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文档简介

1、第三节 圆中比例线段与圆内接四边形、圆锥截线 三年三年1 1考考 高考指数高考指数: :内内 容容要要 求求A AB BC C相交弦定理,割线定理,切相交弦定理,割线定理,切割线定理割线定理 圆内接四边形的判定与性质圆内接四边形的判定与性质定理定理 1.1.圆中比例线段圆中比例线段(1)(1)相交弦定理:圆的两条相交弦,被交点分成两段的积相交弦定理:圆的两条相交弦,被交点分成两段的积 _ ._ .(2)(2)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这点到每条割线割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这点到每条割线与圆的交点的两条线段的积与圆的交点的两条线段的积 . .(3)(3)切割线定理:从圆外一

2、点引圆的一条割线与一条切线,切割线定理:从圆外一点引圆的一条割线与一条切线, 是这点到割线与圆的两个交点的线段的等比中项是这点到割线与圆的两个交点的线段的等比中项. .相等相等相等相等切线长切线长【即时运用】【即时运用】(1)(1)如图,如图,OO内两条相交弦内两条相交弦ABAB、CDCD交于交于M M,知,知ACACCMCMMDMD,MBMB AM AM1 1,那么那么OO的半径为的半径为 . .(2)(2)如图,如图,OO的弦的弦ABAB、CDCD相交于点相交于点P P,PA=4PA=4厘米,厘米,PB=3PB=3厘米,厘米,PC=6PC=6厘米,厘米,EAEA切切OO于点于点A A,AE

3、AE与与CDCD的延伸线交于点的延伸线交于点E E,AE= AE= 厘米,那么厘米,那么PEPE的长为的长为_._.2152【解析】【解析】(1)(1)由相交弦定理得由相交弦定理得CM=DM= = ,CM=DM= = ,又又AC=CM= AC=CM= 得得AC2+CM2=4=AM2,AC2+CM2=4=AM2,故故CC9090,从而从而ADAD为为OO的直径,且的直径,且 所以所以OO的半径为的半径为 AM BMg,1082AD .21022(2)(2)由相交弦定理,得由相交弦定理,得PAPB=PDPCPAPB=PDPC,443=PD63=PD6,PD=2(PD=2(厘米厘米).).由切割线定

4、理,得由切割线定理,得AE2=EDECAE2=EDEC, =ED(ED+2+6). =ED(ED+2+6).解得解得ED=2ED=2或或ED=-10(ED=-10(舍去舍去).).PE=2+2=4(PE=2+2=4(厘米厘米).).答案:答案:(1) (2)4(1) (2)4厘米厘米2)5(22102.2.圆内接四边形的性质定理与断定定理圆内接四边形的性质定理与断定定理(1)(1)性质定理:圆内接四边形对角性质定理:圆内接四边形对角 . .(2)(2)断定定理:假设四边形的断定定理:假设四边形的 ,那么此四边形内接于,那么此四边形内接于圆圆. .互补互补对角互补对角互补【即时运用】【即时运用】

5、(1)(1)如图甲,四边形如图甲,四边形ABCDABCD内接于内接于OO,那么,那么BODBOD . .(2)(2)如图乙,四边形如图乙,四边形ABCDABCD内接于内接于OO,ADBCADBC1212,ABAB3535,PDPD4040,那么过点,那么过点P P的的OO的切线长是的切线长是 . .(3)(3)如图丙,直线如图丙,直线ABAB和和ACAC与与OO分别相切于分别相切于B B、C C,P P为圆上一点,为圆上一点,P P到到ABAB、ACAC的间隔分别为的间隔分别为4 cm4 cm、6 cm6 cm,那么,那么P P到到BCBC的间隔的间隔为为 【解析】【解析】(1)(1)由图可知

6、由图可知A=70A=70, ,从而从而BOD=140BOD=140. .(2)(2)由四边形由四边形ABCDABCD内接于内接于OO得得PAD=PCB,PDA=PBC,PAD=PCB,PDA=PBC,所所以以PADPADPCBPCB,得,得PDPB=ADBC=12,PDPB=ADBC=12,由由PDPD4040和和ABAB3535得得PB=80,PA=45PB=80,PA=45,从而由切割线定理得过点从而由切割线定理得过点P P的的OO的切线长是的切线长是 =60. =60.(3)(3)连结连结DFDF,EFEF,PBPB,PCPC,PDAB,PFBC,PDAB,PFBC,PP、D D、B B

7、、F F四点共圆四点共圆,PDF=PBF, ,PDF=PBF, 80 45而而ACAC是是OO的切线的切线,PCE=PBF,PCE=PBF,PDF=PCE.PEAC,PFBC,PDF=PCE.PEAC,PFBC,PP、E E、C C、F F四点共圆四点共圆,PFE=PCE,PFE=PCE,PDF=PFE,PDF=PFE,同理同理PFD=PEF,PFD=PEF,PFDPFDPEF, PEF, 从而从而 即点即点P P到到BCBC的间隔为的间隔为 答案:答案:(1)140(1)140 (2)60 (3) (2)60 (3) ,PFPDPEPFPF4 62 6,. 6262 圆中比例线段的运用圆中比

8、例线段的运用 【方法点睛】【方法点睛】对相交弦定理、切割线定理、割线定理的了解对相交弦定理、切割线定理、割线定理的了解相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理. .圆幂定圆幂定理本质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理,理本质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理,其本质与比例线段有关它们之间有着亲密的联络,主要表其本质与比例线段有关它们之间有着亲密的联络,主要表达在:达在:(1)(1)从运动的观念看,切割线定理、割线定理是相交弦定理另从运动的观念看,切割线定理、割线定理是相交弦定理另一种情形,即挪动圆内两条相交弦使其交点在圆外

9、的情况;一种情形,即挪动圆内两条相交弦使其交点在圆外的情况;(2)(2)从定理的证明方法看,都是由一对类似三角形得到的等从定理的证明方法看,都是由一对类似三角形得到的等积式积式【例【例1 1】如图,由矩形】如图,由矩形ABCDABCD的顶点的顶点D D引一条直线分别交引一条直线分别交BCBC及及ABAB的延伸线的延伸线于于F F、G G,连结,连结AFAF并延伸交并延伸交BGFBGF的外的外接圆于接圆于H H,连结,连结GHGH、BH.BH.(1)(1)求证:求证:DFADFAHBGHBG;(2)(2)过过A A点引圆的切线点引圆的切线AEAE,E E为切点,为切点, CFFBCFFB1212

10、,求,求ABAB的长;的长;(3)(3)在在(2)(2)的条件下,又知的条件下,又知ADAD6 6,求,求tanHBGtanHBG的值的值. ., 33AE 【解题指南】【解题指南】(1)(1)欲证两三角形类似,只需证两组对应角相等,欲证两三角形类似,只需证两组对应角相等,这可从圆内接四边形的性质及平行线的性质得之;这可从圆内接四边形的性质及平行线的性质得之;(2)(2)根据条根据条件易知,利用切割线定理计算件易知,利用切割线定理计算ABAB的长;的长;(3)(3)将将tanHBGtanHBG化归为化归为直角三角形中的两边之比,但因该角不在直角三角形中,故经直角三角形中的两边之比,但因该角不在

11、直角三角形中,故经过作垂线,构造直角三角形后,再计算线段的长而求解过作垂线,构造直角三角形后,再计算线段的长而求解. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)四边形四边形ABCDABCD为矩形为矩形,ADBC,DAF,ADBC,DAFAFB.AFB.四边形四边形BGHFBGHF内接于圆内接于圆, ,AFBAFBBGH,BGH,DAFDAFBGH.BGH.又又DFADFAHFGHFGHBG,HBG,DFADFAHBG.HBG.(2)(2)由由DCAGDCAG,得,得CFFBCFFBCDBGCDBG1212,那么那么ABAGABAG13.13.AEAE为圆的切线为圆的切线,AE2=AB,AE2=AB

12、AG.AG. AB AB3.3., 33AE (3)(3)由由(2)(2)知知ABAB3 3,AGAG9 9,又又ADAD6, 6, 过过A A作作AQDGAQDG于于Q,Q,由由 得得 由由AD2=DQDGAD2=DQDG得得 所以所以 故故tanHBGtanHBGtanHFGtanHFGtanQFAtanQFA 18. 18. .13DG31DF,133DG11DG AQAD AG22gg,131318AQ ,131312DQ ,1313QF FQAQ【反思【反思感悟】圆中线段的计算,经常需求综合类似三角形、直感悟】圆中线段的计算,经常需求综合类似三角形、直角三角形、圆幂定理等知识,经过代

13、数化获解角三角形、圆幂定理等知识,经过代数化获解. .加强对图形的分加强对图形的分解,注重信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键解,注重信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键 【变式训练】如图,【变式训练】如图,P P是平行四边是平行四边形形ABCDABCD的边的边ABAB的延伸线上一点,的延伸线上一点,DPDP与与ACAC、BCBC分别交于点分别交于点E E、F F,EGEG是过是过B B、F F、P P三点圆的切线,三点圆的切线,G G为为切点,求证:切点,求证:EG=DE.EG=DE.【证明】由切割线定理得【证明】由切割线定理得EG2=EFEPEG2=EFEP,由四边形由四边形A

14、BCDABCD为平行四边形可证为平行四边形可证DEADEAFEC,FEC,DECDECPEA,PEA,从而从而 即即DE2=EFEPDE2=EFEP,于是,于是EG=DE.EG=DE.,EDEPCEAEFEDE 圆内接四边形的断定及运用圆内接四边形的断定及运用【方法点睛】【方法点睛】四点共圆的断定方法四点共圆的断定方法断定四点共圆,主要借助四边形的对角互补或外角与内对角的断定四点共圆,主要借助四边形的对角互补或外角与内对角的关系进展证明关系进展证明. .【例【例2 2】(2021(2021新课标全国卷新课标全国卷) )如图,如图,D D、E E分别为分别为ABCABC的边的边ABAB,ACAC

15、上的点,且不上的点,且不与与ABCABC的顶点重合的顶点重合. .知知AE=m,AC=n,AD,AE=m,AC=n,AD,ABAB的长是关于的长是关于x x的方程的方程x2-14x+mn=0 x2-14x+mn=0的两个根的两个根. .(1)(1)证明:证明:C C、B B、D D、E E四点共圆;四点共圆;(2)(2)假设假设A=90A=90,且,且m=4,n=6m=4,n=6,求,求C C、B B、D D、E E所在圆的半径所在圆的半径. .【解题指南】【解题指南】(1)(1)根据四点共圆的条件证之;根据四点共圆的条件证之;(2)(2)根据条件计算根据条件计算ADAD,ABAB的长后的长后

16、, ,类比三角形外接圆圆心确实定方法类比三角形外接圆圆心确实定方法, ,分别作分别作CECE和和DBDB的垂直平分线的垂直平分线, ,其交点即为圆心其交点即为圆心, ,再利用勾股定理求其半径再利用勾股定理求其半径. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)连结连结DEDE,根据题,根据题意,在意,在ADEADE和和ACBACB中,中,ADADAB=AB=mn=AEmn=AEAC,AC,即即 又又DAE=CAB,DAE=CAB,ADEADEACB,ACB,ADE=ACB,ADE=ACB,BDE+ACB=BDE+ADE=180BDE+ACB=BDE+ADE=180, ,CC、B B、D D、E E四

17、点共圆四点共圆. . .ABAEACAD(2)(2)当当m=4,n=6m=4,n=6时,时,AE=4,AC=6,AE=4,AC=6,而方程而方程x2-14x+mn=0 x2-14x+mn=0的两根为的两根为x1=2,x2=12.x1=2,x2=12.故故AD=2AD=2,AB=12,AB=12,取取CECE的中点的中点G,DBG,DB的中点的中点F F,分别过分别过G,FG,F作作ACAC,ABAB的垂线,的垂线,两垂线相交于两垂线相交于H H点,连结点,连结DH.DH.由于由于C C、B B、D D、E E四点共圆,四点共圆,所以所以C C、B B、D D、E E四点所在圆的圆心为四点所在圆

18、的圆心为H H,半径为,半径为DH. DH. 由于由于A=90A=90,故,故GHAB,HFACGHAB,HFAC,四边形四边形AFHGAFHG为平行四边形,为平行四边形,所以所以HF=AG=5HF=AG=5,DF= (12-2)=5DF= (12-2)=5,所以所以 故故C C、B B、D D、E E四点所在圆的半径为四点所在圆的半径为 21. 25DH . 25【反思【反思感悟】感悟】1.1.此题中此题中, ,四边形四边形BCEDBCED外接圆的圆心不是外接圆的圆心不是BCBC的的中点中点, ,应是各边中垂线的交点应是各边中垂线的交点, ,但因相交两直线只需一个公共点但因相交两直线只需一个

19、公共点, ,故只需作出两边的垂直平分线即可确定其位置故只需作出两边的垂直平分线即可确定其位置. .2.2.从此题的证明过程可知从此题的证明过程可知, ,四点共圆的断定方法除了四点共圆的断定方法除了“对角互对角互补这一条件外补这一条件外, ,还可从还可从“外角等于内对角、外角等于内对角、“同底同侧且同底同侧且同底所对的角相等的三角形以及割线定理、相交弦定理的逆同底所对的角相等的三角形以及割线定理、相交弦定理的逆命题等条件来判别得之命题等条件来判别得之. .即有以下结论:即有以下结论:(1)(1)同底同侧且同底所对的角相等的三角形,各顶点共圆同底同侧且同底所对的角相等的三角形,各顶点共圆(2)(2

20、)假设四边形假设四边形ABCDABCD的对角线相交于的对角线相交于P P,且,且PAPC=PBPDPAPC=PBPD,那,那么它的四个顶点共圆么它的四个顶点共圆(3)(3)假设四边形假设四边形ABCD ABCD 的一组对边的一组对边ABAB、DCDC的延伸线相交于的延伸线相交于P P,且,且PAPBPAPBPCPDPCPD,那么它的四个顶点共圆,那么它的四个顶点共圆【变式训练】如图,知【变式训练】如图,知ABCABC的的两条角平分线两条角平分线ADAD和和CECE相交于相交于H H,BB6060,F F在在ACAC上,且上,且AE=AFAE=AF(1)(1)证明:证明:B B,D D,H H,

21、E E四点共圆;四点共圆;(2)(2)证明:证明:CECE平分平分DEFDEF【证明】【证明】 (1) (1)在在ABCABC中,中,B=60B=60,BAC+BCA=120BAC+BCA=120ADAD,CECE是是ABCABC的角平分线,的角平分线,HAC+HCA=60HAC+HCA=60,AHC=120AHC=120 EHD=AHC=120EHD=AHC=120EBD+EHD=180EBD+EHD=180,BB,D D,H H,E E四点共圆四点共圆(2)(2)连结连结BHBH,那么,那么BHBH为为ABCABC的平分线,得的平分线,得HBD=30HBD=30由由(1)(1)知知B B,

22、D D,H H,E E四点共圆,四点共圆,CED=HBD=30CED=HBD=30又又AHE=EBD=60AHE=EBD=60,由知可得,由知可得EFADEFAD,可得可得CEF=30CEF=30CECE平分平分DEFDEF 圆内接四边形的性质及运用圆内接四边形的性质及运用【方法点睛】【方法点睛】圆内接四边形性质定理的运用及本卷须知圆内接四边形性质定理的运用及本卷须知(1)(1)根据圆内接四边形的性质定理根据圆内接四边形的性质定理, ,可以直接得到圆内接四边形可以直接得到圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角的任何一个外角都等于它的内对角. .它们是圆中探求角相等或它们是圆中探求角相等或互

23、补关系时的常用定理,同时也是转移角的常用方法互补关系时的常用定理,同时也是转移角的常用方法(2)(2)运用性质定理时应留意察看图形、分析图形,不要弄错四运用性质定理时应留意察看图形、分析图形,不要弄错四边形的外角和它的内对角的相互对应位置边形的外角和它的内对角的相互对应位置. .【例【例3 3】知:如下图,在等腰三角形】知:如下图,在等腰三角形ABCABC中,中,ABABACAC,D D是是ACAC的中点,的中点,DEDE平分平分ADBADB交交ABAB于于E E,过,过A A、D D、E E的圆交的圆交BDBD于于N.N.求证:求证:BNBN2AE.2AE.【解题指南】要证【解题指南】要证B

24、NBN2AE2AE,由知有,由知有ABABACAC2AD2AD,如能有如能有 成立,那么问题得证,这样问题转化为证成立,那么问题得证,这样问题转化为证四条线段成比例,又四条线段成比例,又AEAENENE,所以只需证,所以只需证BNBN、NENE、ABAB、ADAD确定确定的两个三角形类似,即证的两个三角形类似,即证BNEBNEBAD. BAD. 2ADABAEBN【规范解答】连结【规范解答】连结EN,EN,四边形四边形AENDAEND是圆内接四边形是圆内接四边形, ,BNEBNEA.A.又又EBNEBNABD,ABD,BNEBNEBAD, BAD, AB=AC,AC=2AD,AB=AC,AC=2AD,AB=2ADAB=2AD,BN=2EN.BN=2EN.又又ADEADENDE,NDE,AE=EN,BNAE=EN,BN2AE.2AE.ADABENBNAE EN,【反思【反思感悟】感悟】“圆内接四边形的性质定理使圆中的角的家圆内接四边形的性质定理使圆中的角的家族中添加了新的成员族中添加了新的成员, ,即在即在“圆心角、圆周角、弦切角的根圆心角、圆周角、弦切角的根底上添加了四边形的底上添加了四边形的“外角、内对角外角、内对角, ,从而在证明类似图形从而在证明类似图形的条件中的条件中, ,添加了化归的方法添加了化归的方法, ,产生了更多的变化产生了更多的变化. .【变式训练】知

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