高中数学解析几何解题方法

1、高 考 专 题解 析 几 何 常 规 题 型 及 方 法A:常规题型方面1中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法点差法：设曲线上两点为x-yj，X22， 代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。2典型例题给定双曲线X2壬1。过A2，1的直线与双曲线交于两点 R 及P2，求线2段R P2的中点P的轨迹方程。分析：设RX1,yj， P2X2,y2代入方程得 xf2如彳221，x22里1。2两式相减得(X1X2)(X11X2)(Y1 Y2)(Y12y2 0。又设中点P(x,y )，将 X1X22X，y1y22y代入，当X1X2时得2x空也虽0。2 捲 x2又k厘上丄

2、，X! x2 x 2代入得 2x2 y2 4x y 0。当弦P1P2斜率不存在时，其中点 P 2，0的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程是2x2 y2 4x y 0说明：此题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。2焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点 P,与两个焦点F1、F2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。2 2典型例题 设Px,y为椭圆令 占1上任一点，F1 c,0， F2c,0为焦点，PF1F2a b(1)求证离心率esin( )； sin sin(2)求IPFPF2I3的最值分析：(1)设 |PF1| r1 , |PF2由正弦定理得sin2sin2csin( )12s

3、in sin2csin( )(2) (a ex)3 (a ex)3 2a3 6ae2x2。当x 0时，最小值是2a3;当xa时，最大值是 2a3 6e2 a3(3) 直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的根本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的方法典型例题抛物线方程y p(x 1) (p 0)，直线x y t与x轴的交点在抛物线准线的右边。(1) 求证：直线与抛物线总有两个不同交点(2) 设直线与抛物线的交点为 A、B，且OAL OB求p关于t的函数f(t)的表达式(1)证明：抛物线的准线为1： x1 p4由直线x+y=t与x轴的交点(t，0)

4、在准线右边，得 t 1卫，而4t p 4 04故直线与抛物线总有两个交点。(2)解：设点 A(X1, yj，点 Bg y2)(4) 圆锥曲线的有关最值(范围)问题圆锥曲线中的有关最值(范围)问题，常用代数法和几何法解决。<1>假设命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。<2>假设命题的条件和结论表达明确的函数关系式，那么可建立目标函数(通常利用二次函数, 三角函数，均值不等式)求最值。典型例题2 、 .抛物线y=2px(p>0)，过M(a,0 )且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点 A B,|AB| < 2p(1)求a的取值范围；(2

5、)假设线段AB的垂直平分线交x轴于点汕求厶NAB面积的最大值。分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于(1),可以设法得到关于a的不等式,通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式。或者将a表示为另一个变量的函数， 利用求函数的值域求出 a的范围；对于(2)首先要把厶NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值，即：“最值问题，函数思想。解：(1)直线L的方程为：y=x-a,将y=x-a代入抛物线方程y2=2px,得：设直线L与抛物线两交24(a p) 4a 0点的坐标分别为 A (X1,y 1) ,B(x 2,y 2)，贝U x1 x2 2(a p),又 y1=X1-a

6、,y 2=X2-a, 论 x2 a2解得: 设AB的垂直平分线交 AB与点Q令其坐标为(X3,y3)，那么由中点坐标公式得:X1 X2y1 y (X1 a) (x? a)x32 a p，ysp.所以 |QM|2=(a+p-a) 2+(p-0) 2=2p2.又 MNQ为等腰直角三角形，所以 |QM|=|QN|= . 2P，所以 &厂rnae=丄 I AB | | QN | p | AB | p 2p . 2 p2,即厶 NAE面积的最大值为-2P2。2 2 2(5) 求曲线的方程问题1.曲线的形状 这类问题一般可用待定系数法解决。典型例题直线L过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在 x轴正

7、半轴上。假设点 A (-1，0)和点B(0，8)关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。分析：曲线的形状，可以用待定系数法。2设出它们的方程，L： y=kx(k丰0),C:y =2px(p>0)设A、B关于L的对称点分别为A、E，那么利用对称性可求得它们的坐标分别为：2 2A(J, 壬),(単,8(k厂)0因为A B均在抛物线上，代入，消去P,得：k2-k-1=0.k 1 k 1k 1 k 1解得：k=!5,p=.5所以直线L的方程为：y=!5x,抛物线C的方程为y2二倬x.52.曲线的形状未知-求轨迹方程典型例题直角坐标平面上点 Q(2, 0)和圆C: x2+y2=1,动点M

8、到圆C的切线长与|MQI的比等于常数(说明它是什么曲线。M分析：如图，设MN切圆C于点N,那么动点M组成的集合是:>0),求动点M的轨迹方程,P=M|MN|=|MQ|，由平面几何知识可知:|MN|2=|MO|2-|ON| 2=|MO|2-1，将 M点坐标代入，可得：(2-1)(x2 2222+y2)-42x+(1+4 2)=0.当=1时它表示一条直线；当工1时，它表示圆。这种方法叫做直接法。(6) 存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称冋题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。(当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决)典型例

9、题椭圆C的方程2 2T七1，试确定m的取值范围，使得对于直线y 4x m，椭圆C上有不同两点关于直线对称。分析：椭圆上两点(xyj，(x2, y2)，代入方程，相减得 3(x1 x2)(x1 x2)4( y1 y2)(y1 y?)y1y22k y1y2x1x24，代入得 y 3x 0又由y 3xy 4x解得交点(mm, 3m) o2 2交点在椭圆内，那么有(也匚四-431，得 Um132 13。13(7) 两线段垂直问题圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用k1 k2Ix1 x21来处理或用向量的坐标运算来处理。典型例题直线I的斜率为k，且过点P(2,0),抛物线C：y24(x 1)，直线I与抛物

10、线C有两个不同的交点(如图)。(1)求k的取值范围;点连线互相垂直。(2)直线I的倾斜角分析：(1)直线y(2)由上面方程得由 0，得1 karctan 2 或2arctaQ2222 2 2 2 k x (4k4)x 4k2y2k(X1 2)(X2抛物线C的焦方程得.2由k k 业 由 kOAkOB2k 1X1 X21，得kB:解题的技巧方面在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求的策略，往往能够减少计算量。下面 举例说明：(1)充分利用几何图形解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时

11、，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量典型例题设直线3x 4y m 0与圆x2 y2 x 2y 0相交于P、Q两点，O为坐标原点，假设OP OQ，求m的值。解： 圆x2 y2 x 2y 0过原点，并且OP OQ，PQ是圆的直径，圆心的坐标为 M 1，121又 M ， 1在直线 3x 4y m 0上,23 丄4 1 m 0, m5即为所求。2 2评注：此题假设不充分利用一系列几何条件：该圆过原点并且OP OQ，PQ是圆的直径，圆心在直线3x 4y m 0上，而是设Px1，y1、Qx2，y2再由OP OQ和韦达定理求 m ,将会增大运评注：此题假设不能挖掘利

12、用几何条件OMP 90，点M是在以OP为直径的圆周上，而利用参数方程等方法，计算量将很大，并且比拟麻烦。二.充分利用韦达定理及“设而不求的策略我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点 等问题中常常用到典型例题中心在原点O,焦点在y轴上的椭圆与直线y x 1相交于P、Q两点，且OPOQ，|PQ|于，求此椭圆方程。解：设椭圆方程为ax2 by21a b 0，直线y x 1与椭圆相交于卩捲，yj、，必两占八、y x 1由方程组：2 by21消去y后得由 kOP kOQ1，得 y1 y2X1X2又P、Q在直线y x 1 上,把(1)代入，得 2x1x2 (x1

13、x2) 1 0 ,化简后，得由 |PQ|(4)J0，得(Xi2X2)2 (yi y?)2把2代入，得4b2 8b 3 0，解得b代入4后，解得a -或a -2 23i由 a b 0，得 a -，b 一。2222所求椭圆方程为仝12 2评注：此题充分利用了韦达定理及“设而不求的策略，简化了计算。充分利用曲线系方程利用曲线系方程可以防止求曲线的交点，因此也可以减少计算。典型例题求经过两圆G： x2 y2 4x 2y 0和C2: x2 y2 2y 4 0的交点，且圆心在直线I : 2x 4y 10上的圆的方程。解：设所求圆的方程为：即1 x2 1y2 4x 21 y 40，其圆心为C 丄，11 1又

14、C在直线I上，2 丄 4 1 0，解得-，代入所设圆的方程得113x2 y2 3x y 10 为所求。评注：此题因利用曲线系方程而防止求曲线的交点，故简化了计算。四、充分利用椭圆的参数方程椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题这也是我们常说的三角代换法。2 2典型例题P为椭圆令 占1上一动点，A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，求四边形OAPBa b面积的最大值及此时点 P的坐标。五、线段长的几种简便计算方法 充分利用现成结果，减少运算过程一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程 y kx b代入圆锥曲线方程中，得到型如ax2 bx c 0的方程，方程的两根设为 xA，xB，判别式为，那么 |AB| .1 k2 |Xa Xb| . 1 k2 -仝，假设直接用结论，能减少配方、幵方等运算过程。|a|例 求直线x y 10被椭圆x2 4y21