2021版高中数学课时分层作业二十七指数型对数型函数模型的应用举例含解析新人教A版必修1

1、课时分层作业二十七指数型、对数型函数模型的应用举例(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的路程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是()a.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5 kmb.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多c.甲车以80 km/h的速度行驶1小时，消耗10升汽油d.某城市机动车最高限速80 km/h.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【解析】选d.对于a选项：由题图可知，当乙车速度大于40 km/h时，乙车每消耗1升汽油，行驶里程都超过5 km，则a错；对于b选项：由

2、题意可知，以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高，耗油越少，故三辆车中甲车耗油最少，则b错；对于c选项：甲车以80 km/h的速度行驶时，燃油效率为10 km/l，则行驶1小时，消耗了汽油80×1÷10=8(升)，则c错；对于d选项：当行驶速度小于80 km/h时，在相同条件下，丙车的燃油效率高于乙车，则在该市用丙车比用乙车更省油，则d对.2.我们定义函数y=x(x表示不大于x的最大整数)为“下整函数”；定义y=x(x表示不小于x的最小整数)为“上整函数”；例如4.3=4，5=5；4.3=5，5=5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小

3、时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推.若李刚停车时间为x小时，则李刚应付费为 () (单位：元)a.2x+1b.2(x+1)c.2xd.2x【解析】选c.如x=1时，应付费2元，此时2x+1=4，2(x+1)=4，排除a，b；当x=0.5时，付费为2元，此时2x=1，排除d.3.温度对反应速率的影响可以用阿累尼乌斯公式：lgk2k1=e(t2-t1)2.303rt1t2表示，其中k1，k2分别为温度t1，t2时的某反应的速率常数，e为反应的活化能(单位：kj/mol)，r为摩尔气体常数，r=8.314 j/(mol·k)(假定活化能在温度变化范围不大时是常数).又已知同一

4、反应在不同温度下反应速率常数与反应时间的关系如下：k1k2=t2t1，若现在温度为300k，鲜牛奶5小时后变酸，但是在275k的冰箱里可以保存50小时，则牛奶变酸反应的活化能为_kj/mol(精确到0.01).() a.63.19b.7.60c.-69.19d.-7.60【解析】选a.因为k1k2=t2t1，所以k1k2=505=10，所以代入阿累尼乌斯公式得lg110=e(275-300)2.303×8.314×300×275，所以e=2.303×8.314×300×2752563.19 kj/mol.4.某高校为提升科研

5、能力，计划逐年加大科研经费投入.若该高校2017年全年投入科研经费1 300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)()a.2020年b.2021年c.2022年d.2023年【解析】选b.若2018年是第一年，则第n年科研经费为1 300×1.12n，由1 300×1.12n>2 000，可得lg 1.3+nlg 1.12>lg 2，得n×0.05>0.19，n>3.8，n4，即到2021年科

6、研经费超过2 000万元.【补偿训练】 (2019·重庆市第一中学高一检测)在数学史上，一般认为对数的发明者是苏格兰数学家纳皮尔.在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科.可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数学”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数.在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法.让我们来看看下面这个例子：这两行数字之间

7、的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂.如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现.比如，计算64×256的值，就可以先查第一行的对应数字：64对应6，256对应8，然后再把第一行中的对应数字加起来：6+8=14；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有：64×256=16 384.按照这样的方法计算：16 384×32 768=()a.134 217 728b.268 435 356c.536 870 912d.513 765 802【解析】选c.根据已知的规律，16 384对应第一行中的14，32 768

8、对应第一行中的15，计算14+15=29，在第一行找到29，对应的第二行中的数是536 870 912，所以c是正确的.二、填空题(每小题5分，共10分)5.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天的回报比前一天多10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报是前一天的两倍.若投资的时间为10天，为使投资的回报最多，你会选择的方案为_. 【解析】方案一：投资10天的回报为40×10=400元；方案二：投资10天的回报为10+20+30+40+90+100=550元；方案三：投资1

9、0天的回报为0.4+0.4×2+0.4×22+0.4×29=0.4(1+2+22+29)=409.2元.所以投资回报最多的为方案二.答案：方案二6.某商品价格y(单位：元)因上架时间x(单位：天)的不同而不同，假定商品的价格与上架时间的函数关系是一种指数型函数，即y=k·ax(a>0且a1)，xn*.当商品上架第1天的价格为96元，而上架第3天的价格为54元，则该商品上架第4天的价格为_元. 【解析】由题意可得方程组：k×a1=96,k×a3=54,结合a>0且a1可得 a=34,k=128,即 y=128

10、15;34x，则该商品上架第4天的价格为128×344=812=40.5，即该商品上架第4天的价格为40.5或812元.答案：40.5或812三、解答题7.(10分)医学上，为了研究某种传染病传播过程中病毒的发展规律及其预防，将病毒注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒在小白鼠体内的总个数与天数的关系如表：天数1234567病毒总个数1248163264已知该种病毒在小白鼠体内的个数超过108的时候，小白鼠就会死亡.但是注射某种药物，可以杀死此时小白鼠体内98%的病毒.(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应该在何时注射该种药物？(2)第二次最迟应该在何时注射该种药物，才

11、能维持小白鼠的生命？(精确到天，参考数据：lg 20.301 0，lg 30.477 1)【解析】(1)由题意可得病毒总个数y与天数x的函数关系式为y=2x-1，xn*，由2x-1108，两边取对数得(x-1)lg 28，所以x1+8lg21+80.301 027.58，所以第一次最迟应该在第27天注射该种药物.(2)由(1)知第一次最迟应该在第27天注射该种药物，小白鼠体内的病毒总个数为226(1-98%)=226×2%.再经过x天后，小白鼠体内的病毒总个数变为226×2%×2x，由226×2%×2x108，两边取对数得26lg 2+lg 2

12、-2+xlg 28，所以x10lg2-276.2，所以第二次最迟应该再经过6天即第33天注射该种药物，才能维持小白鼠的生命.(45分钟75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.已知桶1与桶2通过水管相连如图所示，开始时桶1中有a l水，t min后剩余的水符合指数衰减函数y1=ae-n t，那么桶2中的水就是y2=a-ae-n t，假定5 min后，桶1中的水与桶2中的水相等，则桶1中的水只有a4 l需要再过()a.5 minb.4 minc.3 mind.2 min【解析】选a.由题意得ae-5n=a-a·e-5n，即e-5n=12.设再过t min后桶1中的水有a4 l，则a

13、e-n(t+5)=a4，e-n(t+5)=14.将式平方得e-10n=14.比较、得-n(t+5)=-10n，所以t=5.即再过5 min后桶1中的水只有a4l.2.某校生物小组在器皿中培养果蝇，若果蝇的数量y(只)与时间t(天)的函数关系为y=2301+56.5e-0.37t，若果蝇的数量为180只，则需要的时间是_天(精确到个位).() a.10b.14c.15d.20(参考数据：23181.277 8，0.277 856.50.004 9，ln 0.004 9-5.318 5)【解析】选c.由题意得2301+56.5e-0.37t=180，所以1+56.5e-0.37t=1.2

14、77 8，e-0.37t=0.004 9，-0.37t=ln 0.004 9，t15.3.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y=0.3×2x-2+10(0<x<10， xn*)，若每台产品的售价为6万元，则当产量为8台时，生产者可获得的利润为()a.18.8万元b.19.8万元c.20.8万元d.29.2万元【解析】选a.因为总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y=0.3×2x-2+10(0<x<10， xn*)，且产量为8台，所以总成本为y=0.3×28-2+10=29.2(万元).因为每台产品的售价为6

15、万元，所以当产量为8台时，生产者可获得的利润为6×8-29.2=48-29.2=18.8(万元).4.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是()a.y=0.957 6x100b.y=(0.957 6)100xc.y=0.957 6100xd.y=1-0.042 4x100【解析】选a.设镭一年放射掉其质量的t%，则有95.76%=1·(1-t%)100，1-t%=0.957 61100 ，所以y=(1-t%)x=0.957 6x100.【拓展延伸】解决函数模型应用题应注意的几点(1)读懂实际背景，将实际问题转化

16、为函数模型.(2)对涉及的相关公式，记忆要准确.(3)在求解的过程中计算要正确.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速、正确地求解.5.在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位mol/l，记作h+)和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位mol/l，记作oh-)的乘积等于常数10-14.已知ph的定义为ph=-lgh+，健康人体血液的ph保持在7.357.45之间，那么健康人体血液中的h+oh-可以为(参考数据：lg 20.30，lg 30.48)()a.12b.13c.16d.110【解析】选c.因为h+·oh-=10-14，所以h+oh-=h+2

17、×1014，因为7.35<-lgh+<7.45，所以10-7.45<h+<10-7.35，所以10-0.9<h+oh-=1014·h+2<10-0.7，10-0.9=1100.9>110， lg100.7=0.7>lg 3>lg 2，所以100.7>3>2，10-0.7<13<12，所以110<h+oh-<13.二、填空题(每小题5分，共20分)6.某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量p(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：时

18、)之间的函数关系式为：p=p0e-kt(k，p0均为正的常数).若在前5小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么，至少还需要过滤_小时才可以排放. 【解析】t=0时，p=p0，由题意，知前5小时消除了90%的污染物，因为p=p0e-kt，所以(1-90%)p0=p0e-5k，所以0.1=e-5k，即-5k=ln 0.1，所以k=-15ln 0.1.由1%p0=p0e-kt，即0.01=e-kt，所以-kt=ln 0.01，15ln0.1t=ln 0.01，所以t=10，所以至少还需要过滤5小时才可以排放.答案：57.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是

19、t0，经过一定时间t后的温度是t，则t-ta=(t0-ta)·12th，其中ta表示环境温度，h称为半衰期.现有一杯用88 热水冲的速溶咖啡，放在24 的房间中，如果咖啡降温到40 需要20 min，则降温到35 时，需要的时间为_min.(精确到1 min，参考数据：lg 20.30，lg 1.10.04) 【解析】由题意知40-24=(88-24)·1220h，即14=1220h，解得h=10.故t-24=(88-24)·12t10.当t=35时，代入上式，得35-24=(88-24)·12t10，即12t10=1164.两边取对数，得t1

20、0lg 12=lg 1164，所以t=106lg2-lg11lg225，因此，约需要25 min，可降温到35 .答案：258.某地区发生里氏8.0级特大地震.地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如表：强度(j)1.6×10193.2×10194.5×10196.4×1019震级(里氏)5.05.25.35.4注：地震强度是指地震时释放的能量.地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y=alg x+b(其中a，b为常数).利用散点图(如图)可知a的值等于_.(取lg 2=0.3进行计算) 【解析】由记录的部分数据可知x=1.6

21、×1019时，y=5.0，x=3.2×1019时，y=5.2.所以5.0=alg(1.6×1019)+b，5.2=alg(3.2×1019)+b，-得0.2=alg 3.2×10191.6×1019，0.2=alg 2.所以a=0.2lg2=0.20.3=23.答案：239.某食品的保鲜时间t(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系t=64,x0,2kx+6,x>0,且该食品在4 的保鲜时间是16小时.已知甲在某日上午11时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，给出以下结论：该食品在6 时的

22、保鲜时间是8小时；当x-6，6时，该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少；到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间.其中，所有正确结论的序号是_. 【解析】因为食品的保鲜时间t(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系t=64,x0,2kx+6,x>0且该食品在4 的保鲜时间是16小时.所以24k+6=16，即4k+6=4，解得：k=-12，所以t=64,x0,2-12x+6,x>0,当x=6时，t=8，故该食品在6 的保鲜时间是8小时，正确；当x-6，0时，保鲜时间恒为64小时，当x(0，6时，该食品的保鲜时间t

23、随着x增大而逐渐减少，故错误；到了此日11时，温度为11，此时保鲜时间为2小时，故到13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故错误；由可知到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间，故正确，故正确的结论的序号为：.答案：三、解答题(每小题10分，共30分)10.某厂有一个容量300吨的水塔，每天从早六点到晚十点供应生活和生产用水，已知该厂生活用水每小时10吨，生产用水总量w(吨)与时间t(单位：小时，规定早晨六点时t=0)的函数关系为w=100t，水塔的进水量有10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，进水量增加10吨.若某天水塔原有水100吨，在供应同时打开进水管，问该天进水量应选择

24、几级，既能保证该厂用水(即水塔中水不空)，又不会使水溢出？【解析】设水塔进水量选择第n级，在t时刻水塔中的水容量y等于水塔中的存水量100吨加进水量10nt吨，减去生活用水10t吨，再减去生产用水w=100t吨，即y=100+10nt-10t-100t(0<t16).若水塔中的水量既能保证该厂用水，又不会使水溢出，则一定有0<y300，即0<100+10nt-10t-100t300，所以-10t+10t+1<n20t+10t+1对一切t(0，16恒成立.因为-10t+10t+1=-101t-122+7272，20t+10t+1=201t+142-14194.所以72<n194，即n=4.即进水量应选择4级.11.某公司对营销人员有如下规定：()年销售额x(万元)不大于8时，没有年终奖金；()年销售额x(万元)大于8时，年销售额越大，年终奖金越多.此时，当年销售额x(万元)不大于64时，年终奖金y(万元)按解析式y=logax+b(a>0，且a1)发放；当年销售额x(万元)不小于64时，年终奖金y(万元)为年销售额x(万元)的一次函数.经测算，当年销售额分别为16万元，64万元，