第08讲 激光束的输出特性1

1、1激光束输出特性激光束输出特性23.1 3.1 光学谐振腔的衍射理论光学谐振腔的衍射理论3.1.1 惠更斯惠更斯-基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式 惠更斯提出了关于子波的概念，认为波面上每一点可看作次球面子波惠更斯提出了关于子波的概念，认为波面上每一点可看作次球面子波的波源，下一时刻新的波前形状由次级子波的包络面所决定。空间光场的波源，下一时刻新的波前形状由次级子波的包络面所决定。空间光场是各子波干涉叠加的结果。是各子波干涉叠加的结果。 惠更斯菲涅耳原理惠更斯菲涅耳原理设波阵面设波阵面 上任一源点上任一源点 的光场复振幅为的光场复振幅为 ，则空间任一观察点，则空间任一观察点P的的光场复振幅光场

2、复振幅 由下列积分式计算：由下列积分式计算： 图3-1 惠更斯-菲涅耳原理P) ( Pu)(Pu)cos1 ()( 4)(dsePuikPuik式中式中 为源点为源点 与观察点与观察点 之间的距离；之间的距离； 为为源点源点 处的波面法线处的波面法线 与与 的夹角；的夹角； 为光波矢的大小，为光波矢的大小， 为光波长；为光波长； 为源点为源点 处处的面元的面元。 PPPnPP/2kPds33.1.2 光学谐振腔的自再现模积分方程光学谐振腔的自再现模积分方程自再现模概念自再现模概念 起因：起因：由于反射镜的有限大小，它在对光束起反射作用的同时，还由于反射镜的有限大小，它在对光束起反射作用的同时，

3、还会引起光波的衍射效应会引起光波的衍射效应 ，引起反射回来的光束的强度减弱，引起反射回来的光束的强度减弱. 特点特点1：当反射次数足够多时（大约三百多次反射）光束的横向场分当反射次数足够多时（大约三百多次反射）光束的横向场分布便趋于稳定，分布不再受衍射的影响。布便趋于稳定，分布不再受衍射的影响。 特点特点2：场分布在腔内往返传播一次后能够场分布在腔内往返传播一次后能够“再现再现”出来，反射只改出来，反射只改变光的强度大小，而不改变光的强度分布。变光的强度大小，而不改变光的强度分布。 这种稳态场经一次往返后，唯一的变化是，镜面上各点的场振幅按这种稳态场经一次往返后，唯一的变化是，镜面上各点的场振

4、幅按同样的比例衰减，各点的相位发生同样大小的滞后。这个稳定的横同样的比例衰减，各点的相位发生同样大小的滞后。这个稳定的横向场分布，就是激光谐振腔的向场分布，就是激光谐振腔的自再现模自再现模。 4图图(3-2)所示为一个圆形镜的平行平面腔，镜面所示为一个圆形镜的平行平面腔，镜面 和和 上分别建立了坐上分别建立了坐标轴两两相互平行的坐标标轴两两相互平行的坐标 和和 。利用上式由镜面。利用上式由镜面 上的光场分上的光场分布可以计算出镜面布可以计算出镜面M上的场分布函数，即任意一个观察点的光场强度。上的场分布函数，即任意一个观察点的光场强度。自再现模积分方程自再现模积分方程图3-2 镜面上场分布的计算

5、示意图 假设假设 为经过为经过q次渡越后在某一镜面上次渡越后在某一镜面上所形成的场分布，所形成的场分布， 表示光波经过表示光波经过q+1次次渡越后，到达另一镜面所形成的光场分布，则渡越后，到达另一镜面所形成的光场分布，则 与与 之间应满足如下的迭代关系：之间应满足如下的迭代关系： ) , (yxuq1ququ),(1yxuq)cos1 () , (4),(1dseyxuikyxuMikqq 考虑对称开腔的情况，按照自再现模的概念，除了一个表示振幅衰减和考虑对称开腔的情况，按照自再现模的概念，除了一个表示振幅衰减和相位移动的常数因子以外，相位移动的常数因子以外， 应能够将应能够将 再现出来，两者

6、之间应有关系：再现出来，两者之间应有关系： 1ququqquu1MMyx yx MM5 其中其中 ，称为积分方程的核。，称为积分方程的核。 综合上两式可得综合上两式可得自再现模积分方程自再现模积分方程(续续)cos1 () , (4),()cos1 () , (4),(dseyxuikyxudseyxuikyxuikMikMqq 简化：简化：对于一般的激光谐振腔来说，腔长对于一般的激光谐振腔来说，腔长L与反射镜曲率半径与反射镜曲率半径R通常都通常都远大于反射镜的线度远大于反射镜的线度a，而，而a又远大于光波长又远大于光波长 。对上式做两点近似可得。对上式做两点近似可得到自再现模所满足的积分方程

7、到自再现模所满足的积分方程： ) , () , ,(),(dsyxuyxyxKyxuqmnmn) , ,() , ,(2) , ,(yxyxikyxyxikeLieLikyxyxK 和和 的下标表示该方程存在一系列的不连续的本征函数解与本征的下标表示该方程存在一系列的不连续的本征函数解与本征值解，这说明在某一给定开腔中，可以存在许多不同的自再现模。值解，这说明在某一给定开腔中，可以存在许多不同的自再现模。 mnumn6积分方程解的物理意义积分方程解的物理意义本征函数本征函数 和激光横模和激光横模本征函数本征函数 的模代表对称开腔任一镜面上的光场的模代表对称开腔任一镜面上的光场振幅振幅分布，幅角

8、则分布，幅角则 代表镜面上光场的代表镜面上光场的相位相位分布。分布。它表示的是在激光谐振腔中存在的稳定的横向场分布，就是自再现模，它表示的是在激光谐振腔中存在的稳定的横向场分布，就是自再现模，通常叫做通常叫做“横模横模”，m、n称为横模序数。称为横模序数。mnumnu图3-3 横模光斑示意图 用用TEMmnq来表示激光模式，来表示激光模式，TEM代表横电磁波代表横电磁波(transverse electro-magnetic wave)的简写，的简写，m、n分别代表在截面的分别代表在截面的x、y轴方向出现的节线轴方向出现的节线数，为横模序数；数，为横模序数；q代表在代表在z轴上出现的节线数，为

9、纵模序数轴上出现的节线数，为纵模序数7 损耗包括衍射损耗和几何损耗，但主要是衍射损耗，称为单程衍射损损耗包括衍射损耗和几何损耗，但主要是衍射损耗，称为单程衍射损耗，用耗，用 表示。定义为表示。定义为 本征值本征值 和单程衍射损耗、单程相移和单程衍射损耗、单程相移本征值本征值 的模反映了自再现模在腔内单程渡越时所引起的功率损耗的模反映了自再现模在腔内单程渡越时所引起的功率损耗.mnmn2122121mnmnqqqqquuuuu本征值幅角与自再现模腔内单程渡越后所引起的总相移有关。本征值幅角与自再现模腔内单程渡越后所引起的总相移有关。 qqqquuuuargargarg11自再现模在对称开腔中单程

10、渡越所产生的总相移定义为自再现模在对称开腔中单程渡越所产生的总相移定义为 argargarg1qquu 自再现模在对称开腔中的单程总相移一般并不等于由腔长自再现模在对称开腔中的单程总相移一般并不等于由腔长L所决定的几所决定的几何相移，它们的关系为何相移，它们的关系为 mnmnkLkLargarg83.1.3 光学谐振腔谐振频率和激光纵模光学谐振腔谐振频率和激光纵模 谐振条件、驻波和激光纵模谐振条件、驻波和激光纵模 光波在腔内往返一周的总相移应等于光波在腔内往返一周的总相移应等于2 的整数倍，即只有的整数倍，即只有某些特定频率的光才能满足谐振条件某些特定频率的光才能满足谐振条件 每个每个q值对应

11、一个驻波，称之为：纵模，值对应一个驻波，称之为：纵模，q为纵模序数。为纵模序数。 谐振腔的谐振频率主要决定于纵模序数。谐振腔的谐振频率主要决定于纵模序数。1,2,3, 22qqLqcLcLqcckqkLmnmnq2222229纵模频率间隔纵模频率间隔腔内两个相邻纵模频率之差称为纵模的频率间隔腔内两个相邻纵模频率之差称为纵模的频率间隔 举例举例1：10cm腔长的腔长的He-Ne激光器可能出现的纵模数激光器可能出现的纵模数 （一种，单纵模）（一种，单纵模） 举例举例2：30cm腔长的腔长的He-Ne激光器可能出现的纵模数激光器可能出现的纵模数（三种，多纵模）（三种，多纵模）LcLcLqcqqqmn

12、mnq2221图(3-4) 腔中允许的纵模数103.2.1 共焦腔镜面上的场分布共焦腔镜面上的场分布方形镜面共焦腔自再现模积分方程的解析解方形镜面共焦腔自再现模积分方程的解析解 (1) (1) 设方镜每边长为设方镜每边长为2a，共焦腔的腔长为，共焦腔的腔长为L，光波波长为，光波波长为 ，并把，并把x，y坐坐标的原点选在镜面中心而以标的原点选在镜面中心而以( (x，y) )来表示镜面上的任意点，则在近轴情来表示镜面上的任意点，则在近轴情况下，积分方程有本征函数近似解析解况下，积分方程有本征函数近似解析解 LyYLxXeYHXHCuYXnmmnmn2,2;)()(222其中本征值近似解本征值近似解

13、2)1(nmkLimneHm(X)和和Hn(Y)均为厄密多项式，其表示式为：均为厄密多项式，其表示式为：1)(0XHXXH2)(124)(22XXH2) 1()(XmmXmmedXdeXH11镜面上自再现模场的特征镜面上自再现模场的特征 振幅分布振幅分布:令令 ,则有则有图图(3-5)(3-5)画出了画出了m m = 0= 0，1 1，2 2和和n n = 0= 0，1 1的的 的变化曲线，的变化曲线，同时还画出了相应的光振动的镜面光强分布同时还画出了相应的光振动的镜面光强分布 2222)()(,)()(YnnXmmeYHYFeXHXF)()()()(222YFXFuIYFXFCunmmnmn

14、nmmnmnYYFXXFnm)()(及图(3-5) 的变化曲线及相应的光强分布YYFXXFnm)()(及 激光模式的符号：激光模式的符号：TEMmnq，TEM00是基横模是基横模。 m、n的数值正好分别等的数值正好分别等于光强在于光强在x，y方向上的节方向上的节线线(光强为零的线光强为零的线)数目，数目，而且而且m、n的数值越大，光的数值越大，光场也越向外扩展。场也越向外扩展。 12振幅分布振幅分布: 基横模基横模TEM00场分布为：场分布为： 镜面上基模的镜面上基模的“光斑有效截面半径光斑有效截面半径”镜面上自再现模场的特征镜面上自再现模场的特征(续续)LyxeCu220000Lyxsss2

15、2 相位分布相位分布: : 共焦腔反射镜面本身构成光场的一个等相位面。共焦腔反射镜面本身构成光场的一个等相位面。 单程衍射损耗：单程衍射损耗：一般忽略不计，但是在讨论激光器单横模一般忽略不计，但是在讨论激光器单横模的选取时必须考虑单程衍射损耗的选取时必须考虑单程衍射损耗 13镜面上自再现模场的特征镜面上自再现模场的特征(续续)单程相移与谐振频率：单程相移与谐振频率：共焦腔的频率间隔：共焦腔的频率间隔：共焦腔谐振频率的简并性：共焦腔谐振频率的简并性： 只要保证只要保证（2q+m+n+1）不变不变, ,对应的谐振频率是对应的谐振频率是可以相同的可以相同的. .圆形镜共焦腔：圆形镜共焦腔：(1)2(

16、1)2arg1(1)2222mnmnmnmnqi kLm nmnqmnmnmnkLcqmnqccLeLL 22qnmqLc图(3-6) 方形镜共焦腔的振荡频谱1(21)22mnqcqmnL143.2.2 共焦腔中的行波场与腔内外的光场分布共焦腔中的行波场与腔内外的光场分布 腔内的光场腔内的光场: 可以通过基尔霍夫衍射公式计算由镜面可以通过基尔霍夫衍射公式计算由镜面M1上上的场分布在腔内造成的行波求得，行波被反射镜的场分布在腔内造成的行波求得，行波被反射镜M2反射产生反射产生传播方向相反的另一列行波，两列行波在腔内迭加成驻波。传播方向相反的另一列行波，两列行波在腔内迭加成驻波。 腔外的光场腔外的

17、光场: 则就是腔内沿一个方向传播的行波透过镜面则就是腔内沿一个方向传播的行波透过镜面的部分。即行波函数乘以镜面的透射率的部分。即行波函数乘以镜面的透射率t。求空间场分布的关键是：求空间场分布的关键是：求出镜面场分布生成的行波在任求出镜面场分布生成的行波在任意空间点的表达式。意空间点的表达式。 153.2.2 共焦腔中的行波场与腔内外的光场分布共焦腔中的行波场与腔内外的光场分布 如图如图3-7所示，将镜面场分布代入基尔霍夫衍射公式可得：所示，将镜面场分布代入基尔霍夫衍射公式可得：图3-7 计算腔内外光场分布的示意图zyxiwyxywHxwHCzyxussnsmmnmn,exp12exp 2122

18、12,222222Lz2222( , , )(1)21(1)()2mnLxyx y zkLmn12arctanarctan12LzLz16 当场振幅为轴上当场振幅为轴上( )的值的的值的e-1倍，即强度为轴上的值的倍，即强度为轴上的值的e-2倍时，倍时，所对应的横向距离所对应的横向距离 即即z 处截面内基模的有效截面半径为；处截面内基模的有效截面半径为； 022 yx3.3.1 高斯光束的振幅和强度分布高斯光束的振幅和强度分布基横模基横模TEM00的场振幅的场振幅U00和强度和强度I00分布分别为：分布分别为：22220012expsyxU22222000014expsyxUIz)2(1 2)

19、(41212)(222222LzLzLyxLzzsssss 在共焦腔中心在共焦腔中心(z0)的截面内的光斑有极小值，称为高斯光束的束腰半的截面内的光斑有极小值，称为高斯光束的束腰半径径 Ls21210173.3.1 高斯光束的振幅和强度分布高斯光束的振幅和强度分布(续续)用束腰半径表示的形式用束腰半径表示的形式22220222200002( )1 () 2( )1 ()1()1122sLzzzzLzL图(3-8) 基模光斑半径随z按双曲线规律的变化 基模光斑半径基模光斑半径 随随 z 按双曲线规律变化：按双曲线规律变化：( )z183.3.2 高斯光束的相位分布高斯光束的相位分布 随坐标而变化

20、，与腔的轴线相交于随坐标而变化，与腔的轴线相交于 点的等相位面的方程为点的等相位面的方程为 ),(zyx0z 00222222022122212212)2)(1()2(12)21 (2),(), 0 , 0(),(zLzLkzLyxLzLzLzLknmLyxLzLzLzLkzyxzzyx 忽略由于忽略由于z变化引起的变化引起的 的微小变化，用的微小变化，用 代替代替 ，则在腔轴附近有，则在腔轴附近有 )(0z)(z2202221zxyLzzLzL 0222222000221212zxyxyLLzLzLz 193.3.2 高斯光束的相位分布高斯光束的相位分布(续续)令令 ，则有：，则有：)2(1

21、 2000zLzR02220020220022012RyxRRRyxRRyxzz2002220RzzyxR 表明等位相面在近轴区域可看成半径为表明等位相面在近轴区域可看成半径为R R0 0的球面的球面2002220RzzyxR203.3.2 高斯光束的相位分布高斯光束的相位分布(续续)由式子由式子 可知：当当z z0 00 0时，时，z-zz-z0 00 0；而当；而当z z0 00 0时时, z-z, z-z0 00 0 2202221zxyLzzLzL 0222222000221212zxyxyLLzLzLz 当LfzRLfz2)(200时，当当)(;)(00000zRzzRz时，时，共焦腔反射镜面是共焦场中曲率最大的等相位面共焦腔反射镜面是共焦场中曲率最大的等相位面 共焦场中等相位面的分布如共焦场中等相位面的分布如图图(3-