现代控制工程中文PPT学习教案

1、会计学12第1页/共213页3第2页/共213页4基本要求9-1 状态空间方法基础9-2 线性系统的可控性和可观性9-3 状态反馈和状态观测器9-4 有界输入、有界输出的稳定性9-5 李雅普诺夫第二方法返回主目录第3页/共213页5：前面几章所学的内容称为经典控制理论；下面要学的内容称为现代控制理论。两者作一简单比较。经典控制理论(50年代前)现代控制理论(50年代后)研究对象单输入单输出的线性定常系统可以比较复杂数学模型传递函数(输入、输出描述)状态方程(可描述内部行为)数学基础运算微积、复变函数线性代数、矩阵理论设计方法的特点非唯一性、试凑成份多, 经验起很大作用。主要在复数域进行。设计的

2、解析性，与计算机结合，主要在时间域进行。第4页/共213页6返回子目录返回子目录第5页/共213页7第6页/共213页8第7页/共213页9返回子目录返回子目录第8页/共213页10状态：状态：动力学系统的状态可以定义为信息的集合。动力学系统的状态可以定义为信息的集合。已知已知 时状态，时状态， 时的输入，可确定时的输入，可确定 时任一变量的运动状况。时任一变量的运动状况。0t0tt 0tt 状态变量状态变量：确定动力学系统状态的最小一组变确定动力学系统状态的最小一组变量量 。)(,),(1txtxn第9页/共213页11 12nx txtX txt 状态空间：由 张成的n维向量空间。)(tX

3、状态向量状态向量： 如果完全描述一个给定系统的动如果完全描述一个给定系统的动态行为需要态行为需要n n个状态变量，那么状态个状态变量，那么状态向量定义为向量定义为X(t)X(t)对于确定的某个时刻，状态表示为状态空间中一个点，状态随时间的变化过程，构成了状态空间中的一条轨迹。第10页/共213页12( )1( )( )( )di te tRi tLi t dtdtC图9-2 RLC网络第11页/共213页132( )( )x ti t dt)()(1titx选择状态变量11211RxxxeLLCL 则有21xx11010RuLCLLxx写成21)()(xCtcty10Cx输出第12页/共213

4、页1411100RLLuLCxx写成)()(1titx21( )( )x ti t dtC若选另一组状态变量11211( )Rxxxe tLLL 121xcx 则有第13页/共213页15 uyayayaynnnnn 02211 若给出 (t=0) 时的初值 、 、 、 和 时就可确定系统的行为。 0,ttu)0(y)0(y )0()1( ny121, nnyxyxyx单输入单输入- -单输出线性定常系统单输出线性定常系统选取状态变量二、系统的状态空间表达式第14页/共213页1612231nnxxxxxx（9-17）0 11 21nnnxa xa xaxu第15页/共213页17xAxBx1

5、2012101000001000,00010nnxxxaaaa xAB（9-19）第16页/共213页18第17页/共213页19222yyyu输入为输入为 u u ，输出为，输出为y y 。试求系统的状态方程和输出方程。试求系统的状态方程和输出方程。考虑用下列常微分方程描述的系统考虑用下列常微分方程描述的系统第18页/共213页2012222122xxxxxu1122220102xxuxx状态方程为写成取状态变量12,xy xy 第19页/共213页211210 xyx图9-4 例9-3系统的结构图第20页/共213页22第21页/共213页23ppnnububxaxaxax11111212

6、1111 ppnnububxaxaxax212122221212 pnpnnnnnnnububxaxaxax 112211nxxx,21 为状态变量；puuu,21 为输入量；qyyy,21 为输出变量。第22页/共213页24xAxu111212122212nnnnnnaaaaaaaaaA111212122212ppnnnpbbbbbbbbbB式中第23页/共213页25ppnnududxcxcxcy111112121111 ppnnududxcxcxcy212122221212 .pqpqnqnqqqududxcxcxcy 112211第24页/共213页26111212122212nnq

7、qqncccccccccC111212122212ppqqqpdddddddddDyC xD u第25页/共213页27图9-7 系统结构图第26页/共213页28式中式中 均为列向量。均为列向量。)2 , 1 , 0(ibixAx（9-28）齐次向量微分方程齐次向量微分方程kktbtbtbbtx2210)(（9-29）方程的解为方程的解为1、齐次状态方程的解第27页/共213页29)(210121kkkktbtbbAtkbtbb可得( ) txxAx代入方程 将方程两边系数必相等方程两边系数必相等, , 即即1022103320011221133 21kkbAbbAbA bbAbA bbA

8、bk ！第28页/共213页300)0(bx我们定义022)121()(xtAktAAtItxkk！（9-31）kKAttAktAAtIe！12122（9-32）因此，齐次状态方程的解为将 t=0 代入（9-29）中得第29页/共213页310)(xetxAt（9-33）( )( )x tAx t（9-34）)()(0sAxxssx（9-35）Ate为nn矩阵，称矩阵指数。于是齐次状态方程的解为于是齐次状态方程的解为用拉氏变换法求解用拉氏变换法求解第30页/共213页3201)()(xAsIsx011)()(xAsILtx)(11AsILeAt122311()AtkkkksIAL eL IAt

9、A tkIAAAssss！拉氏反变换后得到（9-37）（9-38）第31页/共213页33 AtetAtexp式中( )(0)( ) (0)Atx te xt x （9-41）第32页/共213页34状态转移矩阵具有以下性质：状态转移矩阵具有以下性质：I)0(, 1)()(, 21tt)()()(, 3020112tttttt)()(, 4kttk第33页/共213页35图9-8 状态转移特性第34页/共213页3611220100 xxxx设系统的状态方程为设系统的状态方程为试求状态转移矩阵。试求状态转移矩阵。第35页/共213页372 211( )2!Atk kteIAtA tA tk23

10、0100,00001001( )010001nAAAAttt11221( )(0)01( )(0)txtxxtx求状态转移矩阵为其中可以写出方程解为第36页/共213页38x3210 x设系统状态方程为设系统状态方程为试求状态方程的解。试求状态方程的解。第37页/共213页392s21s12s21s22s11s12s11s2)2s)(1s (s)2s)(1s (2)2s)(1s (1)2s)(1s (3ss213s)2s)(1s (1AsI)AsI(adj)AsI(3s21s)AsI(1用拉氏变换求解。先求出矩阵指数用拉氏变换求解。先求出矩阵指数 第38页/共213页40t2tt2tt2tt2

11、t11Ate2ee2e2eeee2)AsI(Le)0(x)0(xe2ee2e2eeee2)0(xe) t (x21t2tt2tt2tt2tAt将上式进行拉氏反变换将上式进行拉氏反变换第39页/共213页41第40页/共213页42改写为 )()()(tButAxtx用 左乘等式两边 Ate2 2 非齐次状态方程的解非齐次状态方程的解非齐次方程)()()(tButAxtx（9-53）)()()()(tBuetxedtdtAxtxeAtAtAt（9-54）第41页/共213页43dBuextxetAAt)()0()(0dBuexetxttAAt)()0()(0)(用 左乘上式两边Ate（9-54）

12、0( )( ) (0)()( )tx tt xtBud 则式（9-54）可以写成（9-55）积分上式得第42页/共213页44 sBusAxxssx)()(0 sBuAsIxAsIsx101)()()()()()0()()(1111sBuAsILxAsILtx拉氏反变换得拉氏反变换得)(11AsILeAt由于由于 ttAdBuesBuAsIL0)(11)()(由卷积定理有由卷积定理有第43页/共213页45 ttAdBuesBuAsIL0)(11)()(tAAtdtBuexetx0)()0()(ttAAtdBuexetx0)()()0()(因此由于由于最后得到第44页/共213页46uxx10

13、3210求下述系统状态的时间响应求下述系统状态的时间响应控制量控制量u u为单位阶跃函数。为单位阶跃函数。第45页/共213页47112222( )2222tttttttttLsIAeeeeeeee)2)(1()2)(1(2)2)(1(1)2)(1(31ssssssssssAsI由状态转移矩阵第46页/共213页48tttttAeeeedtBue0225.05.0)(tttteeeexttx225 . 05 . 0)0()()(220.50.5( )tttteex tee若初始状态为零状态，则若初始状态为零状态，则第47页/共213页49)()()(sBUsAXssX)()()(sDUsCXs

14、YBuAxx（9-58）系统状态方程系统状态方程DuCxy（9-59）输出方程输出方程拉氏变换为拉氏变换为第48页/共213页50)()()(1sBUAsIsX)()()(1sUDBAsICsYAsIAsIadjAsI)()(1DBAsICsG1)()(（9-63）第49页/共213页51AsIDAsIBAsICadjDBAsIAsIadjCsG)()()(0| AsI第50页/共213页521112221122011002011001xxuxxuyxyx第51页/共213页53011010,0020101ABCD已已知知11111(2)()2102sss ssIAoss故故第52页/共213

15、页541( )()111010(2)010110211(2)102G sC sIABss ssss ss第53页/共213页550100001061161Ab 设系统的状态方程为设系统的状态方程为试求系统的特征方程和特征值。试求系统的特征方程和特征值。第54页/共213页563210| det 01611606 116| (1)(2)(3)0ssIAssssssIAsss 系统的特征方程为系统的特征方程为特征方程的根为-1、-2和-3。矩阵A的特征值也为-1、-2和-3。两者是一样的。第55页/共213页57DuCxyBuAxxuDxCyuBxAxxPx1Pxx 其中 P 是nn 矩阵1 PA

16、PA1CPCBPB第56页/共213页58AsIAsIPPAsIPPPAsIPPAsIPPAPsPPPAPsIAsI1111111)(特征多项式没有改变。第57页/共213页59DBAsICDPBPAsIPCPDPBPAsIPCPDPBPAPsPPCPDPBPAPsICPDBAsIC111111111111111)()()()()()(传递函数阵传递函数阵传递函数阵没有改变传递函数阵没有改变第58页/共213页60112233111123149xxxxxx 第59页/共213页6111111132.50.5123 ,34114911.50.5PPxPAPxP bu 代入第60页/共213页62

17、11223332.50.501011134100112311.50.5611614932.50.50341011.50.51xxxxxxu 132|(1)(2)(3)61160sIPAPssssss特征方程为特征值为-1，-2，-3，与例9-9结果相同。可得第61页/共213页63可控性和可观测性的概念，就是回答可控性和可观测性的概念，就是回答“系统的输入是系统的输入是否能控制状态的变化否能控制状态的变化和和“状态的变化能否由输出状态的变化能否由输出反映出来反映出来这样两个问题。这样两个问题。返回子目录返回子目录第62页/共213页64设设A A 是 nn 矩阵, x x 是 n1 向量,齐次

18、方程组若 |A|=0, （9-70）式存在非零解；若|A|0, （9-70）式只有零解。Ax=0（9-70）1 1、齐次方程组的非零解、齐次方程组的非零解第63页/共213页65则A满足1110( )nnnfIAaaa（9-71）0)(0111IaAaAaAAfnnn（9-72）A的特征多项式第64页/共213页66)(0111IaAaAaAnnn10)(nkkkAtAte（9-78）120,nnAAA AI,Ate)( ,nkAk对于矩阵指数 可以用来表示。第65页/共213页67解：矩阵A的特征多项式22| (1)21IA1201A100?A要求计算矩阵 的第66页/共213页682324

19、323243(1)nAAIAAAAIAA AAIAnAnI10012001009901AAI本题中n=100，故有第67页/共213页69nbAbAAbbrankn12的充分必要条件是：的充分必要条件是：存在存在 使使01t101),0(ttATAtdtebbetWT（9-80）非奇异。这里非奇异。这里A :nA :nn, b: nn, b: n1.1.第68页/共213页70若对任意状态若对任意状态 ，存在一个有限时刻，存在一个有限时刻 和控制和控制量量 ，能在，能在 时刻将状态时刻将状态 转移到转移到0 0，则称此系，则称此系统的状态完全可控。统的状态完全可控。)(0tx0ttf)(tuf

20、t)(0tx1 定义对于任意时刻对于任意时刻 和和 ，若存在控制向量，若存在控制向量 ，能将，能将 的的每个初始状态每个初始状态 转移到转移到 时刻的另一任意状态时刻的另一任意状态 , ,则称此系统的状态完全可控。则称此系统的状态完全可控。 )(tu0tft0tt ftt )(0tx()fx t等价的定义第69页/共213页71图9-10 二维系统状态转移过程如图所示二维系统状态转移过程如图所示系统可控。系统可控。第70页/共213页72其中 A (nn),b (n1), c (1n),d (11) 系统可控的充分必要条件是ducxybuAxx（9-84）（9-85）nbAAbbrankn 1

21、（9-86）单变量线性定常系统第71页/共213页73将u(t) 代入式(9-54)，可得xex)t , 0(Web) t (u1At0f1tATfT（9-87）若式若式(9-86)(9-86)成立，由前面准备知识的引理，存在成立，由前面准备知识的引理，存在t t1 100，使，使得得(1-30)(1-30)式定义的式定义的W(0, tW(0, t1 1) )矩阵非奇异，取矩阵非奇异，取t t1 1为可控性定为可控性定义中的义中的t tf f ，且在，且在0, t0, tf f 上定义上定义第72页/共213页74ffTfft01At0f1AT)t (A0Atfdxex)t , 0(Webbe

22、xe)t (x11AtAt0At0At1Att0f1ATAAt0t0f1ATAAt0Atxxeexexedxe)t ,0(Webbeedx)t ,0(WebbeexeffffffTffTff第73页/共213页75根据凯莱哈密尔顿定理 d)(bue)0(xft0A（9-88）1n0mmmAA)(e（9-89）假定系统由任意初始状态被控制到零状态，即 x(tf)=0 。根据(9-54)式，则有第74页/共213页76d)(u )(bA)0(xft0m1n0mm0( ) ( )(0,1,2,1)ftmmudumnm1n0mmubA)0(x这时0111(0)nnuuxbAbAbu（9-90）第75页

23、/共213页77n)bAbAAbb(rank1n2由上述可控性判据可知，系统的可控性只取决于由上述可控性判据可知，系统的可控性只取决于(9-84) (9-84) 式中的式中的A A阵和阵和b b阵。今后为了方便起见，将可控性矩阵记阵。今后为了方便起见，将可控性矩阵记为为S S，这样，可控的充要条件就写成：，这样，可控的充要条件就写成：rankS=n rankS=n 或或 detS0detS0。第76页/共213页78图9-11 不可控系统第77页/共213页79uxx1100410201229414212102bAAbbPc01detcP系统第78页/共213页80111111001由前面讨论

24、可知，等价变换不改变可控性。第79页/共213页81第80页/共213页82ubbbbx11x43212211系统状态方程为系统状态方程为i21b,试确定系统可控时，试确定系统可控时， 应满足的条件。应满足的条件。第81页/共213页830bb)(4221 如果用直接计算可控性矩阵的方法也可得到同样结果 .因为因为A A阵有两个若当块，根据判据的阵有两个若当块，根据判据的(1)(1)应应有有 ，由判据的，由判据的(2)(2)，A A的第二行所对的第二行所对应的应的b b中的元素中的元素b2 2, ,b4 4均不为零，因此系统可控均不为零，因此系统可控的充要条件为的充要条件为21第82页/共21

25、3页84uxxn100010000010000101210（9-92）则系统一定可控。一个单输入系统，如果具有如下形式第83页/共213页85buAxx第84页/共213页861S21nhhAPhAhAPxx 1S1 PAPAPBB 1CPCDD 即可求出变换后的系统状态方程。即可求出变换后的系统状态方程。第85页/共213页87u110 x041020122x第86页/共213页880Sdet941421210bAAbbS2第87页/共213页89112h112225012S1102121012P324223112P1第88页/共213页901211221210322020121423140

26、201010001254APAP 100110324223112Pbb第89页/共213页91nnbAAbbrank11n下面的结果被称为系统按可控性进行分解的定理 第90页/共213页92121114221122(9 104)00(9 105)AAxbxuAxxxyccdux 111n1111nbAbAbrank1db)AsI(cdb)AsI( c111n111（9-106）（9-107）1x2x第91页/共213页93duxcyubxAx111111（9-108）（9-109）第92页/共213页94nnbAbAbAAbbrank11nn1n11（9-110）考察考察(9-103)(9-1

27、03)式，并将它重新写出如下式，并将它重新写出如下11nnbAAbbrank1进而可以证明进而可以证明1nn21q,q,q补充选取线性无关的向量补充选取线性无关的向量11,211nnnqqqbAAbb并使得向量组并使得向量组 线性无关。线性无关。第93页/共213页95q,q,q, bA,Ab, bP11nn211n1若将若将(9-104(9-104，105)105)式所表示的系统用方框图表示，可式所表示的系统用方框图表示，可控性分解的意义就能更直观地体现出来，控性分解的意义就能更直观地体现出来，(9-104(9-104，105)105)式的系统方块图如图式的系统方块图如图9-129-12所示

28、。所示。Pbb,PAPA1即可证明 具有定理所要求的(9-104)的形式。第94页/共213页96图9-12 系统按可控性分解第95页/共213页971x2x2x第96页/共213页98x001yu010 x110010011x2) 1s (1) s (g第97页/共213页99210111210bAAbbS2系统的可控性矩阵系统的可控性矩阵由于由于S S的第的第3 3列是第列是第1 1列与第列与第2 2列的线性组合，列的线性组合，系统不可控系统不可控 。1(001)Tq选取选取第98页/共213页1001010110011PbAbq010cPc,001Pbb,100021010PAPA11构

29、成构成110100101P第99页/共213页10110c01b2110A11121001rankbAbrank111) s (g) 1s (1012s11s10b)AsI(c211111第100页/共213页102三、线性系统的可观测性设n维单变量线性定常系统的动态方程为cxy,buAxx(9-113,114) 如果在有限时间间隔0, t1 内，根据输出值y(t)和输入值u(t)，能够唯一确定系统的初始状态x(0)的每一个分量，则称此系统是完全可观测的，简称可观的。式中A,b,c分别为 矩阵。1 1、 可观测性的定义,1,1n n nn第101页/共213页103图9-13 不可观测系统第1

30、02页/共213页104 分析(9-117)式，当知道某一时刻的输出时， (9-117)式是n个未知量x(0)的(一个)方程，显然不能唯一确定初值，要解出x(0) ，必须要利用一段时间上的输入和输出的值。将(9-117)式左乘一个列向量，再从0到t1积分就可得到n个未知数x(0)的n个方程。就可利用线性方程组存在唯一解的条件来研究。()0( )( )(0)( )tAtA tg tcx tce xcebud(9-117)我们考虑没有外作用的系统，可求出第103页/共213页105ncAcAcrank1n(9-118)(9-118)式中的矩阵称为可观性矩阵可观性矩阵。并记为V。第104页/共213

31、页106det0V nc)A(c)A(cAc rankT1nTT2TTTT取x(0)= ，这一非零的初始状态引起的输出为AtAtce)0(xce) t (y（9-120）0dtcecedet)t , 0(VdetAtt0TtA11T根据准备知识中的引理，存在第105页/共213页1071n0kkkAtA) t (e100111( )( )(0)( )( )( )0nkkknny tct A xccAtttcA第106页/共213页1082030111 0 xxuyx 试判断系统的可观测性。设系统动态方程为例题9-15第107页/共213页1090201cAcV系统可观性矩阵的秩，在对系统作可逆

32、线性变换下系统可观性矩阵的秩，在对系统作可逆线性变换下保持不变，因而可逆线性变换不改变系统的可观测性保持不变，因而可逆线性变换不改变系统的可观测性。 第108页/共213页110111n1n111111nVPPcAcAc)PAP(cPPAPcPcPAcAccV1P第109页/共213页111cxy,buAxxzbw, vczAzTTT系统系统 第110页/共213页112第111页/共213页113n上述条件就是约当形动态方程的可观测性判据。它可以由对偶系统的可控性判据得到。第112页/共213页114iic,xccccyu2010 x11x43212211第113页/共213页115x201

33、0yuccccx1010 x43212211由对偶系统的可控性判据可知，其可控的充要条件为. 0c, 0c,3121这也就是原系统可观测的条件。构造原系统的对偶系统如下：第114页/共213页116（9-122）式称为单输出系统的可观测标准形。 0121000010001000001000001nAc（9-122）第115页/共213页117xcy,ubxAxcxy,buAxx)xMx(xMx1（9-123）若有等价变换若有等价变换将其化为可观测标准形将其化为可观测标准形式中式中 具有具有(9-122)(9-122)的形式。的形式。Ac和第116页/共213页118zbw,uczAzTTTPz

34、z 化为下列的可控标准形，其变换矩阵为P.zcw,ubzAz11111111PbcPcbPPAATTT，第117页/共213页119TT11TT1T1TT1cPbb)P(cAP)P(AcMcbMbAMMA11TPM （9-134）比较上面两组式子，可知欲求之线性变换矩阵比较上面两组式子，可知欲求之线性变换矩阵它可将系统方程化为可观测标准形。它可将系统方程化为可观测标准形。第118页/共213页120 x11y,u11x1111x第119页/共213页12111b,1111A根据根据A,bA,b阵，按化可控标准形求变换阵的阵，按化可控标准形求变换阵的步骤求出步骤求出P P阵：阵：第120页/共2

35、13页1220121AbbS5 . 05 . 0h5 . 05 . 0100121S11015 . 05 . 0hAhP由由(9-128)(9-128)式求出式求出P P阵阵1120M,05 . 015 . 0015 . 05 . 0PM1TT由由(1-60)(1-60)式求出式求出M M阵阵第121页/共213页1231005 . 015 . 011cMc02111120bMb212005 . 015 . 011111120AMMA11第122页/共213页124若(9-113，114)的系统不可观测，且nncAcAcrank21n第123页/共213页125式中 是n2维向量, 是n-n2

36、维向量，并且1x2xnnAcAccrank21n111112（9-137）211212143121xx0cyubbxxAA0Axx（9-135）（9-136）第124页/共213页126 这可以用前面证明可观标准形的方法论证。这可以用前面证明可观标准形的方法论证。 (9-137)式表明n2维的子系统 (A1 b1 c1 )是可观的； 这部分状态变量是不可观的； (9-138)式表明传递函数未能反映系统的不可观部分。2x11111)()(1bAsIcbAsIcn系统按可观性分解的系统按可观性分解的结果结果(9-138)第125页/共213页127由图上可以看出传递函数完全由图中虚线以上的部分所决

37、定，即传递函数未能反映系统中不可观测的部分。第126页/共213页128) s (D) s (NAsIb)AsI(cadjb)AsI( c) s (g1（9-141）对应的传递函数为cxy,buAxx（9-140）考虑单变量系统，其动态方程为1 1、可控性、可观测性与零、极点对消问题第127页/共213页129AsI) s (Db)AsI(cadj) s (N N(s)=0的根称为传递函数g(s)的零点， D(s)=0的根称为传递函数g(s)的极点。下面是本段的主要结果。 动态方程式(9-140)可控、可观测的充分必要条件是g(s) 无零、极点对消，即D(s)和N(s)无非常数的公因式。第12

38、8页/共213页130首先用反证法证明条件的必要性，若有s=s0既使N(s0)=0，又使D(s0)=0，由(9-141)式即得0b)AIs(cadj,0AIs00(9-143)利用恒等式IAsIb )AsI(cadj)AsI()AsI)(AsI(1I )s(D)AsI(adj)AsI(可得(9-144)第129页/共213页131将s= s0代入(9-144)式，并利用(9-143)式，可得)AIs(Aadj)AIs(adjs000(9-145)将上式前乘c、后乘b后即有0)s(Nsb )AIs(cadjsb )AIs(cAadj00000（9-146）将(9-145)式前乘cA、后乘b后即有

39、0b )AIs(cAadjsb )AIs(adjcA0002（9-147）第130页/共213页132依次类推可得0b )AIs(adjcA0b )AIs(adjcA0b )AIs(cAadj0b )AIs(cadj)s(N01n0200这组式子又可写成0b )AIs(adjcAcAc01n第131页/共213页133因为动态方程可观测，故上式中前面的可观性矩阵是可逆矩阵，故有0b )AIs(adj00ss1b)AIs(adj1n000又由于系统可控，不妨假定A、b具有可控标准形(9-92)的形式，直接计算可知（9-148）第132页/共213页134101010146411210 xxuyx

40、 不难验证系统是可控、可观测的。不难验证系统是可控、可观测的。第133页/共213页135显然显然N(s)N(s)和和D(s)D(s)无非常数的公因式，这时无非常数的公因式，这时传递函数没有零、极点相消。事实上传递函数没有零、极点相消。事实上422342)1s()1s(1s4s6s4s1s2s)s(g1s4s6s4sAsI)s(D1s2sb)AsI(cadj)s(N2342分别计算分别计算 第134页/共213页136 已知动态方程，可以用(9-64)式计算出传递函数。如果给出传递函数如何找出它所对应的动态方程？这一问题称为传递函数的实现问题。 如果又要求所找出的动态方程阶数最低，就称为传递函

41、数的最小实现问题。第135页/共213页137设给定有理函数设给定有理函数011n1nn011n1n011n1nn011n1nn0asasasbsbsbdasasasdsdsdds)s(g(9-149)(9-149)式中的d 就是下列动态方程中的直接传递部分ducxy,buAxx(9-150)所以只需讨论(9-149)式中的严格真有理分式部分。第136页/共213页138011n1nn011n1nasasasbsbsb) s ( g(9-151)要求寻找 A,b,c，使得) s ( gb)AsI( c1(9-152)并且在所有满足(9-152)式的A,b,c中，要求 A 的维数尽可能的小。下面

42、分两种情况讨论第137页/共213页139 可控标准形的最小阶实现式(9-153) 对(9-151)式，可构造出如下的实现 (A ,b,c)1n101n210bbbc1000b1000001000010A(9-153)（1 1）g(s)g(s)的分子和分母的分子和分母无非常数公因式的情况无非常数公因式的情况第138页/共213页1401000cbbbb10001001000A1n101n210(9-154) 可观标准形的最小阶实现 (9-153)式给出的(A, b, c)具有可控标准形，故一定是可控的。可直接计算它对应的传递函数就是(9-151)的传递函数。由于g(s)无零、极点对消，故可知(

43、9-153)式对应的动态方程也一定可观。同样可以说明(9-154)式是(9-151)的可观标准形的最小实现。第139页/共213页141 若g(s)的分母已经分解成一次因式的乘积，通过部分分式分解，容易得到约当标准形的最小阶实现。现用例子说明,设g(s)有以下的形式)s(c)s(c)s(c)s(c)s()s(bsbsbsb)s(g)s(u)s(y4413212311431012233(9-155) 约当标准形的最小阶实现约当标准形的最小阶实现 因为g(s)无零、极点对消，故可知上式中c1c4均不为零。第140页/共213页142)s(us1)s(x)s(xs1)s(u)s(1)s(x)s(xs

44、1)s(u)s(1)s(x)s(us1)s(x44213113121213uxxxxxxxxuxx44421113212313分别对应于第141页/共213页143而44332211xcxcxcxcy综合上面各式并令 x=x1 x2 x3 x4T可得xccccyu1100 x001001x43214111由若当形方程的可控性判据和可观测性判据可知上式是可控、可观测的，因而它是g(s)一个最小阶实现。第142页/共213页144 若g(s)的分母是n阶多项式，但分子和分母有相消的公因式时,这时n 阶的动态方程实现就不是最小阶实现，而是非最小实现，(或是不可控的，或是不可观的，或是既不可控也不可观

45、的)。 g(s)的最小实现的维数一定小于n。（2 2）g(s)的分子和分母有相消因式的情况第143页/共213页145设g(s)的分子N(s)=s+1,而分母D(s)= ，分子与分母有公因子(s+1) 。1s2s2s23仿照(9-153)式，可写出g(s)的一个三维的可控标准形实现x011yu100 x221100010 x无须验证这个实现是可控的第144页/共213页146x100yu011x210201100 x因此这一实现是不可观的。同理，如果按(9-154)式构造如下的可观测标准形的三维实现，它一定是不可控的。2rankV121110011V计算可观测性矩阵第145页/共213页147

46、 当然也可以构造出g(s)的既不可控又不可观测的三维实现。现在将分子和分母中的公因式消去，可得1ss11s2s2s1s)s(g223 如果用上式中最后的式子，仿照(9-153)式或(9-154)式，构造出二维的动态方程实现，它是g(s)的最小实现。第146页/共213页148本节首先研究用状态变量作反馈的控制方式。系统的动态方程如下cxy,buAxx(9-157)令kxvu(9-158)一、一、状态反馈和极点配置问题式中的v 是参考输入，k称为状态反馈增益矩阵，这里它是1n 的向量。返回子目录返回子目录第147页/共213页149图9-15cxy,bvx)bkA(x(9-159)图9-15所示

47、的闭环系统的状态空间表达式为式中A-bk为闭环系统的系统矩阵。第148页/共213页150计算(9-159)式闭环系统的可控性矩阵，因为)bA,bA,Ab,b(bAb)bkA()bA,Ab,b(bA)Ab,b(bA)(bkA(b)bkA()Ab,b(bA)bdAb)(bkA(b)bkA(bdAbbkbAbb )bkA(2n21n1n232322的线性组合的线性组合的线性组合的线性组合1 1 状态反馈不影响可控性第149页/共213AAbbb)bkA(b)bkA(b1n1n上式中最后一个矩阵显然是非奇异矩阵，因此有bAAbbrankb)bkA(b )bkA(brank1

48、n1n(9-160)因此有第150页/共213页152式(9-160)表明，若原来系统可控，加上任意的状态反馈后，所得到的闭环系统也可控。若原来系统不可控，不论用什么k 阵作状态反馈，所得到的闭环系统仍然不可控。这一性质称为 状态反馈可能改变系统的可观测性状态反馈可能改变系统的可观测性。即原来可观的系统在某些状态反馈下，闭环可以是不可观的。同样，原来不可观的系统在某些状态反馈下，闭环可以是可观的。状态反馈是否改变系统的可观测性，要进行具体分析。第151页/共213页153xccy,u10 x1011x21下表列出了系统 c 阵参数、状态增益向量 k 和系统可观测性的关系。第152页/共213页

49、154 可观 任意 可观01 可观 1 111 不可观 1 2 可观11 不可观 0 110 可观 1 1 不可观10闭环系统 k 原系统 c2 c1 可观性的变化可以从闭环传递函数的极点变化、是否发生零极点对消来说明。第153页/共213页155 闭环方程(9-159)中的系统矩阵A-bk的特征值，一般称为闭环的极点。闭环系统的品质主要由闭环的极点所决定，而稳定性则完全由闭环极点所决定。 通过选取反馈增益阵来改变闭环特征值在复平面上的位置，称为状态反馈进行极点配置问题状态反馈进行极点配置问题。第154页/共213页156定理：定理： 闭环方程(9-159) 的系统矩阵A-bk 的特征值可以由

50、状态反馈增益阵 k 配置到复平面的任意位置，其充分必要条件是(9-157)式的系统可控。先证充分性 因为(9-157)式的系统可控,则存在可逆矩阵P，将(9-157)式的系统通过 的变换化为可控标准形。Pxx 第155页/共213页1571n101n10cccc100baaa1010AxcyubxAx式中(9-161)现引入1n10kkkk（9-162）第156页/共213页158xkvxkPvkxvu11kkPkkP)ka ()ka ()ka (1110kbA1n1n1100（9-163）第157页/共213页159)kbA(sIdet)ka (s )ka (s )ka (s00111n1n

51、1nn)PbkPPAP(sIdet)kbA(sIdet11)bkA(sIdetP)kbA(sIPdet1故 的特征式即是 的特征式，所以 和 有相同的特征值。bkA kbA bkA kbA 第158页/共213页160设任意给定的闭环极点为 , 且n21,011n1nnn21sss)s()s)(s(9-166)式中 完全由 所决定。比较 (9-165a)式和(9-166)式可知，若要(9-166)的根为 ，需有)1n,2 ,1i(iiiiiiiiiak)1n , 1 , 0i (ka(9-167)这说明任意给定闭环n个极点，均可通过(9-167) 、(9-163)式确定，使A-bk具有给定的n

52、个特征值，充分性证毕。kkP而第159页/共213页161 若系统(9-157)可任意配置闭环特征值，要证明系统(9-157)可控。用反证法，若系统(9-157)不可控，则存在一个可逆矩阵，通过等价变换后，可将(9-157)式转换为(9-104，105)的可控分解形式。4212111211421A0kbAkbAkk0bA0AAkbAkA4的特征值不受 的影响，即A-bk中的一部分特征值不受k 的影响，这与可任意配置A-bk的特征值相矛盾。矛盾表明系统(9-157)可控。121114221122(9 104)00(9 105)AAxbxuAxxxyccdux 第160页/共213页162 计算A

53、的特征式011n1nnasasas)AsIdet( 由所给的n 个期望特征值 ， 计算期望的多项式n21,011n1nnn21sss)s()s)(s(第161页/共213页163 根据(9-94) 式，计算化可控标准形的坐标变换阵PPkk 求出反馈增益阵 上述步骤中有化可控标准形这一步。如果不经过这步，也可直接求k。)aaa(k1n1n1100 求k21nhhAPhAhA第162页/共213页164u1010 x01100100001000010 x系统状态方程为若加状态反馈使闭环特征值分布为-1,-2,-1+j,-1-j，试求状态反馈增益阵k。例9-21第163页/共213页165方法一、通

54、过化可控标准形求解242211)11()det(ssssAsI 计算A的特征式 由所给的4 个期望特征值，计算期望的多项式4s10s10s5s)2s2s)(2s)(1s(2342解：第164页/共213页166 求出反馈增益阵100001001 . 01 . 0001 . 001 . 0PPkk=-0.4 -1 -21.4 -6 根据(9-94) 式，计算化可控标准形的坐标变换阵P 求52110405111001004k第165页/共213页167令 ，计算A-bk的特征式4321kkkkk 432241321()(11)1010sIA bkskk skksk sk比较两个特征式的系数可得4k

55、10,10k10,1011kk, 5kk123142所以可得 k=-0.4 -1 -21.4 -6 第166页/共213页168)2s)(1s( s10)s(u)s(y有一系统的传递函数为有一系统的传递函数为要求用状态反馈的方法，使得闭环系要求用状态反馈的方法，使得闭环系统的特征值为统的特征值为-2,-1+j,-1-j-2,-1+j,-1-j。第167页/共213页169 首先要将系统用状态方程写出，即构造出传递函数的实现，为了计算方便，取可控标准形实现x0010yu100 x3201010 x反馈增益向量k可写成210kkkk 闭环系统的特征方程为0ks )k2(s )k3(s01223第1

56、68页/共213页170按给定极点，期望多项式为4s6s4s)j1s)(j1s)(2s(23 比较上两特征多项式，令s同次的系数相等，可得1k4k4k210或 k=4 4 1 第169页/共213页171第170页/共213页172二、状态观测器 为了实现状态反馈，须对状态变量进行测量，但在实际系统中，并不是所有的状态变量都能测量到的。因此为了实现状态反馈控制律，就要设法利用巳知的信息（输入量及输出量），通过一个模型来对状态变量进行估计。状态观测器又称状态渐近估计器。第171页/共213页173 一个明显的方法是利用计算机构成一个与实际系统具有同样动态方程的模型系统，用模型系统的状态变量作为系

57、统状态变量的估计值，见图。第172页/共213页174 由于图9-17中未能利用系统的输出信息对误差进行校正，所以用图9-17得到的估计值是一个开环估值。 一般系统的输入量u和输出量y均为已知，因此希望利用y=cx与 的偏差信号来修正 的值，这样就形成了图9-18的闭环估计方案。 x cy x 第173页/共213页175第174页/共213页176 根据图9-18所表示的关系可写出观测器部分的状态方程Hybux )HcA()x cy(Hbux Ax (9-169)由(9-169)式和系统方程式可求出观测误差 应满足的方程式x xxx)HcA()x x)(HcA()xx (Hc)x x(AHc

58、xbux )HcA(buAxx xx(9-170)第175页/共213页177(9-170) 式表明，只要A-Hc的特征值均在复平面的左半部， 随着 t 的增长而趋向于零，而且趋于零的速度由A-Hc 的特征值所决定。于是有下面极点可任意设置的状态观测器定理x定理定理：若系统(A,b,c)可观测, 则(9-169)式给出了系统的一个n 维状态观测器，并且观测器的极点可以任意配置。第176页/共213页178x02yu10 x3210 x第177页/共213页1790h20h202hhHc,hhH212121观测器的特征方程为观测器的特征方程为0)2h2h6(s )3h2(s3sh221h2s)H

59、cA(sI211221第178页/共213页180根据给定的特征值，可求出期望的多项式为100s20s)10s(22比较上述两多项式中s的同次项系数得5 .23h,5 .8h21因此观测器的方程为y5 .235 .8u10 x 349117x 第179页/共213页181若原系统(对象)方程为cxy,buAxx(9-171)现以状态观测器所得到的状态估计值 代替原系统的状态变量 x 形成状态反馈，即x x kvu(9-172)而观测器的方程为Hybux )HcA(x (9-173)第180页/共213页182 由对象、观测器和状态反馈组合而成的闭环系统的方框图如图9-19所示。图9-19 带观

60、测器的状态反馈系统第181页/共213页183将(9-172)式代入(9-171)式和(9-173)式，可分别得到buHcxx )bkHcA(x cxy,bvx bkAxx(9-174)(9-175)TTTx x取状态变量为x x0cyvbbx xbkHcAHcbkAx x(9-176)(9-177)第182页/共213页184将(9-176) 、(9-177)式的动态方程进行如下的坐标变换x xII0Ixx(9-178)II0IPII0IP1所得到的动态方程为：xx0cyv0bxxHcA0bkbkAxx(9-179)(9-180)第183页/共213页185b)bkA(sIc)s(g1f闭环