导数章末测试卷

1、导数章末测试(时间：120分钟满分：150分)一'选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的)lim f(1jv) <(i)i.已知函数“x)可导，则-T-7等于()A. / (1)c.yB.不存在D.以上都不对8解析:则”1')一/lim/(i-Ax) 一/11八答案：A2 .曲线=«丫)=好一3犬+1在点(2, 3)处的切线方程为()A. y=3x+3B. y=-3x4-1C. y=3D. x=2解析：因为,M=x)=3/一6x,则曲线7=/- 3./+1在点(2, 3)处的切 针率k= /(2)=3

2、X22-6X2=0,所以切线方程为 y (-3)=0X(x-2),即、=一3.答案：c3 .函数危)=好一3x+l的单调递减区间是()A. (1, 2)B. (-1, 1)C. (-8, -1)D. (-8, 一1), (1, +8)解析：/(') = 3/一3,由/(x)V0,可得一lVxVl.答案：B4 .函数危)=小+4/+ 3'9,在x=-3时取得极值，则。等于()A. 2 B. 3 C. 4 D, 5解析：/(x)=3x2+2ax+3.由大x)在戈=-3时取得极值，即-3)=0,即276。+ 3=0, 所以4=5.答案：D5 .观察(小)，=公，(.dy=4x3, (

3、cos xy=-sillX,归纳可得：若定义在R上的函数兀r)满足大一 x)=«v)，记式V)为人X)的导函数，则g(-X)=()A. «x) B. 一0)C. g(x) D. -g(x)解析：观察可知，偶的数乂x)的导函数虱x)是奇函数，所以氧一、)=一蚣).答案：D6 .若函数危尸¥一1"一则的值为()A. 0 B. 2 C. 1 D. -1解析：/(x)=x2-y(l) X1,则"1)=P»(D 1 - 1,解得 1)=0.答案：A7 .某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品.设该商品零售价定为尸元，销售 量为。件，且。

4、与尸有如下关系：。=8 300 170尸一P,则最大毛利润为(毛利润=销售收 入一进货支出)()A. 30元B.60元C. 28 000 元D. 23 000 元解析：设毛利泗为尸)元，由题意知尸)=尸。一20。=。(尸一20)=(8300 170尸一尸子尸 -20)=-P3-150P2+ll 700尸一 166 000,所以£'(尸)=一3尸2 300尸+11 700.令£'(尸)=0, 解得尸=30或尸=一130(舍去).当20WPV30时，1/ (尸)>0, £(P)为增函数：当尸>30时， £'(尸)>0

5、,2(尸)为减函数，故尸=30为尸)的极大值点，也是最大值点，此时£(30)=23 000, 即最大毛利洞为23 000元.答案：D8 .设函数九一lnx(x>0)，则 y=x)()A.在区间g，1)(1, e)内均有零点B.在区间g，1)(1, e)内均无零点C.在区间6，1)内无零点，在区间(1, e)内有零点D.在区间g，1J内有零点，在区间(1, e)内无零点解析：由题意得令/(x)>0 得x>3：令/ (x)V0 得 0VxV3;/(x)=0 得x =3,故知函数危)在区间(0, 3)上为减函数，在区间(3, +8)为增函数，在点x=3处有板 小值 l-l

6、n3V0；又大1)=卜0, /(e)=1-l<0. /jj=+l>0.答案：C9 .设«x),式v)是R上的可导函数，/(x), g' (x)分别为x), g(x)的导函数，且/(X)式v) +“x)g<x)v0, 则当Kxvb时，有()A. “X应(6)次b)g(x)B. _/(x)g(a)次。应(x)C.兀0蛉)刁S)g(6)D. “x应(x)次0应(a)解析：因为Z(x)g(x)'=/(x)g(x)+g'(x)/(x)vO,所以函数y=y(x)g(x)是减的数.所以当 a<x<b 时，人。应3户允应G)M6)g(b).故选C

7、.答案：C10 .函数尸尹2smx的图象大致是()解析：-2cosx.令f'=0,解得cos.x=(,根据三角用数的知识可知此方程有无穷 XY多个解，即函数y=；-2sinx有无穷多个极值点，又函数y=；-2sinx是奇函数，所以图象 关于坐标原点对称，故选C.答案：c11 .对任意的x£R,函数&)=丫3+必+76不存在极值点的充要条件是()A. 0Wa<21B. 。=0 或=7C. 4Vo 或>21D. 4=0 或 a=21解析：/(')=3必+24、+70,令，(x)=0,即3必+26+7=0,对于此方程， =4/一84a,当AW0,即0WW

8、21时，/ (x)20恒成立，函数不存在极值点.答案：A12 .若。>0, b>Q,且函数人x)=4x3ax?-2H+2在x=l处有极值，则而的最大值等于 ()A. 2 B. 3 C. 6 D. 9解析：访放的 /(x)=l“一一2b,由函数«r)在x=l处有极值，可知的教打工) 在x=l处的导数值为0,即12 2-2b =0,所以a+b=6,由题意知a, b都是正实数，z6x2(j) =%当且仅当a=3=3时取到等号.答案：D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）13 .若曲线），=犬+1（。£1）在点（1, 2）处的切线经过

9、坐标原点，贝lja=.解析：由题意.知故在点（1, 2）处的切线的斜率，又因为切线过坐标原点,答案：214 .函数加）=/y（x22）的最大值为. 人 JL解析：光利用导数判断函数的单调性，再进一步求解函数的最大值.c（X1） X/（X）=（X-1） 2 = -（L1） 2,当时，/ （x）0,所以兀v）在2,+8）上是减函数，2故危）max =7（2） = 2 = 2 答案：215 .当-1, 2时，好一炉一xv加恒成立，则实数加的取值范围是.解析：记危）=.、3一犬一X,所以 /（x） = 3x22x1.令x）=0,得 x=1或 x=l.又因为QU，2）=2,人- 1）= 一 1, 1）=

10、T,所以当1, 2时，伏、）3乂=2,所以切2.答案：（2, +8）16 .己知危）为偶函数，当xWO时，危）=e vi-x,则曲线y=y（x）在点（1, 2）处的切线方程是.解析：设x0,则一XV0,大一、）=/ 1+工因为41）为偶函数，所以大一外=危），所以儿0=/二十尤因为当%0时，。）=/-1 + 1,所以/（l）=ei + l = l + l=2.所以曲线、=危）在点（1, 2）处的切线方程为-2=2。- 1）,即 2x-y=0.答案：2x-y=0三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 .(本小题满分10分)已知函数危)=必+工一16.(

11、1)求曲线j，=y(x)在点(2, 6)处的切线的方程；(2)如果曲线)，=凡丫)的某一切线与直线_，=一$+3垂直，求切点坐标与切线的方程.解：(1)因为/()=3+%-16)'=3r+1,所以犬I)在点(2, 6)处的切线的斜率为k=f(2)=13.所以切线的方程为y=13(x-2)+(-6),Rp).=13x-32.(2)因为切线与直线尸=一宗+3垂直，所以切线的斜率k=4.设切点的坐标为(xo, JX),则/(x0)=3端+1=4,所以Xo=±l,xo=l,XO= -1,所以或,尻=-14 lyo=-18.即切点坐标为(1, 一 14)或(一 1, -18).切线方程

12、为 y=4(x- 1)- 14 或 y=4(x+1)-18.即 y=4x18 或 y=4x14.18 .(本小题满分12分)设函数尸危)=做3+狂+队+5在x=|与x=-l处有极值.(1)写出函数的解析式；(2)指出函数的单调区间：(3)求兀r)在- 1, 2上的最值.解：(1»'=12炉+20、+6,由题设知当x=,与x= -1时函数有极值，则x=，与x= l满足式=0,，212X(|) +2 亭 20,解得 f=f,6= - 18,112X (-1) 2+2a (-1) +6=0,所以 y=4x33x2-18x+5.(2)了=1改-6x-18 = 6(x+l)(2x-3)

13、,列表如下：X(-8,-1)-1(f 1)32(|,+8)y+00十y/丁极大LT.y极小/二 16/右61值=一彳由上表可知(一8, 1)和，+8)为函数的单调递增区间，(一1,为函数的单调递 减区间.(3)因为人- 1)=16,1|)= 一苧，X2)=-H,所以g)在-1, 2上最小值是一祟 最大值为16.19 .(本小题满分12分)有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是尸 万元和。万元，它们与投入资金x万元的关系有经验公式：尸=萤。=右/?现有3万元资金 投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？ 能获得的最大利润是多少？解：设对乙

14、种商品投资x万元，则甲种商品投资为(3 - x)万元，总利泗为y万元.3 x 3根据题意，得y=+§C(0WxW3),.=一舁吉玄令尸o,解得x=*9.3由实际意义知即为函数的极大值点，也是最大值点，此时3x=t.因此为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元， 获得的最大利泗为1.05万元.20.(本小题满分12分)若函数/)=4x3x+3在一/；上是单调函数，则实数。的取值 范围为多少？解：f(x)=12x2-a,若危)在一；,g上为单调增函数，则/(x)20在 T，I上恒成立，即12x2a'O在一,，耳上恒成立.所以在：,勺上恒成立，所

15、以 7(12x2)mm=0.当4=0时，/ (、) = 1*>0恒成立只有戈=0时/ (x)=0.所以4 = 0符合题意.- 1 r若危)在一5，7上为单调减函数，则/(x)WO,在|上恒成立，即12/-aWO在，上恒成立,所以在一；，当上恒成立，所以 a2(12x2)1Mx=3.当a=3时，f (x) = 12j23 = 3(4必一1)或0恒成立(且只有工=±1时/(x)=0.因此，a的取值范围为aWO或a23.21.(本小题满分12分)已知函数危)=$2+lnx.(1)求函数人x)在区间口，e上的最大值、最小值；(2)求证：在区间1, +8)上，函数危)的图象在函数式i)=?3的图象的下方.(1)解：由70)=；必 + 111% 得F(x)=x+1，因为当 e时，/ (x)>0, 所以函数人x)在口，e上是增函数./)即=女)=身+1,X)mm=Xl) = |121(2)证明：设 F(x) =J(x) - g(x) = rxX因为x>l,所以F'G)vO,所以函数产(x)在(1, +8)上是减函数，又因为尸(1)= 一2，故在3 +8)上有尸(x)<0, 即«X)Vg(X),所以在区间1, +8)上，的数大、)的图象在函数g(x)=?3的图象的下方.2