微积分的研究对象

1、大学文科数学大学文科数学福建师范大学数计学院 什么是数学？什么是数学？ 数学是研究现实世界的数量关系和空间数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的一门科学（恩格斯）形式的一门科学（恩格斯） 数学的地位？数学的地位？ 数学是科学的皇后（高斯）数学是科学的皇后（高斯） 数学的分支数学的分支 算术、高等代数、欧式几何等算术、高等代数、欧式几何等25个分支个分支1 微积分的基础微积分的基础 牛顿的流数法牛顿的流数法 变量变量 - “流量流量” 变量的微小变化变量的微小变化- “瞬瞬” 认为认为“瞬瞬”是非零增量，又认为被它所是非零增量，又认为被它所乘的那些项可以算作没有。乘的那些项可以算作没有。332

2、2()33xoxxxooo 极限、实数、集合在微积分中的作用极限、实数、集合在微积分中的作用 柯西创建柯西创建“极限理论极限理论”+魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯 无穷小无穷小=以零为极限的变量以零为极限的变量 严格极限理论严格极限理论 极限是微积分的理论基础，极限的运算极限是微积分的理论基础，极限的运算封闭性。例：封闭性。例：1,1，1.4， 1.41， 1.414， 实数系的建立及领域概念实数系的建立及领域概念 N Z Q R C 有理数处处稠密，但不是完全覆盖数轴有理数处处稠密，但不是完全覆盖数轴 不是有理数！不是有理数！ 实数具有连续性，在微积分中所指的数实数具有连续性，在微积分中所指的数均

3、值实数。均值实数。2 领域概念领域概念 以点以点 为中心，为中心， 为半径的邻域为半径的邻域0 x0(, )U x 1.2 微积分的研究对象微积分的研究对象函数函数 伽利略经过精确的实验，测得自由伽利略经过精确的实验，测得自由落体的运动方程：落体的运动方程： 221gts 在力学中，质量为在力学中，质量为m，速度为，速度为v的物的物体运动时所具有的能量（称为动能）体运动时所具有的能量（称为动能） 221mvE 在电学中，电流强度为在电学中，电流强度为I 的电流通过的电流通过电阻为电阻为R的导线时，在单位时间内所的导线时，在单位时间内所产生的热量产生的热量 221RIQ 在几何中半径为在几何中半

4、径为r的圆的面积的圆的面积 2rS 上述这些变量之间的关系都有一个相同的抽象形式上述这些变量之间的关系都有一个相同的抽象形式 2xky 这就是一个函数关系式。这就是一个函数关系式。 如果将这个函数关系的性质研究清楚了，那么如果将这个函数关系的性质研究清楚了，那么前面的那些实际变量之间的关系的性质也就清楚了前面的那些实际变量之间的关系的性质也就清楚了. . 数学的一个特点是它的高度抽象性，随之也就数学的一个特点是它的高度抽象性，随之也就具有应用的广泛性具有应用的广泛性. . 下面给出函数的一般定义下面给出函数的一般定义. . . ),()(DxxfyyDfRf 一、函数概念一、函数概念全全体体函

5、函数数值值组组成成的的集集合合称称为为函函数数的的值值域域,记记为为fR或或)(Df,即即 定义定义 设数集设数集R D, ,D ，如果对，如果对D中的每一中的每一个个x，按照某个对应法则，按照某个对应法则f，有唯一的数，有唯一的数R y与之对与之对应， 则称应， 则称f是定义在是定义在D上的一个函数， 记为上的一个函数， 记为)(xfy ，Dx 。其中。其中D称为称为定义域定义域。 x称为称为自变量自变量，y称为称为因变量因变量. . 在在函函数数的的定定义义中中， 对对于于每每个个)( fDx ， 对对应应的的函函数数值值)(xfy 是是唯唯一一的的(因因此此,也也称称为为单单值值函函数数

6、)， 注意：注意：例如，例如，2xy 而而对对于于每每个个)( fRy )，以以之之作作为为函函数数值值的的自自变变量量 x 不不一一定定唯唯一一. 是定义在是定义在R上的一个函数，上的一个函数，它的值域是它的值域是 0|)( yyfR对于每个函数值对于每个函数值)( fRy ，对应的自变量有两个，即，对应的自变量有两个，即yx 和和yx . 确定函数的两要素：确定函数的两要素：定义域定义域、值域、值域和对应法则。和对应法则。例例1 1 判断下列各对函数是否相同？判断下列各对函数是否相同？ （1 1）1 , 1 tsxy （2 2）xxyxy2 , 相同相同（3 3）2 ,xyxy 不同不同

7、(定义域不同定义域不同)（4 4）33 ,xyxy 不同不同 (对应法则不同对应法则不同)（5 5）xyxyln2 ,ln2 相同相同不同不同 (定义域不同定义域不同)(1) 根据实际问题；根据实际问题；(2) 自然定义域：使算式有意义的一切实数值自然定义域：使算式有意义的一切实数值.如何求函数的自然定义域？如何求函数的自然定义域？ ( (d) )xarcsin或或xarccos, ,1 x； (a) 分式的分母不等于零；分式的分母不等于零； (b) 偶次根号内的式子应大于或等于零；偶次根号内的式子应大于或等于零； (c) 对数的真数应大于零；对数的真数应大于零； ( (e) )若函数的表达式

8、由多项组成若函数的表达式由多项组成, ,则定义域为各项则定义域为各项定义域的交集；定义域的交集；(f )分段函数的定义域是各段定义域的并集分段函数的定义域是各段定义域的并集.定义域的确定：定义域的确定：例例2 2 求下列函数的求下列函数的( (自然自然) )定义域。定义域。 因此，函数的定义域为因此，函数的定义域为xxy 22) 1 ()23ln(1)2( xy225151arcsin)3(xxy 解解,022) 1 ( xx，22 x即定义域为即定义域为. )2, 2 ,0)23ln(023)2( xx,13/2 xx即即. ), 1 () 1,32( D225151arcsin)3(xxy

9、 ,25151)3(2 xx,5564 xxx4 65 5,54 x因此，函数的定义域为因此，函数的定义域为.54）， D1）图象法）图象法2）表格法）表格法3）解析法）解析法(公式法公式法).)(),(),(的图形的图形函数函数称为称为点集点集xfyDxxfyyxC oxy),(yxxfRD y二、函数的表示法二、函数的表示法 在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.分段函数分段函数 0, 120, 1)(,2xxxxxf例如例如12 xy12 xyxyo1 21 ,11 ,1)(,22x

10、xxxxf再如再如这也是分段函数，其定义域为这也是分段函数，其定义域为2 , 1()1 , 1()1, 2 D yOx111221解解例例3 3，设设 21 ,410 , 12)(xxxxxf 221 ),2(4120 , 1)2( 2)2(xxxxxf. )2( xf求求.01 ,212 , 52 xxxx 1) 符号函数符号函数 010001sgnxxxxy当当当当当当几个分段函数的例子几个分段函数的例子. .xyo1 12) 取整函数取整函数 y=x753 ,0 1 5 . 3 .4 ,1 ，1 x表示不超过表示不超过x的最大整数的最大整数. 1 2 3 4 5 -2 -4 -4 -3

11、-2 -1 -1 -3xyo1234o有理数点有理数点无理数点无理数点1xy3) 狄利克雷函数狄利克雷函数(Dirichlet) 是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy01)(函数的几种基本特性函数的几种基本特性一、有界性一、有界性 如如果果设设区区间间,DIM Mxyoba给给定定函函数数)(xfy ,Dx . ,)(Mxf 有有使得对使得对常数常数, 0IxM 则称函数则称函数上上在在区区间间Ixf)(有界。有界。xyoba函数的有界性还可以细分为：函数的有界性还可以细分为： ,)(1Mxf 有有使得对使得对如果存在常数如果存在常数,1IxM 则称函数则称函数 f(x)

12、 在在I上上下有界下有界 .M2 M1 M1称为称为 f(x) 在在I上的上的下界下界。M2称为称为 f(x) 在在I上的上的上界上界。定理定理：函数：函数 f(x) 有界当且有界当且仅当仅当 f(x) 上有界且下有界。上有界且下有界。即即可可。取取 ,max 21MMM ,)(2Mxf 有有使得对使得对如果存在常数如果存在常数,2IxM 则称函数则称函数 f(x) 在在I上上上有界上有界 . 因为存在因为存在 M 1，使对任意，使对任意x ( , )，有，有|sin x| 1，所以所以 y sinx是是( , )内的有界函数。内的有界函数。y sinx 有界吗有界吗?xyo 2 2 11 函

13、函数数xy1 在在），（10上上是是无无界界的的， ？有界吗有界吗xy1 xyo在在）， 1上上是是有有界界的的。 二、单调性二、单调性 ,)(DIDxf 区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数,2121时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间xxxxI ;)(上上是是单单调调增增加加的的在在区区间间则则称称函函数数Ixf),()(21xfxf 恒有恒有)(xfy )(1xf)(2xfIxyo.)(上是单调减少的上是单调减少的在区间在区间则称函数则称函数Ixf,2121时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间xxxxI ),()(21xfxf 恒有恒有)(xf

14、y )(1xf)(2xfIxyo例如例如, 函数函数 y x 3 在在( , )内单调增加。内单调增加。xyo3xy 而函数而函数 y x 2 在区间在区间( , 0)内单调减少；在区间内单调减少；在区间(0, )内单调增加。内单调增加。2xy xyo三、奇偶性三、奇偶性,()(DxODxf 即即若若对对称称关关于于原原点点的的定定义义域域设设函函数数)()(xfxf ;)(为偶函数为偶函数则称则称xf有有如如果果对对于于,Dx ,)Dx 则则有有如如果果对对于于,Dx )()(xfxf .)(为奇函数为奇函数则称则称xf例例1 1 判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性： 4243xx

15、xx 23 偶函数偶函数非奇非偶非奇非偶xx 22 即即得得 )()(xfxf ， 偶函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数xx2121 )(xf 1212)( xxxf1212 xxxx 22）（xx 21ln )()(xfxf)1ln(2 xx)1ln(2 xx,01ln 例例2 2设设)(xf是是定定义义在在),(aa 上上的的任任意意函函数数。证证明明： ),( , )()()(aaxxfxfxg 是偶函数；而是偶函数；而),( , )()()(aaxxfxfxh 是奇函数。是奇函数。证明是容易的。证明是容易的。 由此可证：定义域关于原点对称的函数必可表由此可证：定义域关于原点

16、对称的函数必可表示为一个偶函数和一个奇函数之和：示为一个偶函数和一个奇函数之和：)()(21)()(21)(xfxfxfxfxf 偶函数的图形关于偶函数的图形关于 y 轴对称。轴对称。yx),(yxP )(xfy ox-x),(yxP具有奇偶性的函数的图形有某种具有奇偶性的函数的图形有某种对称性对称性：),(yxP yxox-x)(xfy ),(yxP奇函数的图形关于原点对称。奇函数的图形关于原点对称。若若)(xf是奇函数，且在是奇函数，且在0 x处有定义处有定义, ,则则0)0( f, ,即过原点即过原点. . 例例3 3判判断断函函数数 0 ,320 ,32)(xxxxxf 的的奇奇偶偶性

17、性。 解解 0 ,320 ,32)(xxxxxf 0 ,320 ,32xxxx, )(xf 故故 f(x) 是偶函数是偶函数. xyo2- -11四、周期性四、周期性(通常周期函数的周期是指其通常周期函数的周期是指其最小正周期最小正周期).,R)(的的定定义义域域为为设设函函数数xf使得使得如果如果,0 T)R( )()( xxfTxf.)(,)(的的周周期期称称为为为为周周期期函函数数则则称称xfTxf如如 sinx, cosx 都都是是周周期期为为 2 的的周周期期函函数数， tanx，|sinx|的周期为的周期为 . 注意注意：并非任意周期函数都有最小正周期：并非任意周期函数都有最小正周

18、期. 是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy01)(如狄利克雷函数如狄利克雷函数任何正有理数都是它的周期任何正有理数都是它的周期, 但并不存在最小的正有理数但并不存在最小的正有理数。 2.22.2 逆向思维的一例逆向思维的一例 反函数反函数 定义定义 设函数设函数y f (x)的定义域为的定义域为D，值域为，值域为Z。如果对。如果对于每个于每个 y Z，存在唯一，存在唯一x D，使，使 f (x) y，则，则 x是一个定是一个定义在义在Z上的函数，称为上的函数，称为 y f (x) 的反函数，记为的反函数，记为x f 1(y)。函数函数y f (x)与函数与函数x f 1(

19、y)是互为反函数。是互为反函数。将将x与与y互换，就得所求反函数为互换，就得所求反函数为例例1 1 求求y 3x 1的反函数。的反函数。解解，由由13 xy，得得31 yx.31 xy)(xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.xy ),(baP)(1xfy 反函数反函数xy 例如，在例如，在( , )内，内，y x2 不是一一对应的函数不是一一对应的函数关系，所以它没有反函数。关系，所以它没有反函数。一个函数若有反函数，它必定是一一对应的函数关系。一个函数若有反函数，它必定是一一对应的函数关系。 在在(0, )内内y

20、 x2有反函数有反函数 在在( , 0)内，内，y x2有反函数有反函数 .xy .xy x-x yxyo2xy xyoxy xy 解解例例2 2 求函数求函数)(21xxaay )(21xxaay xyO) 1( a) 1, 0,R( aax的反函数。的反函数。,02 yaaxx,0122 xxyaa,1)(22yyax ,12yyax ）（略略去去21yyax , )1(log2yyxa 所以所求反函数为所以所求反函数为. )1(log2xxya 例例3 3)R( 2 xyx与与)0( log2 xxy互为反函数。互为反函数。xy2log 1xyo1xy2 1.1.常数函数常数函数)( 是

21、常数是常数CCy oxy2.3 基本初等函数基本初等函数C 常函数的定义域常函数的定义域为为( , )，图形为，图形为平行于平行于x轴轴, 在在y轴上轴上截距为截距为C的直线。的直线。 幂函数的定义域随幂函数的定义域随a而异，而异，但不论但不论 a 为何值为何值, 它在它在(0, )内总有定义。幂函数图形都内总有定义。幂函数图形都经过经过 (1, 1)点。点。常见的幂函数及其图形：常见的幂函数及其图形： 2.2.幂函数幂函数)(是常数是常数axya xyo2xy 幂函数的定义域随幂函数的定义域随a而异，而异，但不论但不论 a 为何值为何值, 它在它在(0, )内总有定义。幂函数图形都内总有定义

22、。幂函数图形都经过经过 (1, 1)点。点。常见的幂函数及其图形：常见的幂函数及其图形： 2.2.幂函数幂函数)(是常数是常数axya xyoxy 幂函数的定义域随幂函数的定义域随a而异，而异，但不论但不论 a 为何值为何值, 它在它在(0, )内总有定义。幂函数图形都内总有定义。幂函数图形都经过经过 (1, 1)点。点。常见的幂函数及其图形：常见的幂函数及其图形： 2.2.幂函数幂函数)(是常数是常数axya xyo3xy 幂函数的定义域随幂函数的定义域随a而异，而异，但不论但不论 a 为何值为何值, 它在它在(0, )内总有定义。幂函数图形都内总有定义。幂函数图形都经过经过 (1, 1)点

23、。点。常见的幂函数及其图形：常见的幂函数及其图形： 2.2.幂函数幂函数)(是常数是常数axya xyo3xy 幂函数的定义域随幂函数的定义域随a而异，而异，但不论但不论 a 为何值为何值, 它在它在(0, )内总有定义。幂函数图形都内总有定义。幂函数图形都经过经过 (1, 1)点。点。常见的幂函数及其图形：常见的幂函数及其图形： 2.2.幂函数幂函数)(是常数是常数axya xyoxy1 幂函数的定义域随幂函数的定义域随a而异，而异，但不论但不论 a 为何值为何值, 它在它在(0, )内总有定义。幂函数图形都内总有定义。幂函数图形都经过经过 (1, 1)点。点。常见的幂函数及其图形：常见的幂

24、函数及其图形： 2.2.幂函数幂函数)(是常数是常数axya xyo32xy 3.3.指数函数指数函数)1, 0( aaayx 定义域为定义域为( , )，值域为值域为(0, )，都通过点都通过点(0, 1),当当a1时，函数单调增加；时，函数单调增加；当当0a1 时时, 函数单调增加；函数单调增加；当当 0a1时时, 函数单调减少。函数单调减少。对数的基本性质：对数的基本性质：, 0, 0 NM设设1, 0 aaNMMNaaaloglog)(log NMNMaaalogloglog MpMapaloglog 换底公式换底公式aNNbbalogloglog )1, 0( bb对数恒等式对数恒等

25、式,logxaxa xaxa log5.5.三角函数三角函数正弦函数正弦函数xysin xycos 余弦函数余弦函数 y sin x与与y cos x的定义域均为的定义域均为( , )，均以，均以2 为周期。为周期。y sin x为为奇函数奇函数，y cos x为为偶函数偶函数。它们都是它们都是有界函数有界函数。xyo 2 2 1 1xyo 2 2 1 1定义域定义域: x (2n 1) /2 。周期周期: 。奇函数。奇函数。正切函数正切函数xytan 定义域定义域: x n 。周期周期: 。奇函数。奇函数。余切函数余切函数xycot xyo2 23 23 2 xyo 2 正割函数正割函数xy

26、sec xycsc 余割函数余割函数)cos1(x )sin1(x 6.6.反三角函数反三角函数xyarcsin 反反正正弦弦函函数数2 xyo1 12 oxy1 12 2 定义域：定义域： 1, 1 值域：值域：2,2 单调增加函数；单调增加函数；奇函数奇函数.xyarccos 反反余余弦弦函函数数 xyo1 1oxy1 1 定义域：定义域： 1, 1 值域：值域：, 0 单调减少函数；单调减少函数；无奇偶性无奇偶性.xxarccos)arccos( 2 2 xyarctan 反正切函数反正切函数xy2 2 oxy定义域：定义域：),( 值域：值域：)2,2( 单调增加函数；单调增加函数；

27、奇函数奇函数.反余切函数反余切函数xycotarc xyoxy 定义域：定义域：),( 值域：值域：), 0( 单调减少函数；单调减少函数； 无奇偶性无奇偶性.xxcotarc)cot(arc 反三角函数值的确定：反三角函数值的确定：求求 arcsin x 值的方法：值的方法： ,0 x若若,sinx 使使；则则 xarcsin)21arcsin( 21arcsin ,2, 0 内内确确定定则则在在,0 x若若.arcsin)arcsin(xx 则利用则利用例例1 1.6 )21arccos( 21arccos 例例2 23 .32 类似地有类似地有.arccos)arccos(xx 2.4

28、2.4 复合函数复合函数例如例如：2arcsinxy 可看作由可看作由uyarcsin 复合而成。复合而成。注：不是任何函数都可以复合成一个函数。注：不是任何函数都可以复合成一个函数。设设函函数数)(ufy 的的定定义义域域与与)(xgu 的的值值域域的的交交集集非非空空， 则则)(xgfy 是是)(ufy 与与)(xgu 的的复复合合函函数数。 不能复合。不能复合。2xu 和和,arcsin)( uufy 设设,22xu u 称为中间变量。称为中间变量。 设设2uy ,vusin ,xvlg ,则这三个函数的则这三个函数的复合为复合为 2)( ,sin)(xxgxxf ， 注意复合次序：注意

29、复合次序： 则则 )(xgf 而而 )(xfg 2sin x ， x2sin 。 复合可以多次进行。复合可以多次进行。例例1 12)(sinvy .)sin(lg2x 函函数数)lg(sin2xy 可可看看成成下下列列函函数数 例例2 2,uy ,lgvu ,sinwv 2xw 的复合。的复合。 重要问题：把一个复杂的函数分解为几个简单重要问题：把一个复杂的函数分解为几个简单函数的函数的复合运算复合运算或或四则运算四则运算。xy2sin1e ： uye ， 321xxy ： ,3uy ,1 vu , 2wv xwsin 。 , wxu , tw .1 2xt 例例3 3例例4 4设设)(xf的的定定义义域域为为0, 1，问问(1)(2xf，(2)(axf (0 a)的的定定义义域域各各是是什什么么？ 例例5 5(1)解解,102 x令令,11 x得得所所以以)(2