自动控制原理第五章 第一部分

1、第5章 线性系统的频域分析法5.1 频率特性的基本概念5.2 对数坐标图5.3 极坐标图5.4 奈奎斯特稳定判据5.5 稳定裕度5.6 闭环系统的频率特性5.7 闭环系统性能分析5.1 频率特性的基本概念 5.1.1 定义 5.1.2 频率特性的表示方法5.1.1 定义 考察一个系统的好坏，通常用阶跃输入下系统的阶跃响应来分析系统的动态性能和稳态性能。 有时也用正弦波输入时系统的响应来分析，但这种响应并不是单看某一个频率正弦波输入时的瞬态响应，而是考察频率由低到高无数个正弦波输入下所对应的每个输出的稳态响应。因此，这种响应也叫频率响应。 频率响应尽管不如阶跃响应那样直观，但同样间接地表示了系统

2、的特性。频率响应法是分析和设计系统的一个既方便又有效的工具。5.1.1 定义 系统的频率特性定义为系统在正弦作用下稳态响应的振幅、相位与所加正弦作用的频率之间的依赖关系。 对于一般的线性定常系统，系统的输入和输出分别为r(t)和c(t)，系统的传递函数为G(s)。).()()()()()(21npspspssNsRsCsG式中， 为极点。njpj,.,2 , 1,若：)()(,sin)(22jsjsRsRsRtRtrmmm则则：jskjskpskpskpskjsjsRpspspssNpspspssRsNsCccnnmnn2122112121.)().()()().()()()()(5.1.1

3、定义拉氏反变换为：tjctjctpntptpekekekekektcn2121.)(21若系统稳定，则极点都在s左半平面。当 ，即稳态时：00021tptptpneee，ttjctjcsekektc21)(式中， 分别为：21,cckkjjGRjsjsjsRsGjssCkjjGRjsjsjsRsGjssCkmjsmjscmjsmjsc2)()()()(| )(2)()()()(| )(215.1.1 定义而)()()(| )(| )()(jjGjjseAejGsGjG)(2)(1)(2)(2jmcjmceAjRkeAjRk，jeeRAekektctjtjmtjctjcs2)()()()(21式

4、中：Rm 、Cm分别为输入输出信号的幅值。上述分析表明，对于稳定的线性定常系统，加入一个正弦信号，它的稳态响应是一个与输入同频率的正弦信号，稳态响应与输入不同之处仅在于幅值和相位。其幅值放大了 倍，相位移动了 。 和 都是频率的函数。| )(|)(jGA)()(jG)(A)()(sin()(sin()(tCtRAmm)()()(| )(| )()(jjGjjseAejGsGjG5.1.1 定义定义稳态响应与正弦输入信号的相位差 为系统的相频特性，它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的相位移特性； )()(jG| )(|)(jGARCmm定义稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比 为系统的幅频特性

5、，它描述系统对不同频率输入信号在稳态时的放大特性； 幅频特性和相频特性可在复平面上构成一个完整的向量 ，它也是 的函数。 称为频率特性。),(jG)()()(jeAjG)(jG 还可将 写成复数形式，即 )(jG)()()(jQPjG这里 和 分别称为系统的实频特性和虚频特性。 )(Re)(jGP)(Im)(jGQ5.1.1 定义由于这种简单关系的存在，频率响应法和利用传递函数的时域法在数学上是等价的。 频率特性与传递函数的关系为：jssGjG| )()( 幅频特性、相频特性和实频特性、虚频特性之间具有下列关系：)(cos)()( AP)(sin)()( AQ)()()(22QPA)()()(

6、1PQtg5.1.1 定义结论：当传递函数中的复变量s用j 代替时，传递函数就转变为频率特性。反之亦然。 到目前为止，我们已学习过的线性系统的数学模型有以下几种：微分方程、传递函数、脉冲响应函数和频率特性。它们之间的关系如下：微分方程频率特性传递函数脉冲函数js dtds dtdj)(tgL)(1sGL5.1.1 定义 从另一方面，若线性系统在正弦信号输入作用下，在稳态情况下，输入输出都是正弦函数，可用矢量表示：yxjmjmeCjCeRjR)()(，可见，频率特性就是输出、输入正弦函数用矢量表示时之比。表示线性系统在稳态情况下，输出、输入正弦信号之间的数学关系。是频率域中的数学模型。)()()

7、()()(jjmmeAeRCjRjCxy5.1.1 定义 频率响应法的优点之一在于它可以通过实验量测来获得，而不必推导系统的传递函数。 事实上，当传递函数的解析式难以用推导方法求得时，常用的方法是利用对该系统频率特性测试曲线的拟合来得出传递函数模型。 此外，在验证推导出的传递函数的正确性时，也往往用它所对应的频率特性同测试结果相比较来判断。 频率响应法的优点之二在于它可以用图来表示，这在控制系统的分析和设计中有非常重要的作用。5.1.1 定义 所以对于不稳定的系统，尽管无法用实验方法量测到其频率特性，但根据式由传递函数还是可以得到其频率特性。jssGjG| )()( 频率特性的推导是在线性定常

8、系统是稳定的假设条件下得出的。 如果不稳定，则动态过程c(t)最终不可能趋于稳态响应cs(t)，当然也就无法由实际系统直接观察到这种稳态响应。 但从理论上动态过程的稳态分量总是可以分离出来的，而且其规律性并不依赖于系统的稳定性。 因此可以扩展频率特性的概念，将频率特性定义为：在正弦输入下，线性定常系统输出的稳态分量与输入的复数比。5.1.2 频率特性的表示方法2对数坐标图，也称伯德(Bode)图。它是由两张图组成，以lg 为横坐标，对数分度，分别以 20lg|G(j)H(j)| 和 F(j) 作纵坐标的一种图示法。3对数幅相频率特性图，也称尼柯尔斯(Nichols)图。它是以相位 F(j) 为

9、横坐标，以 20lg|G(j)H(j)| 为纵坐标，以 为参变量的一种图示法。工程上常用图形来表示频率特性，常用的有：1极坐标图，也称奈奎斯特(Nyquist)图。是以开环频率特性的实部为直角坐标横坐标，以其虚部为纵坐标，以 为参变量的幅值与相位的图解表示法。我们主要介绍极坐标图和对数坐标图5.2 对数坐标图5.2.1 对数坐标图及其特点5.2.2 典型环节的对数坐标图5.2.3 系统对数频率特性的绘制5.2.4 最小相位系统非最小相位 系统的对数坐标图5.2.1 对数坐标图及其特点1波德图的坐标轴 Bode图由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线组成。 横坐标(称为频率轴)分度：它是以频率 的

10、对数值 log 进行线性分度的。但为了便于观察仍标以 的值，因此对 而言是非线性刻度。 每变化十倍，横坐标变化一个单位长度，称为十倍频程(或十倍频)，用dec表示。类似地，频率 的数值变化一倍，横坐标就变化0.301单位长度，称为“倍频程”，用oct表示。如下图所示：DecDecDecDec12012.log01. 001 . 0110100由于 以对数分度，所以零频率点在处。5.2.1 对数坐标图及其特点更详细的刻度如下图所示2345678910lg0.000 0.301 0.477 0.602 0.699 0.778 0.845 0.903 0.954 1.0005.2.1 对数坐标图及其

11、特点 纵坐标分度：对数幅频特性曲线的纵坐标以 L()=20logA() 表示。其单位为分贝(dB)。 相频特性曲线的纵坐标以度或弧度为单位进行线性分度。 一般将幅频特性和相频特性画在一张图上，使用同一个横坐标（频率轴）。 当幅频特性值用分贝值表示时，通常将它称为增益。幅值和增益的关系为：增益=20log (幅值) 幅值A( ) 1.001.261.562.002.513.165.6210.0100100010000对数幅值20lgA( )02468101520406080幅值A( ) 1.000.790.630.500.390.320.180.100.010.0010.0001对数幅值20lg

12、A( )0-2-4-6-8-10-15-20-40-60-805.2.1 对数坐标图及其特点2使用对数坐标图的优点 可以展宽频带；频率是以10倍频表示的，因此可以清楚的表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。 可以将乘法运算转化为加法运算。122111221221)21 ()1 ()21 ()1 ()(njnlllljmksTkkkmiisTsTsTsesssKsGd1221112212212)1()1 ()(2)1()1 ()(njnlllljmkjTkkkmiiTjTjTjeTjTjKjGd5.2.1 对数坐标图及其特点 所有的典型环节的幅频特性都可以用分段直线(渐近线)近似表示。 对实

13、验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近似的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。imijKjGL1lg20lg20)(lg20)(11jnjkkkmkjTjvTjT1lg20lg202)1 (lg20121221lllnlTjT2)1 (lg202212121111221119012)(nkkmkkkkmiiTtgvTTtgtgdnllllTTTtg3 .5712212215.2.2 典型环节的对数坐标图1比例环节：KsG)(KjG)(logdBL/ )(log)(180180幅频特性： ；相频特性： KA)(0)(对数幅频特性： 111000lg20)(KKKKL常数Klog20

14、1K1KKlog201KKlog20001800)(KKK相频特性： 0K0K5.2.2 典型环节的对数坐标图2积分环节的频率特性：sKsG)(jeKKjjKjG2)(,log20log20log20)(log20)(KKAL20)(10; 0)(, 11LLK时，当时，当2)0()(1KtgKA)(1KdBL/ )()(902040204011010011010010K0)(;log20)(, 10LKKLK时，当时，当可见斜率为20/dec 当有两个积分环节时可见斜率为40/dec 5.2.2 典型环节的对数坐标图 惯性环节的频率特性：TtgTKA122)(,1)(1)(TsKsG1)(T

15、jKjG对数幅频特性： ，为了图示简单，采用分段直线近似表示。方法如下：221log20log20)(log20)(TKAL低频段：当 时， ，称为低频渐近线。1TKLlog20)(高频段：当 时， ，称为高频渐近线。这是一条斜率为-20dB/Dec的直线（表示 每增加10倍频程下降20分贝）。1TTKLlog20log20)( 当 时，对数幅频曲线趋近于低频渐近线，当 时，趋近于高频渐近线。0低频高频渐近线的交点为： ，得： ，称为转折频率或交换频率。 TKKlog20log20log20TTo11，5.2.2 典型环节的对数坐标图图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。Dec

16、dB/205.2.2 典型环节的对数坐标图波德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）：当 时，误差为：o2211log20T当 时，误差为：oTTlog201log20222最大误差发生在 处，为To1)( 31log20202maxdBTT0.1 0.2 0.5 1 2 510L( ),dB -0.04 -0.2 -1 -3 -7 -14.2 -20.04 渐近线,dB 0 000-6 -14 -20 误差,dB -0.04 -0.2-1-3-1-0.2-0.045.2.2 典型环节的对数坐标图 相频特性： Ttg1)(作图时先用计算器计算几个特殊点：。时，当时，当时，当2)(;4)1

17、(1; 0) 0(0TT由图不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于(0, 45)点是斜对称的，这是对数相频特性的一个特点。T0.010.020.050.10.20.30.50.71.0( )-0.6-1.1-2.9-5.7-11.3-16.7-26.6-35-45T2.03.04.05.07.0102050100( )-63.4-71.5-76-78.7-81.9-84.3-87.1-88.9-89.4当时间常数T 变化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状都不变，仅仅是根据转折频率1/T 的大小整条曲线向左或向右平移即可。而当增益改变时，相频特性不变，幅频特性上下平移。5.2.2 典型环节的

18、对数坐标图 振荡环节的频率特性：22222212)(nnnssKTssTKsG讨论 时的情况。当K=1时，频率特性为：10TjTjG2)1 (1)(222222)2()1 (1)(TTA22112)(TTtg2222)2()1 (log20)(log20)(TTAL对数幅频特性为：低频段渐近线：0)(1LT时，高频段渐近线：TTLTlog40)(log20)(1222 时，两渐近线的交点 称为转折频率。0后斜率为-40dB/Dec。To15.2.2 典型环节的对数坐标图对 求导并令等于零，可解得 的极值对应的频率 。)(A)(ApTp221该频率称为谐振峰值频率。可见，谐振峰值频率与阻尼系数有

19、关，当 时， ；当 时，无谐振峰值；当 时，有谐振峰值。707. 0210p21212121)(ppAM当 ， ， 。021)(0A2lg20)(0L因此在转折频率附近的渐近线依不同阻尼系数与实际曲线可能有很大的误差。 2222)2()1 (1)(TTA由幅频特性5.2.2 典型环节的对数坐标图左图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性和对数相频特性图。上图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性实际曲线与渐近线之间的误差曲线。DecdB/40当0.30.8，误差约为4.5dB5.2.2 典型环节的对数坐标图相频特性：22112)(TTtg几个特征点：。)(,;2)(,1; 0)(, 0T相频特性曲线在

20、半对数坐标中关于( 0, 90)点是斜对称的。这里要说明的是当 时， ,当 时， 。此时若根据相频特性的表达式用计算器来计算只能求出90之间的值(tg-1函数的主值范围)，也就是说当 时，用计算器计算的结果要经过转换才能得到 。即当 时，用计算器计算的结果要减180才能得到 。或用下式计算)(),1()90()(),1(),1(212111)(TtgTtg5.2.2 典型环节的对数坐标图 微分环节的频率特性： 微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函数分别为：12)(1)()(22TssTsGTssGssG频率特性分别为：TjTjGjTjGjjG21)(1)()(225.2.2 典型

21、环节的对数坐标图 纯微分：2)(log20)(log20)()(ALA5.2.2 典型环节的对数坐标图 一阶微分：这是斜率为+20dB/Dec的直线。低、高频渐近线的交点为T1相频特性：几个特殊点如下2)(4)(10)(0，；，；，T相角的变化范围从0到 。2低频段渐近线：0)(log201)(1AAT，时，当高频段渐近线：TLTATlog20)()(1，时，当对数幅频特性（用渐近线近似）：TtgTA122)(1)(，221lg20)(TL5.2.2 典型环节的对数坐标图一阶微分环节的波德图一阶微分环节的波德图惯性环节的波德图惯性环节的波德图DecdB/20DecdB/205.2.2 典型环节的对数坐标图 二阶微分环节：幅频和相频特性为：221222212)()2()1 ()(TTtgTTA，12)(22TssTsG低频渐近线：0)(1LT时，高频渐近线：TTTLTlog40)2()1 (lg20)(1222