第1章离散时间信号与系统

1、 x k=1, 1, 2, -1, 1;k=-1,0,1,2,31 , 1, 2, 1 , 1kx1单位脉冲序列单位脉冲序列000 1kkk定义：2.单位阶跃序列单位阶跃序列 000 1kkku定义：定义：3矩形序列矩形序列 otherwise010 1NkkRN4指数序列指数序列Zkakxk,有界序列：有界序列： k Z |x k| Mx 。 Mx是与是与 k无关的常数无关的常数akuk： 右指数序列右指数序列,|a| 1序列有界序列有界aku k： 左左指数序列指数序列,|a| 1序列有界序列有界5虚指数序列虚指数序列(单频序列单频序列)tjetx)(角频率为角频率为 的的模拟信号模拟信号

2、kjTkjkTteetxkx)(数字信号角频率数字信号角频率 =T 虚指数序列虚指数序列 x k=exp( j k) 是否为周期的是否为周期的? 如是周期序列其周期为多少？如是周期序列其周期为多少？即即 / 2 / 2p p为有理数时，信号才是周期的。为有理数时，信号才是周期的。如果如果 / 2 / 2p p m / / L , L, m 是不可约的整数，则信号的周期为是不可约的整数，则信号的周期为L。6正弦型序列正弦型序列2/ )(coskjkjeekkx例例 试确定余弦序列xk = cos0k 当(a) 0=0 (b) 0=0.1p (c) 0=0.2p (d) 0=0.8p (e) 0=

3、0.9p (f) 0=p 时的基本周期。解：(a) 0 /2p 0/1， N=1。(b) 0 /2p0.1/21/20， N=20。(c) 0 /2p0.2/21/10， N=10。(d) 0 /2p0.8/22/5， N=5。(e) 0 /2p0.9/29/20, N=20。(f) 0 /2p1/2, N=2。010203040-101xk = cos0 k , 0=0.2p 010203040-101xk = cos0 k , 0=0.8p 010203040-101xk = cos0 k , 0=p 010203040-101xk = cos0 k , 0=0 当0从p增加到2p时，余弦

4、序列幅度的变化将会逐渐变慢。Zpnkkn00cos)2(cos即两个余弦序列的角频率相差2p的整数倍时，所表示的是同一个序列。cos(2p0 )k= cos(0 k)0 在p 附近的余弦序列是 高频信号。0 0或2p 附近的余弦序列是 低频信号。nkhnxkyn例：已知x1k * x2k= yk，试求y1k= x1kn * x2km。 结论： y1k= ykm+n)例：xk 非零范围为 N1 k N2 ， hk 的非零范围为 N3 k N4 求： yk=xk* hk的非零范围。结论：N1N3 k N4N2)()()(mnmxnxm)()()(nxnxnxoe)()(21)(nxnxnxe)()

5、(21)(nxnxnxo2121kxbTkxaTkbxkaxT例例: 设一系统的输入输出关系为 yk=x2k 试判断系统是否为线性？解：输入信号x k产生的输出信号Tx k为 Tx k=x2k 输入信号ax k产生的输出信号Tax k为 Tax k= a2x2k 除了a=0,1情况，情况，Tax k aTx k。故系统不满足线性系统的的定义，所以系统是非线性系统。例例 y(n)Tx(n)=5x(n)+3所表示的系统不是线性系统。所表示的系统不是线性系统。计算计算Tax1(n)+bx2(n)=5ax1(n)+bx2(n)+3，而而ay1(n)+by2(n)5ax1(n)+5bx2(n)+3(a+

6、b)例例 证明证明y(n)Tx(n)nx(n)不是非移变系统。不是非移变系统。 计算计算Tx(n-k)=nx(n-k)，而，而y(n-k)=(n-k)x(n-k)。解：输入信号xk产生的输出信号yk为 yk=T xk= xMk 输入信号xkn产生的输出信号Txkn为 Txkn= xMkn 由于 xMkn ykn故系统是时变的。例例: 已知抽取器的输入和输出关系为 yk=xMk 试判断系统是否为时不变的？211kxky23 451k0-1135 112kxkx222kxky23451264k0-1213kxkx233kxky2341k0-1135抽取器时变特性的图示说明定义：定义：kTkh例：累

7、加器:nxkyknkukh nnknxTkxT nnkTnxnnkhnx*khkxkhkxky*当任意输入当任意输入x(n)用前式表示时，则系统输出为用前式表示时，则系统输出为因为系统是线性非移变的，所以因为系统是线性非移变的，所以 通常把上式称为通常把上式称为离散卷积或线性卷积离散卷积或线性卷积。这一关系常用符号这一关系常用符号“*”表示：表示：离散卷积满足以下运算规律：离散卷积满足以下运算规律：(1)交换律交换律 (2)结合律结合律 (3)分配律分配律计算卷积的步骤如下：计算卷积的步骤如下： (1)折叠：先在哑变量坐标轴折叠：先在哑变量坐标轴k上画出上画出x(k)和和h(k)，将，将h(k

8、)以纵坐标为对称轴折叠成以纵坐标为对称轴折叠成 h(-k)。 (2)移位：将移位：将h(-k)移位移位n，得，得h(n-k)。当。当n为正数时，为正数时，右移右移n；当；当n为负数时，左移为负数时，左移n。 (3)相乘：将相乘：将h(n-k)和和x(k)的对应取样值相乘。的对应取样值相乘。 (4)相加：把所有的乘积累加起来，即得相加：把所有的乘积累加起来，即得y(n)。 上图为：上图为：与与的线性卷积。的线性卷积。计算线性卷积时，一般要分几个区间分别加以考虑，下面计算线性卷积时，一般要分几个区间分别加以考虑，下面举例说明。举例说明。 例例 已知已知x(n)和和h(n)分别为：分别为：和和试求试

9、求x(n)和和h(n)的线性卷积。的线性卷积。解解 参看图参看图2. 15，分段考虑如下：，分段考虑如下：(1)对于对于n4，且，且n-60，即，即46，且，且n-64，即，即64，即，即n10时：时：x综合以上结果，综合以上结果，y(n)可归纳如下：可归纳如下：卷积结果卷积结果y(n)如图如图2. 16所示所示 kTttxkx)(点抽样抽样间隔(周期) T (s)抽样角频率 sam=2p/T (rad/s)抽样频率 fsam=1/T (Hz)e()j (jXX理想抽样)()()(ttxtxTs)(kTtkxk)()(kTttxk)()()(sttxFtxFT)()(21tFtxFTp*)()

10、j (21samsampnXn*)( j (1samnXTn)( j (1)j (samsnXTXn)e(jXttxXtssde)()j (jtkTtkxtkde)(jtkTtkxtkde)(jkTkkxje )e(jTX)/j (sTX)e(jX)e(/jsTX)( j (1)j (samsnXTXn)j ()j (TXXT缩因子)2j (12TnXTn周期化为nTnXTX)2j (1)e(jX(j)=0 |m称为m 为信号的最高(角)频率。m例: 已知某带限信号抽样信号x(t)的频谱如图所示， 试分别抽样角频率sam=2.5m, 2m , 1.6m抽样时，抽样后离散序列xk的频谱。m5 .

11、 2sam解：8 . 05 . 22mmmTm2sam22mmmTm6 . 1sam25. 16 . 12mmmTm5 . 2samm2samm6 . 1sam 设x(t)是带限实信号，则抽样后信号频谱不混叠的(充分)条件为：T p/m=1/(2fm) 时域抽样定理时域抽样定理fsam 2fm （或sam 2 m）抽样频率fs满足： 或抽样间隔T 满足fsam = 2fm 频谱不混叠最小抽样频率(Nyquist rate)T=1/(2fm) 频谱不混叠最大抽样间隔例：已知x(t)=Sa(pf0t), 试确定频谱不混叠最大抽样间隔T及抽样后的序列xk。解：所以sam=2pf0，即T=1/f0。)

12、e(jX1kxk 若信号x(t)以T为抽样间隔抽样后的序列为k，则称该信号Nyquist-T 信号。 在所有的Nyquist-T 信号中，只有x(t)=Sa(pf0t)是带限的。例：已知连续带通信号x(t)的频谱如下图所示, 试分别画出sam1=0.5m 及sam2=0.8m时，抽样后离散序列的频谱。解：sam1=0.5m , T1=2p/sam1 =4p/msam2=0.8m ,T2=2p/sam2=2.5p/m抗混叠滤波抗混叠滤波许多实际工程信号不满足带限条件 抗混叠低通滤波器)(tx)(1tx)(th信号的重建信号的重建理想D/A模型框图 理想D/A输入和输出 )e()j (jsTXX)()(jTseXjXA/T)( jeX mT mT p pp p p p2p p2 A/T)( jXs m m 2sam 2sam sam sam 其它02/)(samrT