？ 书写符号不一样。书写符号不一样。行列式是一个数值，而矩阵是一个数表。行列式是一个数值，而矩阵是一个数表。行列式的行数和列数必须相等，而矩阵的行行列式的行数和列数必须相等，而矩阵的行数和列数可以不相等。数和列数可以不相等。行列式和矩阵的区别行列式和矩阵的区别NoImage三、向量和方程组三、向量和方程组第一节第一节 n n 维向量与线性相关性维向量与线性相关性第二节第二节 向

4、量组的秩数向量组的秩数 第三节第三节 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构第四节第四节 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构重点是：重点是：1、线性相关（无关）的概念、线性相关（无关）的概念及几个相关定理及几个相关定理2、向量组的极大无关组，等价向量组、向量组的极大无关组，等价向量组、向量组及矩阵的秩的概念及相互关系向量组及矩阵的秩的概念及相互关系链接链接1.pptNoImage四、矩阵的特征值和特征向量四、矩阵的特征值和特征向量第一节第一节 特征值和特征向量的概念特征值和特征向量的概念第二节第二节 特征值和特征向量的基本求法特征值和特征向量的基本求法第三节第三节 特征值和

5、特征向量的基本性质特征值和特征向量的基本性质重点是：重点是：1、会求特征值和特征向量、会求特征值和特征向量2、注意特征值和特征向量、注意特征值和特征向量的性质及其应用的性质及其应用NoImageNoImage2 矩阵矩阵 A 的特征值为的特征值为 0齐次线性方程组齐次线性方程组 0XAE)(0的非零解的非零解X 0|0 AE1 实矩阵实矩阵 A 有特征向量有特征向量 X , 对应的特征值为对应的特征值为0四、矩阵的特征值和特征向量四、矩阵的特征值和特征向量NoImage五、线性空间和线性变换五、线性空间和线性变换第一节第一节 线性空间的概念线性空间的概念第二节第二节 线性空间的基、维数和坐标线

6、性空间的基、维数和坐标第三节第三节 线性变换线性变换第四节第四节 线性变换与矩阵线性变换与矩阵重点是：重点是：1、基本概念清楚、基本概念清楚2、计算熟练、计算熟练6.1 化学计量矩阵与化学平衡问题化学计量矩阵与化学平衡问题6.2 因次分析中的应用因次分析中的应用6.3 化学反应系统中的应用化学反应系统中的应用6.4 简单不可逆连续反应系统简单不可逆连续反应系统 研究在研究在CO2和和H2O存在下，由存在下，由CO与与H2合成甲合成甲醇的反应。醇的反应。（1） 写出反应的原子矩阵形式；写出反应的原子矩阵形式；（2） 求原子矩阵的秩求原子矩阵的秩（3） 确定反应确定反应a1CH3OH+a2CO+a

7、3H2+a4CO2+a5H2O=0的一套计量系数，即确定一组完整的独立反应组。的一套计量系数，即确定一组完整的独立反应组。引例 ？ ？NoImage1、用矩阵对物质进行表示。例例1：由三种元素：由三种元素H，C和和O组成的组成的三种物质三种物质CO2，H2O和和H2CO3的混的混合物，写出其原子矩阵形式的表示合物，写出其原子矩阵形式的表示式式。线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.16.16.1 化学计量矩阵与化学平衡问题化学计量矩阵与化学平衡问题NoImage 在对物质和物质间的反应进行表示时，在对物质和物质间的反应进行表示时，假定给定假定给定n个原子的总

8、和，由这些原子构成所个原子的总和，由这些原子构成所讨论的分子。用讨论的分子。用Bj表示相应于每个原子（用表示相应于每个原子（用j标记）的排列有序的数和，它由标记）的排列有序的数和，它由0 0和和1 1构成，其构成，其本质即原子的符号。于是，由这些原子组成的本质即原子的符号。于是，由这些原子组成的Ai物质的分子向量可表示为：物质的分子向量可表示为： （1 1）其中其中 是是Ai分子中分子中Bj原子的数目。称具有整原子的数目。称具有整系数系数 的向量式（的向量式（1）为分子式或分子。）为分子式或分子。1niijjjABijij线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6

9、.16.16.1 化学计量矩阵与化学平衡问题化学计量矩阵与化学平衡问题NoImage 由原子由原子 组成的组成的 分子分子的总和可用以下方程组写出：的总和可用以下方程组写出： （2 2） 12,nB BB12,NA AA1112211njjjnjjjnNNjjjABABAB线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.16.16.1 化学计量矩阵与化学平衡问题化学计量矩阵与化学平衡问题NoImage若记若记 （3 3）则式（则式（2121）可写成矩阵乘法的形式，即）可写成矩阵乘法的形式，即 （4 4）1122NAA A=AnBBBB111121n1221222n2N

10、1N2NnA A A= A NnBBB线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.16.16.1 化学计量矩阵与化学平衡问题化学计量矩阵与化学平衡问题NoImage或写成或写成 （5 5）其中其中 表示由数表示由数 组成的组成的 矩阵，矩阵，称其为称其为原子矩阵原子矩阵。 线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.16.16.1 化学计量矩阵与化学平衡问题化学计量矩阵与化学平衡问题ABijNn原子矩阵原子矩阵NoImage例例1：由三种元素：由三种元素H，C和和O组成的三种物质组成的三种物质CO2，H2O和和H2CO3的混合物，写出

11、其原子的混合物，写出其原子矩阵形式的表示式。矩阵形式的表示式。2223COH OH CO0 1 22 0 12 1 3HCO0 1 22 0 12 1 3原子矩阵为原子矩阵为线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.16.16.1 化学计量矩阵与化学平衡问题化学计量矩阵与化学平衡问题 研究在研究在CO2和和H2O存在下，由存在下，由CO与与H2合成甲合成甲醇的反应。醇的反应。（1） 写出反应的原子矩阵形式；写出反应的原子矩阵形式；（2） 求原子矩阵的秩求原子矩阵的秩（3） 确定反应确定反应a1CH3OH+a2CO+a3H2+a4CO2+a5H2O=0的一套计量系

12、数，即确定一组完整的独立反应组。的一套计量系数，即确定一组完整的独立反应组。引例NoImage线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.16.16.1 化学计量矩阵与化学平衡问题化学计量矩阵与化学平衡问题2、用线性空间对物质和物质间的反应进行表示。例例2：求含有物质求含有物质CO2，H2O和和H2CO3的子空间的维数，基底和坐标。的子空间的维数，基底和坐标。NoImage线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.16.16.1 化学计量矩阵与化学平衡问题化学计量矩阵与化学平衡问题0 1 20 1 22 0 12 0 12 1 30

13、 0 0 初等行变换2223COH OH CO0 1 22 0 12 1 3HCO解：解：NoImage r( )2 故其秩为线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.16.16.1 化学计量矩阵与化学平衡问题化学计量矩阵与化学平衡问题12311 0 2 0 12r 0 1 2 r 0 1 20 0 00 0 0 NoImage即原子矩阵中第三列即原子矩阵中第三列 可用第一列可用第一列 和第二列和第二列 线性表示，故含有物质线性表示，故含有物质CO2，H2O和H2CO3的子空的子空间的维数等于间的维数等于2312线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例

14、在化工中的应用实例 6.16.16.1 化学计量矩阵与化学平衡问题化学计量矩阵与化学平衡问题31210211202 1222000 1NoImage线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.16.16.1 化学计量矩阵与化学平衡问题化学计量矩阵与化学平衡问题由于由于所以所以即即222322230 111 0 2 020 1 22 10 111 0 2 020 1 22 1COHH OCOH COCOH OH CO 0 11()2 02(C+2O)2 1HO BANoImage线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.16.16.1

15、 化学计量矩阵与化学平衡问题化学计量矩阵与化学平衡问题所以，可将结构片断所以，可将结构片断 和和 作为由物质作为由物质CO2，H2O和和H2CO3构成的子空间的基底。第一个构成的子空间的基底。第一个 片断可写为片断可写为 ，第二个片断可写为第二个片断可写为 ，在，在该子空间的基底中，分子该子空间的基底中，分子(向量向量)的总和可表示为的总和可表示为12HO2CO212H O2CO2222230 11 01 1COH OH OCOH CONoImage线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.16.16.1 化学计量矩阵与化学平衡问题化学计量矩阵与化学平衡问题3、

16、用矩阵对化学反应方程组进行表示。例例3：写出由四种物质写出由四种物质CH4，CH2O，O2和和H2O所组成的集合的一套化学计所组成的集合的一套化学计量系数。量系数。NoImage线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.16.16.1 化学计量矩阵与化学平衡问题化学计量矩阵与化学平衡问题 定理定理 如果分子如果分子 的原子矩阵的原子矩阵的秩为的秩为m，则这些分子必处于则这些分子必处于m维的空间维的空间Rm中。中。 (1,2,)iAiMNoImage线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.16.16.1 化学计量矩阵与化学平衡问题

17、化学计量矩阵与化学平衡问题 向量空间向量空间Rn包括了所有可能的由原子包括了所有可能的由原子构成的物质。例如，碳氢化合物就可看作是由两类构成的物质。例如，碳氢化合物就可看作是由两类元素氢和碳构成的元素氢和碳构成的,即某空间即某空间Rn中的子集合中的子集合 。所以，重要的问题是确定一子空。所以，重要的问题是确定一子空间间Rm,而子集合而子集合 处于子空间处于子空间Rm中。中。定理定理 如果分子如果分子 的原子矩阵的原子矩阵的秩为的秩为m，则这些分子必处于则这些分子必处于m维的空间维的空间Rm中。中。12,nB BB (1,2,)iAiM12,MA AA (1,2,)iAiMNoImage 如果如

18、果 ，则不失一般性，可设矩阵则不失一般性，可设矩阵的的前前m列线性无关，并用它们表示其余的列线性无关，并用它们表示其余的(n-m)列。列。用用 表示矩阵表示矩阵的相应列向量，的相应列向量，依上所述，则有：依上所述，则有：线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.16.16.1 化学计量矩阵与化学平衡问题化学计量矩阵与化学平衡问题( )rm121,mmn 11,111,221,1122mmmmmmnnnnmm 其中其中 是相应的线性无关向量线性组合的是相应的线性无关向量线性组合的系数。系数矩阵为：系数。系数矩阵为：1,mjNoImage线性代数线性代数 第六章第六

19、章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.16.16.1 化学计量矩阵与化学平衡问题化学计量矩阵与化学平衡问题 若用若用 表示由线性无关的列向量表示由线性无关的列向量所组成的矩阵，不难证明所组成的矩阵，不难证明 (6) 物质分子的矩阵形式为物质分子的矩阵形式为 (7) (6)式代入式代入(7),得得 (8) m+1,1m+2,1n1m+1,2m+2,2n2m+1,mm+2,mnm1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 12,m ABABNoImage即即 (9) 其中列向量其中列向量 的元素是式的元素是式(4)(4)中列向量中列向量B B的元素的线性组合。因为通过它们表示所有的元素

20、的线性组合。因为通过它们表示所有的分子的分子Ai i，则它们就组成了子空间则它们就组成了子空间Rm的基底，的基底，其中包括所研究的分子其中包括所研究的分子 。 线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.16.16.1 化学计量矩阵与化学平衡问题化学计量矩阵与化学平衡问题ABB12,MA AA子空间的基底子空间的基底NoImage 对于处在子空间对于处在子空间Rm中的物质集合中的物质集合 ，利用式，利用式(1)（4）总可以）总可以选择选择m个线性无关的元素个线性无关的元素 ，它们构成了，它们构成了该子空间的基底此时原子矩阵该子空间的基底此时原子矩阵 表示该表示该基

21、底里的物质基底里的物质 的和，而的和，而 的秩为的秩为m(m个线性无关的行和列个线性无关的行和列)。现设。现设 的前的前m行线性无关，则行线性无关，则m十十1，m十十2,，M行可用前行可用前m行的线性组合表示，得到行的线性组合表示，得到(Mm)个方程个方程 线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.16.16.1 化学计量矩阵与化学平衡问题化学计量矩阵与化学平衡问题 (1,2,)iAiMjB12,MA AANoImage线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.16.16.1 化学计量矩阵与化学平衡问题化学计量矩阵与化学平衡问题1

22、1,11100mmiimMiiaAia Ai（10）NoImage线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.16.16.1 化学计量矩阵与化学平衡问题化学计量矩阵与化学平衡问题式式(10)的形式与一般化学反应方程组是一致的，故的形式与一般化学反应方程组是一致的，故可将方程组可将方程组(10)作为物质作为物质(反应物反应物) 的集合上的化学反应方程组。显然，表示原子矩阵的集合上的化学反应方程组。显然，表示原子矩阵 的行之间的线性关系的齐次方程的最小数目为的行之间的线性关系的齐次方程的最小数目为(M-m)，其中其中M是所研究体系中反应物是所研究体系中反应物 的数目的

23、数目,m是是它的原子矩阵的秩。把这些方程进行相互组合，可它的原子矩阵的秩。把这些方程进行相互组合，可得到该反应物集合上的任何化学反应的方程，所以，得到该反应物集合上的任何化学反应的方程，所以，对于描写对于描写M个反应物体系中的化学反应所必须的最个反应物体系中的化学反应所必须的最小反应数目为（小反应数目为（M-m)。12,mA AAiANoImage线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.16.16.1 化学计量矩阵与化学平衡问题化学计量矩阵与化学平衡问题对于规则反应有：对于规则反应有： （11）其中其中i是参加反应物质的序号，是参加反应物质的序号，k是反应的序

24、号。对给定体是反应的序号。对给定体系中的化学反应，可将化学计量系数写成向量的形式系中的化学反应，可将化学计量系数写成向量的形式 （12）所以该体系中所有反应总和的矩阵所以该体系中所有反应总和的矩阵 为为 （13）0kiia Ai 12 TkkkkMa11112121222212 TMTMTkkkMkaaaaaaaaaa化学计量矩阵化学计量矩阵NoImage引入参加反应物质引入参加反应物质( (分子分子) )的列向量的列向量A （14）于是式（于是式（11）写成）写成 （15）或者对所有的反应写为或者对所有的反应写为 （16）借助原子矩阵，使其变成原子的组合，即借助原子矩阵，使其变成原子的组合，

25、即线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.16.16.1 化学计量矩阵与化学平衡问题化学计量矩阵与化学平衡问题12 mAAAA0TkA0aA 0 0TkABBB或NoImage于是在独立原子组合条件下可得到于是在独立原子组合条件下可得到 （17） （18）所以，对标以所以，对标以k的每个反应。都存在同样相对于的每个反应。都存在同样相对于 的线性方程组的线性方程组(17)，这个方程组完全符合众所，这个方程组完全符合众所周知的化学反应方程组的一般原则，即化学反应周知的化学反应方程组的一般原则，即化学反应式左边的某种原子数及电荷数等于右边的该原子式左边的某种原子数及

26、电荷数等于右边的该原子数及电荷数数及电荷数线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.16.16.1 化学计量矩阵与化学平衡问题化学计量矩阵与化学平衡问题0Tk0 kiNoImage线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.16.16.1 化学计量矩阵与化学平衡问题化学计量矩阵与化学平衡问题4、用化学计量矩阵对化学反应进行表示。NoImage例例3：写出由四种物质：写出由四种物质CH4，CH2O，O2和和H2O所组成的集合的一套化学计量系数。所组成的集合的一套化学计量系数。解：解：线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在

27、化工中的应用实例 6.16.16.1 化学计量矩阵与化学平衡问题化学计量矩阵与化学平衡问题4222H B= COCHCH OAOH O原子矩阵写为原子矩阵写为4 1 02 1 10 0 22 0 1NoImage求得求得 ，所以存在一个独立的化学反，所以存在一个独立的化学反应。由式应。由式(18)，写出方程组，写出方程组 线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.16.16.1 化学计量矩阵与化学平衡问题化学计量矩阵与化学平衡问题( )3r12 344 1 02 1 1 00 0 22 0 1NoImage即：即：解该方程组得：解该方程组得：所以对上述物质的体系

28、，独立反应具有所以对上述物质的体系，独立反应具有的形式，即的形式，即线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.16.16.1 化学计量矩阵与化学平衡问题化学计量矩阵与化学平衡问题1241223442 +2a =0 =0 +2a + a =0aaaaa24131=a =- , a =aaa141212120aCHaOaCH Oa H O4222CHOCH OH ONoImage线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.16.16.1 化学计量矩阵与化学平衡问题化学计量矩阵与化学平衡问题对于规则反应有：对于规则反应有： （6）其中其中

29、i是参加反应物质的序号，是参加反应物质的序号，k是反应的序号。对给定体是反应的序号。对给定体系中的化学反应，可将化学计量系数写成向量的形式系中的化学反应，可将化学计量系数写成向量的形式 （7）所以该体系中所有反应总和的矩阵所以该体系中所有反应总和的矩阵 为为 （8）0kiia Ai 12 TkkkkM11112121222212 TMTMTkkkMk化学计量矩阵化学计量矩阵NoImage引入参加反应物质引入参加反应物质( (分子分子) )的列向量的列向量A （9）于是式（于是式（6）写成）写成 （10）或者对所有的反应写为或者对所有的反应写为 （11）借助原子矩阵，使其变成原子的组合，即借助原

30、子矩阵，使其变成原子的组合，即线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.16.16.1 化学计量矩阵与化学平衡问题化学计量矩阵与化学平衡问题12 mAAAA0TkA0aA0 0TkBBNoImage于是在独立原子组合条件下可得到于是在独立原子组合条件下可得到 （12） （13）所以，对标以所以，对标以k的每个反应。都存在同样相对于的每个反应。都存在同样相对于 的线性方程组的线性方程组(12)，这个方程组完全符合众所，这个方程组完全符合众所周知的化学反应方程组的一般原则，即化学反应周知的化学反应方程组的一般原则，即化学反应式左边的某种原子数及电荷数等于右边的该原子

31、式左边的某种原子数及电荷数等于右边的该原子数及电荷数数及电荷数线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.16.16.1 化学计量矩阵与化学平衡问题化学计量矩阵与化学平衡问题0Tk0 kiNoImage线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.16.1 设设n为出现在反应物组成里的各种原子为出现在反应物组成里的各种原子（元素）及电荷的数目；（元素）及电荷的数目；M为反应物质的数为反应物质的数目；目；K 是给定体系反应的数目，当是给定体系反应的数目，当Mn时，时，原子矩阵原子矩阵（Mn阶）的秩阶）的秩是是mn（或当或当Mn时，时，mM

32、）。）。当当化学计量矩阵化学计量矩阵（KM阶）的秩阶）的秩为为Q时，则有时，则有 QMm （19） 若在若在 中仅包含独立反应，则上式取中仅包含独立反应，则上式取等号，式（等号，式（1919）称为）称为Gibbs化学计量规则化学计量规则。 aGibbs化学计量规则化学计量规则NoImage 按照按照Gibbs规则，可以确定体系中最大可规则，可以确定体系中最大可能的独立反应的数目。当然它不涉及诸如体能的独立反应的数目。当然它不涉及诸如体系中全部可能的独立反应是否发生？若它们系中全部可能的独立反应是否发生？若它们不是都能发生，那么它们应在什么条件下才不是都能发生，那么它们应在什么条件下才能发生等问

33、题。但是，能发生等问题。但是，Gibbs规则非常深刻规则非常深刻的描写了化学计量式的特性的描写了化学计量式的特性。 线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.16.16.1 化学计量矩阵与化学平衡问题化学计量矩阵与化学平衡问题NoImage 原子矩阵原子矩阵的秩的秩决定了反应混合物的独立决定了反应混合物的独立组分数，而独立组分数在研究化学平衡问题组分数，而独立组分数在研究化学平衡问题时是很重要的。时是很重要的。化学计量矩阵化学计量矩阵的最大秩数的最大秩数Q决定了该体系决定了该体系中能够进行反应的独立反应数。中能够进行反应的独立反应数。一般地，总是可以在给定体系中

34、选择一般地，总是可以在给定体系中选择Q种种物质，这些物质完全决定体系的反应；它们物质，这些物质完全决定体系的反应；它们还可以作为描述体系动力学方程的独立变量。还可以作为描述体系动力学方程的独立变量。 线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.16.16.1 化学计量矩阵与化学平衡问题化学计量矩阵与化学平衡问题NoImage线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.16.1本节要点：本节要点：1、理解原子矩阵的概念，能够写出物质分子的矩阵形式、理解原子矩阵的概念，能够写出物质分子的矩阵形式2、掌握物质线性空间的维数、基底和坐标的概念

35、及其性质。、掌握物质线性空间的维数、基底和坐标的概念及其性质。3、理解化学计量矩阵的概念，能够写出化学反应方程组的向、理解化学计量矩阵的概念，能够写出化学反应方程组的向量形式（线性方程组量形式（线性方程组 ） ，并正确求解。，并正确求解。4、在此基础上，进一步加深对线性代数的全面理解。、在此基础上，进一步加深对线性代数的全面理解。本节重点：本节重点：1、原子矩阵及其计算、原子矩阵及其计算2、化学计量矩阵及其计算、化学计量矩阵及其计算本章难点：本章难点：对物质向量空间及其线性变换的深入理解对物质向量空间及其线性变换的深入理解 小结小结:化学计量矩阵和化学平衡问题化学计量矩阵和化学平衡问题 AB0

36、ABNoImage课后习题：课后习题：乙烷脱氢反应乙烷脱氢反应 在高温下至少应考虑五个反应：在高温下至少应考虑五个反应： 试确定独立反应数，并确定一组完整的独立试确定独立反应数，并确定一组完整的独立反应组。反应组。 线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.16.16.1 化学计量矩阵与化学平衡问题化学计量矩阵与化学平衡问题262422422222224226222223C HC HHC HC HHC HCHC HCHC HCHNoImage 在过程比较复杂且无法从机理确定方程模在过程比较复杂且无法从机理确定方程模型，或者所确定的数学模型无法求解时，我型，或者所

37、确定的数学模型无法求解时，我们往往用试验结果表示过程的试验现象。但们往往用试验结果表示过程的试验现象。但是，这样得到的经常是物理意义不明的单纯是，这样得到的经常是物理意义不明的单纯的试验方程。而当某过程或系统的变量很多的试验方程。而当某过程或系统的变量很多时，建立单纯的试验方法也很困难。因次分时，建立单纯的试验方法也很困难。因次分析方法是处理这类问题的一种方法析方法是处理这类问题的一种方法。 线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.26.26.2 因次分析中的应用因次分析中的应用NoImage 一个合乎逻辑的物理问题一般都可用数学一个合乎逻辑的物理问题一般都可

38、用数学方程描述。若方程的解可写成无因次数群的方程描述。若方程的解可写成无因次数群的形式，则无因次数群数目比系统中变量和参形式，则无因次数群数目比系统中变量和参数的数目要少得多。这意味着对某个特定系数的数目要少得多。这意味着对某个特定系统的辛烯，可以通过另一个或许更为简单方统的辛烯，可以通过另一个或许更为简单方便的系统的无因次数群关系的研究中获得。便的系统的无因次数群关系的研究中获得。所以，重要问题是如何从标明的变量和参数所以，重要问题是如何从标明的变量和参数中求得无因次数群的最少个数。中求得无因次数群的最少个数。 线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.26.

39、26.2 因次分析中的应用因次分析中的应用NoImage 例如，在非稳态棒热传导问题中，棒长例如，在非稳态棒热传导问题中，棒长、初始温度初始温度、单位体积热容量单位体积热容量、热导热导、时间时间、棒端温度和棒中的位置是相关的。可以假棒端温度和棒中的位置是相关的。可以假定变量和参数都在最后的无因次数群公式定变量和参数都在最后的无因次数群公式出现。我们希望知道无因次数群的最少个出现。我们希望知道无因次数群的最少个数。数。线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.26.26.2 因次分析中的应用因次分析中的应用NoImage 假设问题中有关的物理量是假设问题中有关的物

40、理量是P1, P2, , Pn (具具体可以是粘度体可以是粘度、表面张力表面张力、直径直径、热导热导、热容等热容等)，基本量是基本量是m1, m2, , mn (质量质量、长度长度、时间时间、温度温度等等)。物理量。物理量Pj 的因次表达式为的因次表达式为其中其中aij 是正或负的小整数或零，它是是正或负的小整数或零，它是Pj 中基本量中基本量mi 的数目。的数目。 线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.26.26.2 因次分析中的应用因次分析中的应用1212jjmjaaajmPmmmNoImage因次矩阵因次矩阵可写为可写为 线性代数线性代数 第六章第六章

41、 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.26.26.2 因次分析中的应用因次分析中的应用1231111213122122232123 nnnmmmmmnPPPPmaaaamaaaamaaaa 作为一向量空间考虑，线性独立向量数为作为一向量空间考虑，线性独立向量数为r，剩下剩下n-r 个向量都可表示为个向量都可表示为r个线性独立向量的线性组合，个线性独立向量的线性组合，所以所以 （j=r+1, r+2, , n）其中其中wij 是常数。是常数。这是由因次向量表示的向量方程这是由因次向量表示的向量方程。 1 riijiiPw PNoImage若由物理量本身表示，则为若由物理量本身表示，则为换言

42、之换言之 是一无因次群。因为每一式都包含一个在其它式中是一无因次群。因为每一式都包含一个在其它式中不出现的物理量。所以无因次数群之间是独立的，不出现的物理量。所以无因次数群之间是独立的，无因次数群的最少独立数为无因次数群的最少独立数为n=r，实际上，这里也给实际上，这里也给出了求无因次数群的一种方法。并且存在许多这样出了求无因次数群的一种方法。并且存在许多这样的无因次数群，为获得无因次数群的经验关系以拟的无因次数群，为获得无因次数群的经验关系以拟合试验数据，可选择最为方便的来使用。合试验数据，可选择最为方便的来使用。 线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.2

43、6.26.2 因次分析中的应用因次分析中的应用1 ijrwiiiPP11ijrwjiiPPNoImage 例例4 试确定初始温度为试确定初始温度为Ti，终端温度为终端温度为T0，非稳态非稳态棒热传导问题中的无因次数群数目。棒热传导问题中的无因次数群数目。解解 有关变量及其因次为有关变量及其因次为 L棒长棒长 L=l x位置位置 x=l 时间时间 =t Cp热容热容 T0Ti 端温端温 T0Ti= TTi 时间位置时间位置x的温度的温度 TTi= k热导热导 线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.26.26.2 因次分析中的应用因次分析中的应用2pmClt3

44、mlktNoImage 其中使用的基本量为质量（其中使用的基本量为质量（m），），长度（长度（l），），时间时间（t）和温度（和温度（）。）。因次矩阵是因次矩阵是矩阵的秩为矩阵的秩为4, 所以无因次数群数目所以无因次数群数目743。这种情。这种情况的无因次数群通过观察因次矩阵确定，可用的三况的无因次数群通过观察因次矩阵确定，可用的三个无因次数群是个无因次数群是 线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.26.26.2 因次分析中的应用因次分析中的应用00001100110110000132000001111piiLxkCTTTTmlt20,iipTTxkTTTL

45、 L CNoImage关于化学与化工中使用因次分析：关于化学与化工中使用因次分析：(1) (1) 因次分析的数学方法并不复杂。但是，因次分析的数学方法并不复杂。但是，在选定与现象有关物理量上，在认识因次分在选定与现象有关物理量上，在认识因次分析所得到的无因次数群的物理意义上，需要析所得到的无因次数群的物理意义上，需要对化学与化工现象有较深的学识和经验。对化学与化工现象有较深的学识和经验。(2) (2) 因次分析的基础是因次一致性原则：凡因次分析的基础是因次一致性原则：凡是根据基本的物理规律导出的方程或关系式，是根据基本的物理规律导出的方程或关系式，其中各项的因次相同，而这些方程都可化为其中各项

46、的因次相同，而这些方程都可化为无因次数群所表示的关系式。无因次数群所表示的关系式。 线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.26.26.2 因次分析中的应用因次分析中的应用NoImage (3) 定理：若因次变量和因次常数共为定理：若因次变量和因次常数共为n个，个，基本因次量为基本因次量为r个，则无因次数群个数为个，则无因次数群个数为nr。(4) 用因次分析去研究一个化学与化工或其它用因次分析去研究一个化学与化工或其它问题，必须客观真实地考虑因次变量和因次问题，必须客观真实地考虑因次变量和因次常数。如果漏掉必要的量，就会得到只是在常数。如果漏掉必要的量，就会得

47、到只是在特殊条件下才适用的结果，甚至完全错误的特殊条件下才适用的结果，甚至完全错误的结果；如果加进不必要的量，在计算过程中结果；如果加进不必要的量，在计算过程中有时会自行消失，有时会一直残留到最后，有时会自行消失，有时会一直残留到最后，使无因次数群数目增多，形式复杂。使无因次数群数目增多，形式复杂。线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.26.26.2 因次分析中的应用因次分析中的应用NoImage(5) 在用因次分析法研究一个化学与化工或其在用因次分析法研究一个化学与化工或其它问题时，一般可以采用这样的具体方法；它问题时，一般可以采用这样的具体方法；首先假设

48、因次变量和因次常数存在如下关系首先假设因次变量和因次常数存在如下关系 k为无因次数群为无因次数群假设因次分析的结果为假设因次分析的结果为 必须注意：这种做法只是因次分析取得无因必须注意：这种做法只是因次分析取得无因次数群的一种手段或方法，并不表示因次变次数群的一种手段或方法，并不表示因次变量和因次常数满足量和因次常数满足 线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.26.26.2 因次分析中的应用因次分析中的应用1212naaanA AAk1212n raaan rk NoImage的函数关系，也不表示所研究的问题满足的函数关系，也不表示所研究的问题满足线性代数线

49、性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.26.26.2 因次分析中的应用因次分析中的应用1212naaanA AAk1212n raaan rk 的函数关系。但是，客观上存在一种的函数关系。但是，客观上存在一种或或123(,)nAf A AA122(,)n r 的关系描述着问题的数学模型。的关系描述着问题的数学模型。NoImage (6) 因次分析必须以试验作为补充，以确定因次分析必须以试验作为补充，以确定无因次数群间确切的函数关系，这样才有实无因次数群间确切的函数关系，这样才有实用意义。用意义。线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.

50、26.26.2 因次分析中的应用因次分析中的应用NoImage 在化学物质种类很多，反应是动态标明在化学物质种类很多，反应是动态标明的复杂化学反应系统中，迫切需要一个准则，的复杂化学反应系统中，迫切需要一个准则，以确定描述反应系统所需方程的最少数目。以确定描述反应系统所需方程的最少数目。下面研究空管反应器，其分析基本上与间歇下面研究空管反应器，其分析基本上与间歇反应器相同反应器相同 如果假设流体塞式流动，扩散和传导效如果假设流体塞式流动，扩散和传导效应都可忽略，热传递假设由壁传热系数表征，应都可忽略，热传递假设由壁传热系数表征，落在管轴上的游动变量是落在管轴上的游动变量是 ，流体中发生的，流体

51、中发生的反应由下式给出反应由下式给出 线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.36.36.3 化学反应系统中的应用化学反应系统中的应用xNoImage 其中其中a ajiji按热力学习惯对生成物为正，对反应物为负，有按热力学习惯对生成物为正，对反应物为负，有n n种化学物质，种化学物质，m个反应。问题中符号简述如下：个反应。问题中符号简述如下：G G为总质量流为总质量流动速率动速率; T; T为反应混合物温度为反应混合物温度; t; t为环境温度为环境温度; h; h为管壁热传导为管壁热传导系数系数; a; a为反应器截面积为反应器截面积; p; p为压力为压

52、力; P; P为反应器周长为反应器周长; h; hi i为第为第i i种物质分摩尔焓；种物质分摩尔焓；Hj为第为第j j个反应的反应热；个反应的反应热；A Ai i为第为第i i种化种化学物质；学物质；C Cpipi为第为第i i种物质的摩尔热容；种物质的摩尔热容；a aijij为第为第j j个反应中第个反应中第i i种物质的化学计量系数；种物质的化学计量系数；f fijij为单位体积单位时间第为单位体积单位时间第j j个反应个反应中第中第i i种物质生成的摩尔速率；为壁上的剪应力；种物质生成的摩尔速率；为壁上的剪应力；f f为摩擦系为摩擦系数；数；g gi i为反应混合物的物质为反应混合物的

53、物质i i的单位质量摩尔数；的单位质量摩尔数；u u为沿管轴为沿管轴线速度；线速度；w w为反应混合物的质量速度。为反应混合物的质量速度。线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.26.26.3 化学反应系统中的应用化学反应系统中的应用10 (j=1,2,m)nijia AiNoImage 线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.36.36.3 化学反应系统中的应用化学反应系统中的应用图图6.3-1图图6.3-1为推导守恒方程考虑的理想反应为推导守恒方程考虑的理想反应器物质器物质 i 迁移流入量是迁移流入量是 ，x 代表代表研究

54、的位置，迁移流出量研究的位置，迁移流出量 是在第是在第j个反应中，由化学反应生成的物质个反应中，由化学反应生成的物质 i 的的速率是速率是()ixxGgi(Gg )xNoImage在所有反应中为在所有反应中为守恒方程是守恒方程是当当 时，取得极限得时，取得极限得 （1） 线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.36.36.3 化学反应系统中的应用化学反应系统中的应用0 x NoImage反应速率表达式反应速率表达式fij对对一特定反应而言不是独立一特定反应而言不是独立的，它与下式有关的，它与下式有关其中其中fj 实际速率，与实际速率，与fij 有关有关 将该式

55、代入式（将该式代入式（1），得），得即即 （2）线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.36.36.3 化学反应系统中的应用化学反应系统中的应用NoImage这这n n个方程中每个对应一种化学物质，包括惰个方程中每个对应一种化学物质，包括惰性组分，但显然太多因为有物质质量浓度性组分，但显然太多因为有物质质量浓度关系式，所以，对单个反应来说，一个这种关系式，所以，对单个反应来说，一个这种方程就足够了化学计量系数矩阵是方程就足够了化学计量系数矩阵是 线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.36.36.3 化学反应系统中的应用化学反

56、应系统中的应用111212122212 mmnnnmANoImage假设其秩为假设其秩为r，为方便起见，设左上角为方便起见，设左上角r阶行列阶行列式非零，则存在一组常数，使得行向量式非零，则存在一组常数，使得行向量线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.36.36.3 化学反应系统中的应用化学反应系统中的应用k12 = (k=r+1,r+2,n)Tkkkmb 是前是前r个行向量个行向量 的线性组合，的线性组合， 设这组常数为设这组常数为,k=1,2,rTkbNoImage所以所以式（式（2）用矩阵向量形式可写作）用矩阵向量形式可写作 （3）其中其中 线性代数线

57、性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.36.36.3 化学反应系统中的应用化学反应系统中的应用Tjkjj=b (k=r+1,r+2,n)TkbdgwAfdx1122, f= nmgfgfggfNoImage存在一个非奇异方阵存在一个非奇异方阵B，当它作用于当它作用于A时，在时，在最后最后(n-r)行产生行产生继而继而左边向量的最后左边向量的最后(n(nr)r)行是行是 线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.36.36.3 化学反应系统中的应用化学反应系统中的应用Tjkjj b =0TkbdgwBBAfdxjk0 (k=r+1,r+2

58、,n)jkjdgdgdxdxNoImage对这些方程积分得到对这些方程积分得到所以，所以，n nr r个质量浓度可以由其它个质量浓度可以由其它r r个表示，个表示，由质量守恒微分方程描述的系统仅含有由质量守恒微分方程描述的系统仅含有r r个组个组分，这也是分，这也是A A的秩。的秩。 线性代数线性代数 第六章第六章 在化工中的应用实例在化工中的应用实例 6.36.36.3 化学反应系统中的应用化学反应系统中的应用0jk0() (k=r+1,r+2,n)kkijjggggNoImage 有些化学反应的速度常数很小，所以示意有些化学反应的速度常数很小，所以示意反应机理可以用另一种方式近似，例如，三反应机理可以用另一种方式近似，例如，三角系统就是角系统就是 的一般概括。其中三的一般概括。其中三角系统中的角系统中的k3 和和ki 被假设为零。被假设为零。线性代数线性代数 第