26函数的连续性

1、二、二、 函数的间断点及其分类函数的间断点及其分类 一、一、 函数连续性的概念函数连续性的概念 第六节函数的连续性 三、连续函数的运算法则三、连续函数的运算法则 四、四、 初等函数的连续性初等函数的连续性 第二二章 一、函数连续性的概念第一类第一类可去可去间断点间断点第一类第一类跳跃跳跃间断点间断点第二类第二类无穷无穷间断点间断点第二类间断点第二类间断点xyoxyoxyoxyo1 1定义定义2.9.)()(00内内有有定定义义的的某某邻邻域域在在点点设设xuxxf1. 连续函数的定义存存在在；)(lim) 1 (0 xfxx若若且且)()(lim) 2(00 xfxfxx 则称函数则称函数.)

2、(0处处连连续续在在点点xxf注注1函数连续的增量定义函数连续的增量定义,0 xx x 那么称那么称为为自变量的增量自变量的增量(或改变量或改变量).若相应地函数若相应地函数 y 从从)(0 xf),(0 xxf 变到变到称称)()(00 xfxxfy 为为函数的增函数的增量量(或改变量或改变量).定义定义2.10.)()(0内内有有定定义义在在某某设设xuxf,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就是就是.0lim0 yx处连续处连续在点在点0)(xxf设有函数设有函数 y = f (x). 当自变量当自变量 x 从从增量概念增量概念:0 x变到变到定定义义 .)()(, 0,

3、 000 xfxfxx恒有恒有时时使当使当2处处连连续续在在点点0)(xxf3).()(lim)3()(lim)2()() 1 (0000 xfxfxfxfxxxx 存存在在；有有意意义义；定义定义2.11f(x)在点在点 x0处连续的处连续的三要素：三要素：.0, 0, 0, 0,1sin)(处处连连续续在在试试证证函函数数 xxxxxxf证证, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf),0()(lim0fxfx 例12. 单侧连续处处在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数0000)(),()0(,()(xxfxfxfxaxf 左

4、连续；左连续；处处在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数0000)(),()0(,),)(xxfxfxfbxxf 右连续右连续. .定理定理处处连连续续在在函函数数0)(xxf处处既既左左连连续续又又右右连连续续在在0)(xxf).()()(000 xfxfxf 例2解解 . 21,2, 1, 2, 10,)(2xxxxxxf讨论函数讨论函数在点在点x=1处的连续性处的连续性.由于由于 )(lim1xfx21lim xx , 1 )(lim1xfx)2(lim1xx , 1 1)(lim1 xfx, 2)1( f所以所以 f(x) 在点在点 x=1 处不连续处不连续. 在区间上每

5、一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区叫做在该区间上的间上的连续函数连续函数, 或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.,)(,),(上上连连续续在在闭闭区区间间则则称称函函数数处处左左连连续续在在右右端端点点处处右右连连续续端端点点并并且且在在左左内内连连续续如如果果函函数数在在开开区区间间baxfbxaxba 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. .3. 函数在区间上的连续性. ,)(bacxf 记作记作例3 证明函数xysin 在在),( 内连续内连续 .证证 ),( xxxxysin)sin( )cos(sin222

6、xxx )cos(sin222xxxy 122 xx 0 x即即0lim0 yx这说明这说明xysin 在在),( 内连续内连续 .类似可证类似可证: 函数函数xycos 在在),( 内连续内连续 .04. 已知的连续函数), 0, xxyrxaxaxaynnn ,110多多项项式式：0)(,)()( xqrxxqxpynnm且且有有理理函函数数：rxxy ,sinrxxy ,cos如果上述三个条件中有一个不满足，则称如果上述三个条件中有一个不满足，则称 f (x) 在在二、函数的间断点及其分类:)(0条件条件处连续必须满足的三个处连续必须满足的三个在点在点函数函数xxf;)()1(0处处有有

7、定定义义在在点点 xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx 内内有有定定义义，的的某某去去心心邻邻域域在在设设)()(00 xuxxf1. 定义定义(或或间断点间断点).点点x0 处不连续处不连续(或或间断间断)，并称点，并称点x0为为 f (x)的不连续的不连续点点2. 间断点的分类.)()(00是是否否同同时时存存在在与与 xfxf)()(00 xfxf与与 间断点间断点0 x振荡振荡同同时时存存在在.)(0上上下下方方来来回回摆摆动动直直线线在在某某时时，当当ayxfyxx 但但),()(00 xfxf无无意意义义或或)(0 xf)()(00 x

8、fxf )(lim0 xfxx)()(lim0 不不存存在在xfxx可去可去跳跃跳跃无穷无穷其他其他类类 第第一至少有一至少有一个个不存在不存在第第二二类类根据：根据：)()()(000 xfxfxf xytan)1( 2x为其第二类无穷间断点为其第二类无穷间断点 .0 x为其第二类振荡间断点为其第二类振荡间断点 .xy1sin)2( 1 x为其第一类可去间断点为其第一类可去间断点 .11)3(2 xxyxoy1例4xytan2xyoxyxy1sin 0(4) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11,1)0( f1)0( f0 x为其第一类跳跃间断点为其第一类跳跃间断点 . 例5 指

9、出下列函数的间断点及其类型：指出下列函数的间断点及其类型：510510)()1(11 xxxf解解1 找找 f(x) 无定义的点无定义的点0 x间断点：间断点：2 判断间断点的类型判断间断点的类型510510lim)0(110 xxxf15050 0limlim1 xxxxaaa时，时，当当510510lim)0(110 xxxfxxx11010511051lim 1 )0()0()0()0( ffff均存在，但均存在，但与与.)(0的的第第一一类类跳跳跃跃间间断断点点是是xfx 0limlim1 xxxxaaa时，时，当当 0,110,2)()2(2xxxxxxf解解1找找 f(x) 无定义

10、的点无定义的点1 x间断点：间断点： 11lim)(lim11xxfxx.)(1的的第第二二类类无无穷穷间间断断点点是是xfx 2 查分段点：查分段点： 0 x0)2(lim)0(20 xxfx，111lim)0(0 xfx .)(0的的第第一一类类跳跳跃跃间间断断点点是是xfx ，xx cot,tan在各自定义域内连续在各自定义域内连续.三、连续函数的运算法则定理定理2.14 在某点连续的在某点连续的有限个有限个函数函数上连续，上连续，在在),(cos,sinxx积积 ,商商(分母分母0) 运算运算,结果仍是在该点连续的函数结果仍是在该点连续的函数 .例如：例如：经经有限次有限次和和 , 差

11、差 , xx csc,sec1. 四则运算的连续性四则运算的连续性利用极限的四则运利用极限的四则运算法则可以证明：算法则可以证明：结论：结论：三角函数在其定义域内连续三角函数在其定义域内连续.例6 设设)()(xgxf与与均在均在,ba上连续上连续, 证明函数证明函数 )(, )(max)(xgxfx 也在也在,ba上连续上连续.证证 21)( x )()(xgxf )()(xgxf )()()(21xgxfx )()(xgxf 根据连续函数运算法则根据连续函数运算法则 ,可知可知)(, )(xx 也在也在,ba上上连续连续 . )(, )(min)(xgxfx 如果函数如果函数例如例如：xy

12、sin 在在2,2 上连续单调递增，上连续单调递增，其反函数其反函数xyarcsin (证明略证明略)在在1 , 1上也连续上也连续单调递增单调递增.且连续且连续.(减少减少)则其则其反函数反函数),( xixxfyy )(xfy 在区间在区间xi单调增加单调增加)(1yfx 在对应区间在对应区间 yi(减少减少)上亦单调增加上亦单调增加且连续且连续.类似地类似地,xyarccos 在区间在区间1,1 上连续上连续单调递减单调递减.2. 反函数的连续性定理2.15xyarctan xycotarc 及及在区间在区间 ( , +)上连续上连续.结论：结论： 反三角函数在其定义域内连续反三角函数在

13、其定义域内连续.), 0(log),()1, 0(内连续内连续在在内连续，且内连续，且在在证明：证明： xyaaayax证证1)4(1lim已证已证第三节例第三节例 nna2. 1lim0 xxa需证：需证：例7，0 x xn1令令,1xn 则则，nx10 )0(11 xnxn,1时时当当 anxnaaa11 nx则有则有，令令0由由夹逼准则夹逼准则及及1，可得，可得. 1lim0 xxa,10时时当当 a. 111)1(1limlim00 xxxxaa3,0rx xaxf )()()(00 xfxxfy 00 xxxaa )1(0 xxaa )1(limlim000 xxxxaay000 x

14、a.)(0处连续处连续在在xaxfx .), 0(log15.内连续内连续在在易知，易知，由定理由定理 xya2结论：结论：指数函数，对数函数在其定义域内皆连续指数函数，对数函数在其定义域内皆连续.3. 复合函数的连续性定理2.16设函数设函数 y = f u(x)由函数由函数 y = f (u)与函数与函数u=u(x)复合而成复合而成,)(lim00uxuxx 若若而函数而函数 y = f(u)处处连连续续，则则在在0uu )(lim0 xufxx)(lim0ufuu)(0uf )(lim0 xufxx),(lim0 xufxx )(0uf可以写成可以写成:定理定理2.16的结论的结论1.

15、函数记号函数记号f 与极限记号可以交换次序与极限记号可以交换次序;意义意义: :.)(. 2的理论依据的理论依据变量代换变量代换xu 例8).0(1)1(lim0 常数常数求求xxx解解xxxxx1elim1)1(lim00 xx0lim )0(1)1( xxx 时时，当当0uuu1e )1ln(x )1ln(x 例9.), 0()(内连续内连续在在为常数为常数证明：证明： xy证证xxylne 内连续，内连续，在在), 0(ln)( xxu 内连续内连续在在而而),(e)( uxfy.), 0()(内连续内连续在在为常数为常数 xy可以证明：可以证明： xy 对于对于取任何实数取任何实数,均

16、在其定义域内连续均在其定义域内连续. .结论：结论：幂函数在其定义域内连续幂函数在其定义域内连续.四、初等函数的连续性连续函数经四则运算仍连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续定理定理 基本初等函数在基本初等函数在定义域内定义域内连续连续. .基本初等函数在基本初等函数在定义域内定义域内连续连续结论：结论：一切初等函数在一切初等函数在定义区间内定义区间内连续连续. .定义区间定义区间是指包含在定义域内的区间是指包含在定义域内的区间.例如例如,21xy 的连续区间为的连续区间为1,1 (端点为单侧连续端点为单侧连续)xysinln 的连续区间为的连续区间为.z,

17、 )12( ,2( nnn 注1 初等函数仅在其初等函数仅在其定义区间上定义区间上连续连续, 在其在其 定义域内定义域内不一定不一定连续连续;如：如：, 1cos)1( xy,4,2, 0 xxd在这些孤立点的去心邻域在这些孤立点的去心邻域 (邻域半径不超过邻域半径不超过2 )内没内没有定义有定义,)1()2(32 xxy1, 0 xxxd及及在在o点的去心邻域点的去心邻域(邻域半径不超过邻域半径不超过1)内没有定义内没有定义,.), 1上上连连续续但但此此函函数数在在其其定定义义区区间间 因此它无连续点因此它无连续点.因此它在因此它在 x=0 处处不连续，不连续，从而在其定义域内不连续从而在

18、其定义域内不连续.2 初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.是是初初等等函函数数，则则设设)(xf)()()(lim000定定义义区区间间 xxfxfxx例10.1arcsinlim20 xxx 求求解解,1arcsin)(2为为初初等等函函数数xxxf x=0是它的定义是它的定义区间内的点区间内的点, )0()(lim1arcsinlim020fxfxxxx . 0 1,41,)(xxxxx 例11 设,1,21,)(2 xxxxxf解解讨论复合函数讨论复合函数)(xf 的连续性的连续性 . )(xf 1,2 xx1,2 xx1)(),(2 xx 1)(, )(2 xx 故此

19、时连续故此时连续;而而)(lim1xfx 21lim xx 1 )(lim1xfx )2(lim1xx 3 故故 )(xf x = 1为第一类为第一类在点在点 x = 1 不连续不连续 , ,)(1为为初初等等函函数数时时xfx 间断点间断点 . )(xf 1,2 xx1,2 xx内容小结)()(lim00 xfxfxx 0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左连续左连续右连续右连续. 20 x第一类间断点第一类间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点左右极限都存在左右极限都存在 第二类间断点第二类间断点无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点左右极限至少有

20、一左右极限至少有一个不存在个不存在在点在点间断的类型间断的类型. 10 x在点在点连续的等价形式连续的等价形式其它间断点其它间断点)(xf)(xf3. 基本初等函数在定义区间内连续基本初等函数在定义区间内连续连续函数的连续函数的四则运算四则运算的结果连续的结果连续连续函数的连续函数的反函数反函数连续连续连续函数的连续函数的复合函数复合函数连续连续初等函数在初等函数在定义区间定义区间内内连续连续说明说明: 分段函数在分段点处是否连续需讨论其分段函数在分段点处是否连续需讨论其 左、右连续性左、右连续性.思考与练习1. 讨论函数讨论函数231)(22 xxxxfx = 2 是第二类是第二类(无穷无穷

21、)间断点间断点 .间断点的类型间断点的类型.2. 设设 0,0,sin)(21xxaxxxfx_, a时时提示提示:,0)0( f )0(f)0(fa 0)(xf为为连续函数连续函数.答案答案: x = 1 是第一类是第一类(可去可去)间断点间断点 ,3.,)(0连续连续在点在点若若xxf是否连是否连在在问问02)(, )(xxfxf续续? 反之是否成立反之是否成立?解解)(xf在在0 x连续，连续， )()(lim00 xfxfxx )()()()(000 xfxfxfxf 且且)()(lim00 xfxfxx )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx)(02xf 故故

22、 | )(|xf、)(2xf在在 0 x都都连连续续. 反例：反例： ,1,1)(xf x 为有理数为有理数 x 为无理数为无理数)(xf处处间断处处间断,)(, )(2xfxf处处连续处处连续 ，但，但“反之反之” 不成立不成立 .4.试分别举出,1,21, 2, 1, 0)1(nnx 是是 f (x) 的所有间断点的所有间断点, 且它们都是无穷间断点；且它们都是无穷间断点；(2) f (x)在在r上处处不连续，但上处处不连续，但)(xf在在r上处处连续；上处处连续；(3) f (x)在在r上处处有定义，但仅在一点连续上处处有定义，但仅在一点连续.xxxf sin1sin1)()1( 解解具

23、有以下性质的函数具有以下性质的函数 f(x) 的例子：的例子： )()3(xf是有理数是有理数x,x是无理数是无理数x,x xyo )()2(xf是有理数是有理数x,1是无理数是无理数x,1 xyo11 5. 求. )1(lim2xxxx 方法方法1 原式原式 =xxxxxxxx 1)1)(1(lim2221111lim2 xx21 方法方法2 令令,1xt tttt1111lim20 21 则则原式原式 =22011limttt 111lim20 ttx)11()11)(11(lim22220 tttttxxxx 1lim2 0t时，时，6 试确定常数 a 使.0)1(lim33 xaxx解

24、解 令令,1xt 则则 tatt 33011lim001 atatt 3301lim 01lim330 att故故1 a因此因此.0, 0, 2, 0, 2)(连续性连续性处的处的在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 )2(lim)(lim00 xxfxx2 .0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf备用题例2-1)0()0( ff )0 ( f )0 ( f不不存存在在)(lim0 xfx例2-2.0,0,0, 20,sin)(处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数 xxexxxxxfx解解1sinlim)(lim)0(00 xxxff

25、xx1lim)(lim)0(00 xxxexff2) 0 ()0 ()0 ( fff.0)(处处不不连连续续在在点点 xxf但但存存在在 ,)(lim0 xfx例2-3解解 , 0, 0,)(xxaxexfx设设函函数数应当怎样选择应当怎样选择a,使得使得 f (x) 在在 x=0 处连续处连续. )0(fxxe 0lim, 1 )0(f)(lim0 xax ,a ,)0(af 由连续的充要条件由连续的充要条件)0()0()0(fff 得得 a=1.所以当所以当a=1时，时，f(x)在在x=0处连续处连续.例2-4.0, 0, 0,)1()(,3处连续处连续在在函数函数取何值时取何值时当当 x

26、xaxxxxfax解解xxxxxff300)1 (lim)(lim)0( ,)0(af 33)(10)(1lim exxx)(lim)(lim)0(00 xaxffxx , a ),0()0()0(fff 处处连连续续在在点点0)( xxf,3时时故故当当且且仅仅当当 ea.0)(处处连连续续在在函函数数 xxf即即,3ae 例4-1解解.0sin)(处处的的连连续续性性在在点点 xxxxf讨论函数讨论函数因为因为f(x)在在x=0处无定义处无定义, 所以所以x=0是是f(x)的间断点的间断点,又又, 1sinlim0 xxx注注 故若补充定义故若补充定义f(0)=1,则函数则函数 0,10,

27、sin)(xxxxxf在在x=0处就连续了处就连续了,因此因此, 这类间断点被称为这类间断点被称为可去间断点可去间断点.)(0的第一类可去间断点的第一类可去间断点是是故故xfx 例5-1 讨论函数xxexf 111)(解解 间断点间断点1,0 xx)(lim0 xfx, 0 x为无穷间断点为无穷间断点;,1 时时当当 x xx1, 0)(xf,1 时时当当 x xx1, 1)(xf故故1 x为跳跃间断点为跳跃间断点. ,1,0处处在在 x.)(连续连续xf间断点的类型间断点的类型.例5-2解解讨论函数讨论函数 0,10,11)(1xxexfx在在 x=0 处的连续性处的连续性., 111lim

28、10 xxe, 011lim10 xxe, 1)0()0( ff虽虽然然 f (x) 在在 x=0 处左连续处左连续,),0()0( ff但但由由于于 f (x)在在 x=0 处间断处间断.函数函数 f(x) 的图形在的图形在 x=0 处有一个处有一个“跃度跃度”,故称跳跃间断点故称跳跃间断点.oxy1xey111 21例5-3解解.tan的的间间断断点点，并并判判断断类类型型求求函函数数xxy , 0tan x令令得得无无定定义义，在在又又 tan x故函数在这些点处间断故函数在这些点处间断., 1tanlim0 xxx故故x=0是第一类间断点是第一类间断点., 0tanlim2 xxkx,

29、 1, 0,2 kkx故故是第一类间断点是第一类间断点., 1, 0, kkx, 1, 0,2 kk时时，又又当当, 2, 1 k,tanlim xxkx, 2, 1, 0, kkx故故是第二类间断点是第二类间断点.例8-1 求求.1lim0 xaxx 解解 令令,1 xat则则,ln)1ln(atx 原式原式atttln)1ln(lim0 aln )1ln(limln0ttat axaxln1 1e x时，时，当当0 xx时，时，当当0 x特别地，若特别地，若 a = e，则，则例8 求.)1(loglim0 xxax 解解原式原式xxax1)1(loglim0 eloga alneln 时，时，当当0 x)1ln(x xaln1 axxaln)1(log 时，时，当当0 x特别地，若特别地，若 a = e，则，则例8-3bxgaxfxxxx )(lim, 0)(lim00若若证明：证明：证证)()(xgxfy )(