高三数学一轮复习必备精品：函数模型应用高三数学一轮复习必备精品共讲全部免费欢迎下载

1、第 7 讲 函 数 模 型 应 用备注：【高三数学一轮复习必备精品共42讲全部免费欢送下载】一. 【课标要求】1利用计算工具，比拟指数函数、对数函数以及幕函数增长差异；结合实例体会直线 上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；2.收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幕函数、分段函 数等)的实例，了解函数模型的广泛应用。二. 【命题走向】函数应用问题是高考的热点，高考对应用题的考察即考小题又考大题， 而且分值呈上升 的趋势。高考中重视对环境保护及数学课外的的综合性应用题等的考察。出于“立意和创 设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考

2、察，加大函 数应用题、探索题、开放题和信息题的考察力度，从而使高考考题显得新颖、生动和灵活。预测2021年的高考，将再现其独特的考察作用，而函数类应用题，是考察的重点，因 而要认真准备应用题型、探索型和综合题型，加大训练力度，重视关于函数的数学建模问题， 学会用数学和方法寻求规律找出解题策略。(1) 题型多以大题出现，以实际问题为背景，通过解决数学问题的过程，解释问题；(2) 题目涉及的函数多以根本初等函数为载体，通过它们的性质(单调性、极值和最 值等)来解释生活现象，主要涉计经济、环保、能源、健康等社会现象 三. 【要点精讲】1解决实际问题的解题过程(1) 对实际问题进行抽象概括：研究实际问

3、题中量与量之间的关系，确定变量之间的 主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；(2) 建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型 一般都是函数的解析式；(3) 求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函 数知识求得函数模型的解，并复原为实际问题的解 这些步骤用框图表示：实际问题抽象概 亠函数应用问题应着重培养下面一些能力(1)阅读理解、整理数据的能力：通过分析、画 据之间的关系，数据的单位等等；数模型的能力：关键是正确选择自变量将 数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相竺2.解决函数(2)建立函函数模型运函、列表、归类等方

4、法，快速弄清数 数 性.问题的目标表示为这个变量的函 等关系列出函数式， 函数模型的解注意不要忘记考察函数的定义域；(3)求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值, 计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用-四.【典例解析】题型1:正比例、反比例和一次函数型例(1) (2021山东卷理)(本小题总分值12分)两县城A和B相距20km,现方案在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为xkm,建在C处的垃圾处理厂对城 A 和城B的总影响度

5、为y,统计调查说明：垃圾处理厂对城 A的影响度与所选地点到城 A的 距离的平方成反比，比例系数为 4;对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反 比，比例系数为k,当垃圾处理厂建在""的中点时，对城A和城B的总影响度为.(1)将y表示成x的函数;(11)讨论(1)中函数的单调性，并判断弧 厂对城A和城B的总影响度最小？假设存在，上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理 求出该点到城A的距离;假设不存在，说明理由。8(400 x2)2,即160,即 x4 10 ,当 0 x 4.10 时，18x4x2)2,所以 x2418x8(400y' 0所以函数为单调减函数，当x

6、 20 时，18x4 8(400 x2)2,即 y'0所以函数为单调增函数.所以当x 4.10时，即当C点到城A的距离为时，函数y -29 (0 x 20)有最小值.x 400 x解法二：(1)同上.(2)设 m x2,n 400 x2,那么 m n 400, y - 9,所以 m n4949 m n 14n9m 114n9my()13 ()(13 12) 当且仅当即mnmn 400400mn40016m nn 240时取=.m 160下面证明函数y -9 在(0,160)上为减函数，在(160,400)上为增函数.m 400 m设 0<m<m<160,贝U % y2

7、 9 (9)叶 400 叶m2 400 m2(m2 m1) 口应 (400 m1)(400 m2)/、4(400 m, )(400 m2) 9m1m2(m2 mJmim2(400mi)(400 m2)因为 0<m<mv160,所以 4(400 m1 )(400m2) >4X 240X 2409 m1m<9X 160X 160 所以 4(400 讪400m2) 9m1m2m1m2(400 m1)(400 m2)0,所以(m2 m1)4(400 m1 )(400 m2) 9m1m2m1 m2 (400 m, )(400 m2)0即y1y2函数y9一 在(0,160)上m 4

8、00 m为减函数.同理，函数y-9一 在(160,400)上为增函数，设 160vm<mv400,那么m 400 m400 m1m24(400 m1 )(400 m2) 9口和2)(m2 m1)m2m1m2 (400 g )(400 mJ因为 1600<m<mv400,所以 4(400m1)(400m2) <4X 240X 240,9mrm>9X 160X 160所以0,4(400 m1 )(400 m2) 9m1m2m1m2(400 mj(400 m2)所以(m2 m1)4(400 m1)(400 m2) 9m1m20 即 y y2 函数 y 土在(160,40

9、0)m1 m2 (400 m )(400 m2)m 400 m上为增函数.所以当m=160即x 4.10时取=,函数y有最小值,所以弧丁上存在一点，当X 4.10时使建在此处的垃圾处理厂对城 A和城B的总影响度 最小.【命题立意】：此题主要考查了函数在实际问题中的应用，运用待定系数法求解函数解析式 的能力和运用换元法和根本不等式研究函数的单调性等问题.(2).某地区1995年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行 了连续5年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给的信息进行预测：(1) 如果不采取任何措施，那么到 2021年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少

10、万公顷；(2) 如果从2000年底后采取植树造林等措施，每年改造万公顷沙漠，那么到哪一年年底该 地区沙漠面积减少到90万公顷？观测时间1996 年1997 年1998 年1999 年2000 年底底底底底该地区沙漠比原有面 积增加数(万公顷)解析：(1)由表观察知，沙漠面积增加数 y与年份数x之间的关系图象近似地为一次函数y=kx+b的图象.将 x=i，丫=与 x=2，y=，代入 y=kx+b，求得 k=，b=0,所以 y= (x N)。因为原有沙漠面积为95万公顷，那么到2021年底沙漠面积大约为95+X 15=98 (万公顷)。(2)设从1996年算起，第x年年底该地区沙漠面积能减少到 9

11、0万公顷，由题意得95+ (x 5)=90，解得x=20 (年)。故到2021年年底，该地区沙漠面积减少到 90万公顷。点评：初中我们学习过的正比例、反比例和一元一次函数的定义和根本性质，我们要牢 固掌握。特别是题目中出现的“成正比例、“成反比例等条件要应用好例2. (2021湖南卷理)(本小题总分值13分)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的 桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2 . x)x万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因 素，记余下工程的费用为y万元。(I) 试写

12、出y关于x的函数关系式；(U)当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解(I)设需要新建n个桥墩，(n 1)x m,即n=m 1x所以 y=f(x)=256n+(n+1)(2+- x)x=256( m -1)+ m (2 . x)xx x33256 m 1m(U)由(I)知，f'(x)2mx22 (x2 512).x22x3令 f'(x)0，得 x2512，所以 x=64当0<x<64时f'(x)<0，f (x)在区间(0，64)内为减函数；当64 x 640时，f'(x)>0. f(x)在区间(64，640)内为增函数，所以f

13、(x)在x=64处取得最小值，此时，n - 1 -640 1 9.x 64故需新建9个桥墩才能使y最小-题型2:二次函数型例3.辆中型客车的营运总利润y (单位：万元)与营运年数x (x N)的变化关系如 表所示，那么客车的运输年数为()时该客车的年平均利润最大(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7x年468y ax2 bx c (万元)7117解析：表中已给出了二次函数模型y ax2 bx c由表中数据知，二次函数的图象上存在三点(4, 7),( 6, 11),( 8, 7),那么27 a 4 b 4 c,11 a 62 b 6 c,27 a 8 b 8 c.。解得 a= 1, b=

14、12, c=-25 ,2即 y x 12x 25 025x 一而取“二的条件为x ,即x=5,应选(B)o点评：一元二次函数是高中数学函数中最重要的一个模型，解决此类问题要充分利用二 次函数的结论和性质，解决好实际问题。例4.( 2021福州八中)某造船公司年造船量是 20艘，造船x艘的产值函数为R(x)=3700x+45x2-10x3 (单位：万元)，本钱函数为 C(x)=460x+5000 (单位：万元)， 又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x) o(I)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x);(提示：利润=产值本钱)(U)问年造船量安排

15、多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(川)求边际利润函数 MP(x)单调递减时x的取值范围，并说明单调递减在此题中的实际意 义是什么？32*解(I) P(x)=R(x)-C(x)=-10x+45x+3240x-5000,(x N,且 K x < 20);MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x 2+60x+3275, (x N,且 1<x< 19)(H) P(x) 30x2 90x 3240 30(x 12)(x 9).当 0v XV 12 时 P(x)>0,当 x v 12 时，P(x)v 0. x=12, P (x)有最大值.即年造船量安排12艘时，可使公司造船

16、的年利润最大. (m)v MP(x) =-30x2+60x+3275=-30(x-1) 2+3305,所以，当x> 1时，MP(x)单调递减，x的取值范围为1,19，且x 2MP(x)是减函数的实际意义：随着产量的增加，每艘船的利润在减少.例5.( 2021湖南理21.)函数f(x) -x4 x3 9 x2 cx有三个极值点-42(I )证明：27 c 5;(II )假设存在实数c，使函数f (x)在区间a,a 2上单调递减，求a的取值范围解：(I )因为函数f(x) 1 x4 x3 9 x2 cx有三个极值点，42所以f (x) x3 3x2 9x c 0有三个互异的实根.设 g(x)

17、 x 3x 9x c,那么 g (x) 3x 6x 93(x 3)(x 1),当x 3时，g (x)0, g(x)在(，3)上为增函数；当3 x 1时，g (x) 0, g(x)在(3,1)上为减函数；当x 1时，g (x) 0, g(x)在(1,)上为增函数；所以函数g(x)在x 3时取极大值，在x 1时取极小值当g( 3)0或g0时，g(x) 0最多只有两个不同实根.因为g(x) 0有三个不同实根，所以g( 3) 0且g(1) 0.即 27 27 27 c 0,且 1 3 9 c 0,解得c 27,且c 5,故27 c 5.(II )由(1)的证明可知，当 27 c 5时，f(x)有三个极

18、值点.不妨设为x1，x2,X3(X1X2X3)，贝U f (x) (xxj(xX2)(XX3).所以f (x)的单调递减区间是(，x1, x2,x3假设f(x)在区间a,a 2上单调递减，贝U a,a 2(，xj,或 a,a 2 凫必,假设 a,a 2(，x1,那么 a 2 x1.由(I )知，x13,于是 a 5.假设 a, a 2x2,x3,那么 a x2 且 a 2 x3.由I 知，3 x2 1.又 f (x) x3 3x2 9x c,当 c 27时，f (x) (x 3)(x 3)2;当 c 5 时，f (x) (x 5)(x 1)2.因此，当27 c 5时，1 X3 3.所以a3,且

19、 a 2 3.即3 a 1.故a 5,或3 a 1.反之,当a 5,或3 a 1时，总可找到c ( 27,5),使函数f (x)在区间a,a 2上单调递减.综上所述,a的取值范围是(，5)U( 3,1).题型3:分段函数型例6.( 2021福建省)某企业原有员工 2000人，每人每年可为企业创利润万元.为应对国 际金融危机给企业带来的不利影响，该企业实施“优化重组，分流增效的策略，分流出一部 分员工待岗.为维护生产稳定，该企业决定待岗人数不超过原有员工的5% ,并且每年给每位待岗员工发放生活补贴万元.据评估,当待岗员工人数x不超过原有员工1%时,留岗员工每 人每年可为企业多创利润(1-旦)万元

20、；当待岗员工人数x超过原有员工1%时,留岗员工 100x每人每年可为企业多创利润万元.为使企业年利润最大，应安排多少员工待岗？解设重组后，该企业年利润为y万元. 2000X 1%=20,二当 0<xW20 且 x N 时，81324y=(2000-x)+1-)=-5(x+ 324)+.100xx x< 2000X 5% x< 100, A 当 20<x< 100 且 x N 时，y=(2000-x)+=+8919.5(x 竺)9000.81, (0 x 20且x N),-yx4.9595x 8919,(20 x 100且 x N).当0<xW 20时,有y=

21、-5(x+ 324)+ < -5 X 2 324 +=,x当且仅当x=324,即x=18时取等号，此时y取得最大值.x当20<xW 100时，函数y=+8919为减函数,所以 y<X 20+8919=.综上所述x=18时,y有最大值万元.即要使企业年利润最大，应安排18名员工待岗.例 7.( 2021 广东，17)(本小题总分值12分)某单位用2160万元购得一块空地，方案在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房经测算，如果将楼房建为x(x> 10)层，那么每平方米的平均建筑费用为 560+4& (单位：元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，

22、该楼房应建为多少层？ (注：平均综合费用二平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用二 购地总费用)建筑总面积【解析】设楼房每平方米的平均综合费为 f (x)元，那么,令 f x 0 得 x 1515层。r “ 10800f x 48x当 x 15 时，f x 0 ;当 0 x 15 时，f因此当x 15时，f (x)取最小值f 152000;答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为点评：此题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大 值的问题.考查运用所学知识解决实际问题的能力.题型4:三角函数型例8某港口水的深度y(m)是时间t (0<t <24,单位：h) 的函数，

23、记作y=f(t)。下面是某日水深的数据：t/h03691215182124y/m经长期观察，y=f(t)的曲线可以近似地看成函数y=Asint+b的图象。(1)试根据以 上数据求出函数y=f(t)的近似表达式；(2) 一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离 为5m或 5m以上时认为是平安的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)。某船吃水深度(船 底离水面的距离)为，如果该船希望在同一天内平安进出港，请问，它最多能在港内停留多 少时间(忽进出港所需的时间)？2 _126，b=10,解析：题中直接给出了具体的数学模型，因此可直接采用表中的数据进行解答A 33(1)由表中数据易得2 ，周期T=12,

24、所以 y 3Siin 6 t 10 o(2) 由题意，该船进出港时，水深应不小于5+=( m ,所以3Sin 6t1011.556 ,(k Z)osi n t化为 62kt 2k应有 66解得 12k+1w t < 12k+5在同一天内取k=0或1,所以 Kt <5 或 13<t < 17,所以该船最早能在凌晨1时进港，最晚在下午17时出港，在港口内最多停留16个小时 点评：三角型函数解决实际问题要以三角函数的性质为先，通过其单调性、周期性等性 质解决实际问题。特别是与物理知识中的电压、电流、简谐振动等知识结合到到一块来出题， 为此我们要对这些物理模型做到深入了解题型5

25、:不等式型0.1 15l n-,(x6)例9.( 2021年上海卷理)有时可用函数f (x)a xx 4.4 (,(x 6)x 4描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数(x N ) ， f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数 a与学科知识有关。(1) 证明当x 7时，掌握程度的增加量f(x 1) f (x)总是下降；(2) 根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为0.4(x 3)(x 4)(115,121, (121,127, (121,133。当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%请确定相应的学科。证明(1)当 x 7时，f (x 1) f (x)而当x

26、7时，函数y (x 3)(x 4)单调递增，且(x 3)(x 4) >0.3分 故f (x 1) f (x)单调递减当x 7时，掌握程度的增长量f(x 1) f (x)总是下降 .6分(2)由题意可知+15l n Ja 6.9分0.05 解得a-005-e.13分e0.05-620.50 6123.0,123.0(121,1271由此可知，该学科是乙学科 .14分例10.( 2021湖北，文、理19)(本不题总分值12分)如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部 分)，这两栏的面积之和为18000cm2,四周空白的宽度为10cm,两栏之间的中缝空白的宽

27、度 为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？解法1:设矩形栏目的高为acm,宽为bcm,那么ab=9000.广告的高为a+20，宽为2b+25,其中a>0, b>0.广告的面积S= (a+20)(2 b+25)=2ab+40b+25a+500= 18500+25a+40b> 18500+2、25a ?40b =18500+ 1000ab24500.当且仅当25a= 40b时等号成立，此时b=5a ,代入式得a=120,从而b=75.8即当a=120，b=75时,S取得最小值24500.故广告的高为140cm,宽为175cm时，可使广告的面积最

28、小.解法2：设广告的高为宽分别为xcm ycm那么每栏的高和宽分别为x20，口5,其中x>220，y>25两栏面积之和为2(x 20) y 2518000,由此得y=l800025,2x 201800018000厂告的面积S=xy=x(25) =25x,x 20x 20整理得 S=36000025(x 20) 18500.x 20因为 x 20>0,所以 S>2 360000 25(x 20)1850024500.x 20当且仅当36000025(x 20)时等号成立，x 2018000 此时有(x 20)2 = 14400(x>20)，解得 x=140,代入 丫

29、二+鸟厶,得 y = 175，x 20即当x=140, y = 175时，S取得最小值24500,故当广告的高为140cm宽为175cm时，可使广告的面积最小.点评：此题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力。以及函数概念、性质和不等式证明的根本方法。题型6:指数、对数型函数例11 有一个湖泊受污染，其湖水的容量为V立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量。现假设下雨和蒸发平衡，且污染物和湖水均匀混合r用g(t) p g(0)卫evlp 0)，表示某一时刻一立方米湖水中所含污染物的克数(我们rr称其湖水污染质量分数)，g(0)表示湖水污染初始质量分数。(1) 当湖水污染质量分数为常数

30、时，求湖水污染初始质量分数；(2) 分析g(0)卫时，湖水的污染程度如何。r解析：(1)设 0 t1 t2 ,因为 g(t)为常数，g(tj g(t2)，即g(0) -eItv2e v 0，那么 g(0)-；r(2)设 0t1 t2，=g(o)-rtrtJ2 J1 e ert1 12ev因为 g(0)-0， 0 t1 t2， g(tj g(t2)。r污染越来越严重。点评：通过研究指数函数的性质解释实际问题。我们要掌握底数0 a 1,a 1两种基本情况下函数的性质特别是单调性和值域的差异，它能帮我们解释具体问题。譬如向题目 中出现的“污染越来越严重还是“污染越来越轻即由1个细胞例12 现有某种细胞100个，其中有占总数1的细胞每小时分裂一次，2分裂成2个细胞，按这种规律开展下去,经过多少小时，细胞总数可以超过io10个？(参考数据：lg3 0.477,lg 20.301).可见，细胞总数y与时间x (小时)之间的函数关系为:y 100由100 21010，得8108，两边取以10为底的对数,得