26.2.2向量的减法运算

1、6 2.2 向量的减法运算考点学习目标核心素养相反向量理解相反向量的概念数学抽象向量的减法掌握向量减法的运算法则及其几何意义数学抽象、直观想象问题导学预习教材 P11P12 的内容，思考以下问题：1a 的相反向量是什么？2向量减法的几何意义是什么？1相反向量(1) 定义 ：与 a 长度相等，方向相反的向量，叫做 a 的相反向差，记作 a，并且规定， 零向量的相反向量仍是零向量(2) 结论 (a)a，a( a) (a)a0；如果 a 与 b 互为相反向量，那么 a b，b a，ab 0名师点拨相反向量与相等向量一样， 从“长度 ”和“方向 ”两方面进行定义， 相反向量必为平行 向量2向量的减法(

2、1) 向量 a 加上 b 的相反向量，叫做 a 与 b 的差，即 a b a (b) 求两个向量差的 运算叫做向量的减法(2) 作法 ：在平面内任取一点 O，作 OA a， OB b，则向量 BA ab，如图所示(3) 几何意义： a b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量名师点拨(1) 减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量(2) 在用三角形法则作向量减法时，只要记住“ 连接向量终点，箭头指向被减向量可(3) 对于任意两个向量 a，b，都有 |a| |b|ab|a|b|.判断 (正确的打“”，错误的打“×”)(1) 两个相等向量之差等于 0.()(2) 两个相

3、反向量之差等于 0.()(3) 两个向量的差仍是一个向量 ( )(4) 向量的减法实质上是向量的加法的逆运算( )答案： (1) (2) × (3) (4)在平行四边形 ABCD 中，下列结论错误的是 ( )A. AB DC 0B.AD BAACC.AB AD BDD.AD CB 0答案： C设 b是 a 的相反向量，则下列说法一定错误的是( )Aa与 b 的长度相等BabCa与 b一定不相等Da是 b的相反向量答案： C在平行四边形 ABCD 中，向量 AB 的相反向量为 答案： BA， CD向量的减法运算化简下列各式：（1）（ABMB）（OBMO）；（2）ABAD DC解】 (1

4、)法一： 原式 ABMBBOOM (ABBO)(OMMB) AOOBAB.法二： 原式 ABMBBO OM AB（MB BO）OMABMOOMAB0AB.(2)法一： 原式 DB DCCB.法二： 原式 AB(AD DC)ABACCB.向量减法运算的常用方法1下列四个式子中可以化简为 AB的是 () AC CD BD ； AC CB； OAOB ； OB OA.A BCD解析：选 A.因为ACCDBDADBDADDBAB，所以 正确，排除 C，D； 因为OBOAAB，所以 正确，排除 B.故选 A.2化简下列向量表达式： （1）OM ONMPNA； （2）（ADBM）（BCMC）解： (1)O

5、MONMPNANMMPNA NPNAAP. （2）（ADBM）（BCMC）ADMBBCCMAD （MBBCCM）AD 0AD.向量的减法及其几何意义如图，已知向量 a， b，c 不共线，求作向量 ab c.【解】法一： 如图 ，在平面内任取一点 O，作 OAa，OBb，OCc，连接 BC，则CBbc.过点 A 作 AD 綊 BC，连接 OD ，则ADbc，所以 ODOAAD abc.法二： 如图 ，在平面内任取一点 O，作OA a， AB b，连接 OB ，则 OB a b，再作 OCc，连接 CB， 则 CB ab c.法三： 如图 ，在平面内任取一点 O，作 OAa，AB b，连接 OB，

6、则 OBab，再作 CB c，连接 OC，则 OC ab c.求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如ab，可以先作 b，然后作 a( b)即可(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个 向量的终点，指向被减向量的终点的向量如图，已知向量 a， b， c，求作向量 a b c.解：在平面内任取一点 O，作向量 OAa，OBb，则向量 BAab，再作向量 BC c，则向量 CA ab c.用已知向量表示其他向量如图所示，四边形 ACDE 是平行四边形，点 B 是该平行四边形外一点，且 ABa，AC b， AEc， 试用向量 a，b，c

7、表示向量 CD ， BC ，BD .解 】 因为四边形 ACDE 是平行四边形，所以 CDAEc，BCACAB ba， 故BDBCCDb ac.用已知向量表示其他向量的三个关注点(1) 搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的 关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道(2) 注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题(3) 注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则例如，在四边形ABCD 中， ABBC CDDA0.解析： 因为 BA CD，BAOAOB，CDODOC，所以 ODOCOAOB，ODOAOB OC，所以 OD a

8、bc.答案： ab c2已知 O 是平行四边形ABCD 的对角线 AC 与 BD 的交点，若 ABa，BC b，ODc.试证明： ab cOB.证明： 如图， acABODDCOD OC，OBb OBBC OC，所以 ac OBb， 即 ab c OB.1在 ABC 中， D 是 BC 边上的一点，则 ADAC等于 ()A.CBB.BCC.CDD.DC解析：选C.在ABC中，D是 BC边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得ADACCD. 2化简：解析：ABACBD CDAD 原式 CBBDDC ADCDDCAD0ADAD.答案： AD3已知 |AB|10，|AC|7，则 |CB|的取值范围

9、为 解析 ：因为 CBAB AC，所以 |CB|AB AC|.又|AB|AC|ABAC|AB|AC|，3|ABAC|17，所以 3 |CB|17.答案 ：3，17 4若 O 是 ABC 所在平面内一点，且满足 |OBOC|OBOAOCOA|，试判断 ABC 的形状解： 因为 OBOAOCOAABAC，OBOC CBABAC. 又 |OB OC| |OB OAOC OA|，所以|ABAC|ABAC|，所以以 AB，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以该平行四边形为矩形，所以AB AC，所以 ABC 是直角三角形A 基础达标 CabD ab解析： 选 B.CB CA ABCA (B

10、A) ba.解析：选 B.EFEOOFOFOEEOFO OEFO.故选B.3如图，在四边形 ABCD 中，设 ABa，ADb，BCc，则 DC()A a b cCa b cB b(ac)D bac解析： 选 A.DCDAABBCab c.4给出下列各式： ABCABC； AB CD BD AC ； ADODAO； NQMPQPMN. 对这些式子进行化简，则其化简结果为 0 的式子的个数是 ( ) A 4B 3C2D 1 解析： 选 A.ABCABC ACCA0； ABCDBDACABBD (AC CD ) ADAD0；ADODAOAD DOOAAOOA0；NQMPQPMNNQ QPMNMPNP

11、PN0.5对于菱形 ABCD ，给出下列各式： ABBC； |AB|BC|； |ABCD|ADBC|； |ADCD|CDCB|.A.EFOFOEB.EFOFOE2若 O，E，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )C.EF OF OED.EFOFOE其中正确的个数为 ( )A1B2C3D4所以 正确，错误；因为解析： 选 C.由菱形的图形，可知向量 AB与 BC的方向是不同的，但它们的模是相等的， |ABCD|ABDC|2|AB|，|ADBC|2|BC|，且 |AB|BC|， 所以 |ABCD|ADBC|，即 正确；因为 |ADCD|BCCD|BD|，|CDCB|CDBC|BD|，所

12、以 正确综上所述，正确的个数为3，故选 C.6若 a，b 为相反向量，且 |a| 1，|b|1，则|ab|，|ab|解析：若 a，b为相反向量，则 a b 0，所以|a b| 0，又 ab，所以|a|b|1， 因为 a 与 b 共线，所以 |a b| 2.答案： 0 27已知 ?ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于 O，且 OAa， OBb， 则DC，BC (用 a，b 表示 )解析： 如图， DCABOBOAba，BCOCOB OAOB ab.答案： ba a b 8给出下列命题： 若ODOEOM，则 OMOEOD； 若ODOEOM，则 OM DO OE ； 若ODOEOM，则 OD

13、EO OM ； 若ODOEOM，则 DO EO MO . 其中正确命题的序号为 解析： 因为 OD OE OM，所以 ODOM OE，正确； 因为 OM ODOE，所以 OM DOOE，正确； 因为 OE EO，所以 OD EOOM ，正确； 因为 OM OD OE，所以 MODOEO，正确(5)BFBD解： (1)ACOC OAca.(2)AD AOODODOA da.(3)AD ABBDODOBdb.(4) ABCF OBOAOFOCbafc.(5)BFBD OFOB(ODOB)OFODfd.10如图所示， ?ABCD 中，(1)用 a，b 表示AC，DB；(2)当 a，b 满足什么条件时

14、，ab 与 ab 所在直线互相垂直？解： (1)ACAD ABba，DBABAD ab.答案： 9.如图，已知 OAa，OBb，OC c，OD d，OF f ，试用 a，b，c， d， f 表示以下向量：(1)AC；(2)AD； (3) AD AB；(4)ABCF；(2)由(1)知 a bAC，a bDB.因为 a b 与 a b 所在直线垂直，所以 AC BD.又因为四边形 ABCD 为平行四边形，所以四边形 ABCD 为菱形，所以 |a|b|.所以当 |a| |b|时， ab与 ab 所在直线互相垂直B 能力提升 11给出下面四个结论： 若线段 ACAB BC，则向量 ACABBC； 若向

15、量 ACAB BC，则线段 AC ABBC； 若向量 AB与BC共线，则线段 ACAB BC； 若向量 AB与BC反向共线，则 |AB BC| AB BC.其中正确的结论有 解析： 由 ACABBC 得点 B 在线段 AC 上，则 AC ABBC，正确 三角形内 ACAB BC，但 ACABBC，错误 AB， BC反向共线时， |AC|ABBC|AB|BC|，也即 ACABBC，错误 AB， BC反向共线时， |ABBC|AB（ BC）|ABBC，正确答案： 12已知|OA|a，|OB|b（a>b），|AB|的取值范围是 5，15，则 a，b 的值分别为 解析 ：因为 ab|OA|OB|

16、OAOB| |AB| |OA| |OB| a b，a b 15，a 10，所以 解得a b 5，b5.答案 ：10 513在 ABC 中， |AB|BC|CA|1，则|ABBC|解析： 如图，在 ABD 中，ABBD1，ABD 120°，ABBCABCB AB BD AD.易求得 AD 3，即 |AD| 3.所以 |AB BC| 3.答案： 314如图所示，点 O 是四边形 ABCD 内任一点，试根据图中给出的向量，确定a， b，c，d的方向 （用箭头表示 ），使 abBA，cdDC，并画出 bc和 ad.解：因为 abBA，cdDC，所以 a OA，bBO，cOC，d OD .如图所示，作平行四边形 OBEC ，平行四边形 ODFA.根据平行四 边形法则可得， bcEO， adOF.b.15已知 ABC 是等腰直