线性代数 行列式的定义PPT学习教案

1、会计学 Linear Algebra 线 性 代 数 谢 松 法 华中科技大学数学与统计学院 第1页/共38页一、一、教学内容教学内容 线性代数是工科各专业必修的重要基础理论课，线性代数是工科各专业必修的重要基础理论课， 线性代数的主要内容包括：行列式、矩阵、向量代数、线性代数的主要内容包括：行列式、矩阵、向量代数、 是工科是工科 线性代数在工程技术、科学研究线性代数在工程技术、科学研究 本课堂仅介绍前六个方面的内容，且其中本课堂仅介绍前六个方面的内容，且其中带带 “*” 号号 学习线性代数的难点在于学习线性代数的难点在于“入门入门”，即如何尽快地去理解，即如何尽快地去理解 和适应它所引入的和

2、适应它所引入的新的数学语言与数学工具新的数学语言与数学工具。 数学教学的主要课程之一。数学教学的主要课程之一。 和各行各业中有着广泛的应用。和各行各业中有着广泛的应用。 线性方程组、特征值与特征向量、二次型、线性空间与线性线性方程组、特征值与特征向量、二次型、线性空间与线性 变换等变换等。 的内容不需要掌握。的内容不需要掌握。 第2页/共38页二、教学及考核方式二、教学及考核方式考试方式：考试方式： 闭卷闭卷作业：作业： 每周一次每周一次主要参考书（略）主要参考书（略）答疑：答疑： 每周一次每周一次课堂教学：课堂教学： 40 学时学时考试成绩：考试成绩： 作业占作业占 20%，考试占，考试占8

3、0%( (练习册练习册) )第3页/共38页第一章第一章 行列式行列式1.2 行列式的性质与计算行列式的性质与计算1.3 克莱姆克莱姆 (Cramer) 法则法则1.1 行列式的定义行列式的定义第4页/共38页1.1 行列式的定义行列式的定义一、一、二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式二、二、n 阶行列式阶行列式第5页/共38页利用消元法求解二元线性方程组利用消元法求解二元线性方程组 .,22221211212111bxaxabxaxa)1()2(,2212221212211abxaaxaa ,1222221212112abxaaxaa 一、一、二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式;)(2122211

4、21122211baabxaaaa 行列式的引入来源于求解线性方程组，行列式的引入来源于求解线性方程组，求解是数学与工程中最基本的问题之一。求解是数学与工程中最基本的问题之一。而线性方程组的而线性方程组的12)2(a 得得22)1(a 得得两式相减消去两式相减消去 得得,2x引例引例 P 1 第6页/共38页.)(211211221122211abbaxaaaa 方程组的解为方程组的解为两式相减消去两式相减消去 得得;)(212221121122211baabxaaaa ,2x类似地，消去类似地，消去 得得,1x当当 时，时，021122211 aaaa由此引入二阶行列式的定义由此引入二阶行列

5、式的定义第7页/共38页22211211aaaa称下式为称下式为二阶行列式二阶行列式 .2112221122211211aaaaaaaaD 定义定义 对角线法对角线法副对角线副对角线主对角线主对角线2211aa .2112aa 一、一、二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式1. 二阶行列式二阶行列式 P 2 第8页/共38页 利用二阶行列式求解二元线性方程组利用二阶行列式求解二元线性方程组对于二元线性方程组对于二元线性方程组,22221211212111 bxaxabxaxa当当 时，时，021122211 aaaa方程组的解为方程组的解为211222112122211aaaabaabx 21122

6、2112112112aaaaabbax ,2221211ababD .2211112babaD 其中其中,22211211aaaaD ,1DD 记记,2DD 记记问题问题当当 时，时，021122211 aaaa方程组的解会怎么样？方程组的解会怎么样？ P 2 第9页/共38页,010212 ,2 43 22 1 D,7 31 23 2 DDDx11 ,51102 DDx22 .107 41 23 D解解例例 . 34, 2232121xxxx求解二元线性方程组求解二元线性方程组( (惟一解惟一解) )第10页/共38页,01212 ,0 44 22 1 D,0 46 23 2 DDDx11

7、,?00 DDx22 46 23 D解解例例 .446,2232121xxxx求解二元线性方程组求解二元线性方程组( (无穷多解无穷多解 ? ) ) .?00 第11页/共38页,01212 ,4 46 22 1 D,6 66 23 2 DDDx11 ,?04 DDx22 46 23 D解解例例 .646,2232121xxxx求解二元线性方程组求解二元线性方程组( (无解无解 ? ) ) .?06 第12页/共38页2. 三阶行列式三阶行列式一、一、二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式1. 二阶行列式二阶行列式利用消元法求解三元线性方程组利用消元法求解三元线性方程组,11DxD 逐步消去逐步消去

8、 可得可得32, xx引例引例其中其中322113312312332211aaaaaaaaaD ,312213332112322311aaaaaaaaa 3221332312332211ababaaaabD .322133321232231baaabaaab 由此引入三阶行列式的定义由此引入三阶行列式的定义补补 第13页/共38页333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 称下式为称下式为三阶行列式三阶行列式 定义定义.312213332112322311aaaaaaaaa 2. 三阶行列式三阶行列式一、一、二阶与三阶行列式

9、二阶与三阶行列式1. 二阶行列式二阶行列式问题问题三阶行列式有何计算规律？它与二阶行列式如何统一？三阶行列式有何计算规律？它与二阶行列式如何统一？补补 第14页/共38页333231232221131211aaaaaaaaaD (1) 对角线法对角线法332211aaa312312aaa 322113aaa 312213aaa 332112aaa .322311aaa D 三阶行列式计算规律的三阶行列式计算规律的探讨探讨 ?补补 第15页/共38页333231232221131211aaaaaaaaaD 323122211211aaaaaa.312213332112322311aaaaaaaa

10、a (2) 沙路法沙路法 三阶行列式计算规律的三阶行列式计算规律的探讨探讨 ?322113312312332211aaaaaaaaa D 补补 第16页/共38页(3) 排列法排列法 333231232221131211aaaaaaaaaD 三阶行列式共有三阶行列式共有 6 项，即项，即 3! 项项每项都是位于每项都是位于不同行不同行不同列不同列的三个元素的乘积的三个元素的乘积.)1(321321321321)( jjjjjjjjjaaa 为排列为排列 的的逆序数逆序数 (?)(321jjj 321jjj为自然数为自然数 的一个排列的一个排列;3, 21，321jjj其中其中322113312

11、312332211aaaaaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa 三阶行列式计算规律的三阶行列式计算规律的探讨探讨 ?补补 第17页/共38页(4) 递推法递推法 三阶行列式计算规律的三阶行列式计算规律的探讨探讨 ?利用已定义的二阶行列式来计算三阶行列式，利用已定义的二阶行列式来计算三阶行列式，即即333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa 3332232211aaaaa 3331232112aaaaa .3231222113aaaaa

12、补补 第18页/共38页 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 .243122421 D计算三阶行列式计算三阶行列式例例按对角线法则，有按对角线法则，有解解第19页/共38页1229184322 xxxxD, 652 xx方程左端为方程左端为解解例例.094321112 xx求解方程求解方程由由 解得解得0652 xx.3 x2 x或或第20页/共38页 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组对于三元线性方程组对于三元线性方程组,3332323222131211aabaabaabD ,33231222211

13、12113baabaabaaD ,3333123221131112abaabaabaD 则三元线性方程组的解为则三元线性方程组的解为,11DDx ,22DDx .33DDx ,333231232221131211aaaaaaaaaD 令令补补 第21页/共38页,8 . 1, 235, 142321321321xxxxxxxxx求解线性方程组求解线性方程组例例解解1 1 13 5 11 4 2 D1113521411 D,11 1113211122 D,9 1112511423 D,6 ,81111 DDx故方程组的解为故方程组的解为,8922 DDx.8633 DDx第22页/共38页由题意

14、得由题意得求一个二次多项式求一个二次多项式 使使.28)3(,3)2(,0)1( fff, )(xf例例,)(2cbxaxxf 设所求的二次多项式为设所求的二次多项式为解解 ,2839,324,0cbacbacba,20,60,40321 DDD,32 DDb.13 DDc.132)(2 xxxf故所求多项式为故所求多项式为,020 D由由,21 DDa有有第23页/共38页二二、n 阶行列式阶行列式前面从二元与三元线性方程组的求解问题出发，分别前面从二元与三元线性方程组的求解问题出发，分别 引出了二阶与三阶行列式的概念，引出了二阶与三阶行列式的概念， 那么，这些行列式的概念以及线性方程组的求

15、解方法那么，这些行列式的概念以及线性方程组的求解方法 阶行列式求解二元与三元线性方程组的方法。阶行列式求解二元与三元线性方程组的方法。 能否推广并应用到能否推广并应用到 n 元线性方程组的求解问题呢？元线性方程组的求解问题呢？ 在对三阶行列式的计算所探讨的几种规律中，到底哪一种在对三阶行列式的计算所探讨的几种规律中，到底哪一种 更具有一般性呢？更具有一般性呢？ 并给出了利用二阶与三并给出了利用二阶与三 特别是特别是 P 2 第24页/共38页二二、n 阶行列式阶行列式经过前人不懈的努力，终于摸索出了统一的规律。经过前人不懈的努力，终于摸索出了统一的规律。本课堂将采用递推法来定义一般的行列式，本

16、课堂将采用递推法来定义一般的行列式，避开诸如排列、逆序等一些概念。避开诸如排列、逆序等一些概念。人们发现前面提到的人们发现前面提到的对角线法对角线法与与沙路法沙路法并不适合一般并不适合一般 的情形，的情形， 还是对排列法有所了解。还是对排列法有所了解。而而排列法排列法与与递推法递推法才是真正可以推广的方法。才是真正可以推广的方法。 其目的是其目的是不过有兴趣的同学最好不过有兴趣的同学最好 P 2 第25页/共38页并按照特定的运算法则对应到并按照特定的运算法则对应到二二、n 阶行列式阶行列式1. 余子式和代数余子式余子式和代数余子式.2121222221111211nnjnnnnijiiinj

17、njaaaaaaaaaaaaaaaaD 把元素把元素 ai j 所在的所在的第第 i 行行和和第第 j 列列划去后，划去后，(n 1) 列元素组成列元素组成 (n 1) 阶行列式，阶行列式，剩下的剩下的 (n 1) 行行即：即：将将 个数排成个数排成 n 行行 n 列列, nn 一个数，一个数，（?）称之为称之为 n 阶行列式阶行列式，记为记为 P 3 第26页/共38页nnjnjnnijijiijijijiinjjjiaaaaaaaaaaaaaaaaM1,1, 11, 11, 11, 11 , 1, 11, 11, 11 , 111, 11, 111 二二、n 阶行列式阶行列式1. 余子式和

18、代数余子式余子式和代数余子式称称 Ai j 为元素为元素 ai j 的的代数余子式代数余子式 .称称 Mi j 为元素为元素 ai j 的的余子式余子式 .定义定义，jijijiMA )1(记记 P 3 第27页/共38页,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 设行列式设行列式例如例如233223)1(MA 23M 44424134323114121123aaaaaaaaaM 则则为元素为元素 a23 的余子式，的余子式，为元素为元素 a23 的代数余子式的代数余子式 .注意注意无论是行列式还是余子式，其结果都是无论是行列式还是余子

19、式，其结果都是“数数”.那么它们到底以什么样的那么它们到底以什么样的运算法则运算法则得到一个数呢？得到一个数呢？第28页/共38页二、二、n 阶行列式阶行列式1. 余子式和代数余子式余子式和代数余子式2. 行列式的递推定义行列式的递推定义定义定义称下式为称下式为 n 阶行列式阶行列式 当当 时，时，1 n当当 时时. .1 n其中其中 为为 的代数余子式的代数余子式 . .1iA1ia ,11a,1121211111nnAaAaAa P 3定义定义1.1第29页/共38页4009302008 40010522007 93010522006 4321 08 )32(2)1(6 02)1(7 .4

20、8 计算行列式计算行列式例例.40069307105282001 D40093010521 D解解第30页/共38页定理定理nnjnnnnjnjaaaaaaaaaaaaD21222221111211 其中其中 为为 的代数余子式的代数余子式 . .jiAjia对于任意的对于任意的 j , )1(nj 都有都有 称此计算方式为称此计算方式为将行列式按第将行列式按第 j 列展开列展开 . .当当 时，时，1 n当当 时时. .1 n ,11a,2211jnjnjjjjAaAaAa 将行列式按任意列展开将行列式按任意列展开 证明证明(略略)P 5定理定理1.1第31页/共38页计算行列式计算行列式207715303 D例例.27 解解按第二列展开，得按第二列展开，得 )1()1(22D2733 第32页/共38页4069372