物理竞赛辅导力学讲座2PPT学习教案

1、会计学1物理竞赛辅导力学讲座物理竞赛辅导力学讲座2 两物体仅在内力作用下运动，称为二体问题。二体问题又分为两物体仅在内力作用下运动，称为二体问题。二体问题又分为束缚问题束缚问题与与散射问题散射问题两大类。这里先介绍两大类。这里先介绍二体散射问题二体散射问题，包括碰撞、合并和分裂问题。，包括碰撞、合并和分裂问题。 在这些问题中，我们仅限于讨论直线运动。在这些问题中，我们仅限于讨论直线运动。弹性碰撞非弹性碰撞合并非弹性碰撞分裂第1页/共65页处理这类问题的思路如下：1.1.在碰撞、合并和分裂问题中，内力起作用的时间很短：在碰撞、合并和分裂问题中，内力起作用的时间很短：不外是瞬间碰撞、瞬间爆炸分裂或

2、瞬间碰撞后合并。在不外是瞬间碰撞、瞬间爆炸分裂或瞬间碰撞后合并。在所考虑的短暂瞬间内，即使有外力（如重力），其作用所考虑的短暂瞬间内，即使有外力（如重力），其作用也可忽略，因而也可忽略，因而系统动量守恒。系统动量守恒。即即系统质心的速度、动系统质心的速度、动量和动能守恒；量和动能守恒；2.2.机械能是否守恒问题，应作如下考虑：机械能是否守恒问题，应作如下考虑： （1 1）作用力是瞬间起作用的，不是保守力，没有势。）作用力是瞬间起作用的，不是保守力，没有势。机械能就是动能。机械能就是动能。 （2 2）按科尼希定理，系统动能）按科尼希定理，系统动能E Ek k= =系统质心动能系统质心动能E EC

3、 C+ +系统系统相对于其质心的动能。相对于其质心的动能。由于由于EC是守恒量，是守恒量，问题化为系统问题化为系统在质心系内动能是否守恒在质心系内动能是否守恒的问题的问题。第2页/共65页二体直线运动系统在C系中的动能表示式在在C系中，系中，C点的坐标恒为零：点的坐标恒为零：L系C系m1, m2 在两个坐标系中的坐标：在两个坐标系中的坐标：L系：系：x1 , x2C系：系： 1 ， 2 m2相对于相对于m1的坐标：的坐标：m2相对于相对于m1的速度：的速度：1212xxr(1)1212xxrvr(2)0212211mmmmC(3)C210 xm2x1x2xCrm1第3页/共65页即即(3(3）

4、式的分子为零：）式的分子为零：02211mm（4）其时间导数也为零：其时间导数也为零：02211mm（5）C21L系C系0 xm2x1x2xCrm1在在L L系中，质心坐标为：系中，质心坐标为：质心速度为：质心速度为：212211mmxmxmxC（6）212211mmxmxmxvCC（7）由（由（2 2）式）式 和和(5)式联立解出两物体在式联立解出两物体在C系中的速度：系中的速度：12 rv第4页/共65页引入折合质量引入折合质量: :rvm22（10）rrvmmmmmvmmm221212112)()(rrvmmmmmvmmmmm121212122121)(2121mmmm（8）rvm11（

5、9）两物体在两物体在C系中的速度简化为：系中的速度简化为：第5页/共65页系统在系统在C C系中的动能便是：系中的动能便是：2221222222122212112rrr2r121C,kvvmmvm2mvm2m2m2mE系（1111）重要结论：二体系统在二体系统在C C系中的动能，等于一个等价质点的动能系中的动能，等于一个等价质点的动能该质点质量为折合质量该质点质量为折合质量 ，速率为二体相对速度，速率为二体相对速度 。(11)(11)在二体问题中应用甚广在二体问题中应用甚广。rv第6页/共65页将（将（1111）代入柯尼希定理，即得二体系统动能的一般表示式：）代入柯尼希定理，即得二体系统动能的

6、一般表示式：1.1.相对运动速率相对运动速率 不变者，机械能守恒。此称不变者，机械能守恒。此称完全弹性碰完全弹性碰撞；撞；2.2. 变小但尚未减为零者，机械能减小。此称变小但尚未减为零者，机械能减小。此称非弹性碰撞非弹性碰撞；3.3.在合并问题中，在合并问题中， 减为零，机械能损失最大。此称减为零，机械能损失最大。此称完全完全非弹性碰撞；非弹性碰撞；4.4.在分裂问题中，机械能增加。其增量即质心动能；在分裂问题中，机械能增加。其增量即质心动能；rvrvrv质心在L系中的动能,守恒部分系统在C系中的动能,可变部分系统在L系中的动能（12）222122rCC,kCL ,kvvmmEEE系系第7页/

7、共65页例题例题2.0vmM质量为质量为m的子弹以速度的子弹以速度 沿水平方向射入静止悬挂的沙袋，并与沙袋一起运动。沙袋质量为沿水平方向射入静止悬挂的沙袋，并与沙袋一起运动。沙袋质量为M. 求系统的机械能变量求系统的机械能变量 E.0vvm+M解解. 这是合并问题。子弹钻入沙袋前瞬间，系统动能为这是合并问题。子弹钻入沙袋前瞬间，系统动能为20222vvMmECL ,k系子弹钻入沙袋后瞬间，系统动能为子弹钻入沙袋后瞬间，系统动能为22CL ,kvMmE系机械能变量机械能变量202vE在合并过程中，系统机械能变小。损失部分转化为非机械能。在合并过程中，系统机械能变小。损失部分转化为非机械能。第8页

8、/共65页0vmMvm+M机械能变量机械能变量20202020202221222vMmMmvMmmmvmvMmvmEEE初碰后验证：系统初始动能：验证：系统初始动能：202vmE初子弹钻入后系统速度：子弹钻入后系统速度：Mmmvv0系统碰后动能：系统碰后动能：MmvmMmmvMmvMmE222202202碰后证毕证毕第9页/共65页李长江：p23，1.3.5第10页/共65页由动量守恒知：由动量守恒知：0人车vNmvM（1）已知人对车相对速度已知人对车相对速度车人vvvr（2）（2 2）代入（）代入（1 1）：）：0(）车车vvNmvMr解得：解得：rvNmMNmv车（3）Mm0 xmm解解(

9、1). 若若N个人同时跳下个人同时跳下 v人人相对于地面的速度v车车相对于地面的速度已知人对车的跳下速度 沿铁轨向左。rv第11页/共65页第第k k个人跳车时他对地面速度为个人跳车时他对地面速度为 解(2). 若N个人逐个跳下M0 x(N-k+1)人krvvv人1kv设第设第k-1个人跳车后车速为个人跳车后车速为kv第第k个人跳车后车速为个人跳车后车速为1kv第k-1个人跳车后的车速第k个人跳车 后 的 瞬间第k个人跳 车 后的车速M0 x(N-k)人kv人v第12页/共65页rkkkrkvmvmkNMvmkNMvvmvmkNM) 1()()() 1(1由动量守恒知：由动量守恒知：（k=1,

10、2,3N）mkNMmvvvrkk) 1(1设定设定 的正方向都是由左向右（的正方向都是由左向右（ 的投影应为负值：的投影应为负值： ）, ,由上式解出递推关系：由上式解出递推关系： rkkvvv，1,rv0rv递推关系使我们得以从前一个递推关系使我们得以从前一个vk-1值推得后一个值推得后一个vk值。现在我们来用它推得所求结果：值。现在我们来用它推得所求结果：第第k个人跳车前的动量个人跳车前的动量第第k个人跳车后的动量个人跳车后的动量第13页/共65页k=1:NmMmvvr 01k=2:mNMmvvvr) 1(12k=3:mNMmvvvr) 2(23k=4:mNMmvvvr) 3(34k=N:

11、mMmvvvrNN1k=N-1:mMmvvvrNN221将以上将以上N个等式相加，左边给出个等式相加，左边给出vN，即第，即第N个人跳车后的车速；右边是一个有限项级数和：个人跳车后的车速；右边是一个有限项级数和：NprNpmMmvvv1车负号表示负号表示v车车与与vr反向。反向。本题结束关键：设所有速度沿关键：设所有速度沿x正向为正正向为正mkNMmvvvrkk) 1(1第14页/共65页第第20届：一、届：一、2（填空）（填空）第15页/共65页三体完全弹性碰撞问题三体完全弹性碰撞问题过程：过程：1球撞击球撞击2球后静止，球后静止，2球以速度球以速度v0 向右行向右行进，然后撞击进，然后撞击

12、3，4球球0v123423410v23410v第16页/共65页问题：问题：撞击完撞击完3，4球后，球后，2球是否回弹？球是否回弹？2342v3v4v3030 xy解：解：在在xoy平面上，碰撞前后动平面上，碰撞前后动量守恒量守恒xxmvmvmvmv4320 x方向方向y方向方向yymvmv430碰撞为完全弹性，前后机械能守恒碰撞为完全弹性，前后机械能守恒2423222021212121mvmvmvmv3323vvx几何关系几何关系7个方程，个方程，7个未知数，问题可解个未知数，问题可解4423vvx3321vvy4421vvy第17页/共65页结果：结果：5/02vv方向向左。方向向左。本题

13、结束则则2球与球与1球再次碰撞，最后停下。球再次碰撞，最后停下。1球获得球获得5/0v速度后，向左飞去。速度后，向左飞去。第18页/共65页李长江：p6，1.1.13第19页/共65页1.1.解解: : 取小球取小球a,ba,b和地球组成的系统。绳中张力不作功，系统机械能守恒。取和地球组成的系统。绳中张力不作功，系统机械能守恒。取O O点为势能零点点为势能零点 ，则有：，则有： mmL1L2abO初态mmL1L2abTmgO瞬态v02cos021EmvmgLE初始能量运动瞬态机械能(1)第20页/共65页由（由（1 1）解出速度与位置的关系：）解出速度与位置的关系：随着随着 变小，变小，v和和

14、T将变大，当将变大，当T=mg时，时，a球开始离地。球开始离地。b球的绳张力满足：球的绳张力满足：12cosLmvmgT将将(2)和和T=mg代入上式，解出：代入上式，解出：31arccos本题结束cos21gLv （2）mmL1L2abTmgO瞬态水平Tmgb球的向心力第21页/共65页第第29届：届：15题题第22页/共65页解解轨道无摩擦，绳拉直前两小球均不损耗机械能，保持匀速沿轨道运动。绳拉直的瞬间两小球轨道无摩擦，绳拉直前两小球均不损耗机械能，保持匀速沿轨道运动。绳拉直的瞬间两小球绕圆心的角动量守恒绕圆心的角动量守恒RmvRvmRmvRvm120022v0v0m2mR绳拉直瞬间（1）

15、v1, v2为绳作用力消失后两球的切向速度。另一方面，为绳作用力消失后两球的切向速度。另一方面，机械能不受损失机械能不受损失，则有：，则有：212220202122121221mvvmmvvm（2）第23页/共65页解解（1），（），（2）联立求出两套解）联立求出两套解01vv 绳作用后02vv 0135vv0231vv舍去第一套解（初态），第二套解代表舍去第一套解（初态），第二套解代表两球速度都改变了方向两球速度都改变了方向m2m035v031vR第24页/共65页解解绳提供的冲量为前后动量差，绳给绳提供的冲量为前后动量差，绳给1的冲量的切向分量为：的冲量的切向分量为：00013835mvm

16、vvmI切绳给绳给2的冲量的切向分量为：的冲量的切向分量为：（3）0002382312mvvmvmI切（4）两冲量分别以所对应球的初始切向速度分量为参考正向两冲量分别以所对应球的初始切向速度分量为参考正向绳作用后m2m035v031vR第25页/共65页解解30cos/11切II绳给绳给2的冲量的切向分量为：的冲量的切向分量为：30cos/22切II这两个量只是两个冲量的切向分量，它们对应的总冲量分别为这两个量只是两个冲量的切向分量，它们对应的总冲量分别为03316mv03316mv绳作用后m2m035v031vR（1）答案）答案第26页/共65页解解绳改成弹性绳后，绳可伸长，两球的运动状态改

17、变并不在一瞬间完成。绳改成弹性绳后，绳可伸长，两球的运动状态改变并不在一瞬间完成。因此，因此，绳拉直后，在球继续沿圆轨道运动时，绳保持对两球的拉力。绳拉直后，在球继续沿圆轨道运动时，绳保持对两球的拉力。v0v0m2mR绳拉直瞬间v2v1=0m2mR球1停止时第27页/共65页解解绳拉伸过程中，机械能守恒绳拉伸过程中，机械能守恒2020202212223212212121221mvmvvmRlkmvvm（5）绳拉伸过程中，角动量也守恒绳拉伸过程中，角动量也守恒RmvRmvRvmRmvRvm0001222（6）（5）、（）、（6）两式消去）两式消去v2，再令，再令01vRl2得得22025Rmvk

18、 （2.1）答案）答案v2v1=0m2m球1停止时第28页/共65页解解两球在距离两球在距离2R以后，以后，球球1停止后开始加速，球停止后开始加速，球2沿轨道继续向前运动。两球碰撞发生在轨道的下半部沿轨道继续向前运动。两球碰撞发生在轨道的下半部v2v1=0m2m球1停止时m2m两球碰撞第29页/共65页解解v2v1=0m2m球1停止时Rdtvdtvtttt32212112从题图开始到绳长为从题图开始到绳长为R所经过的时间为所经过的时间为001623vRvRt（7）从绳长为从绳长为R到到2R的过程中两球走过路程为的过程中两球走过路程为RRR323，设这过程结束时时刻为，设这过程结束时时刻为t2，

19、它满足，它满足（8）由题意，上式可写成由题意，上式可写成Rdtvtt321212（9）第30页/共65页解解v2v1=0m2m球1停止时1202319221ttvRdtvtt（10）v1、v2必须满足角动量守恒方程（必须满足角动量守恒方程（6），把（），把（6）代入（）代入（8）式，又得到：）式，又得到：RmvRmvRvm0122（6）由（由（9）、（）、（10）消去）消去212ttdtv得得0121324vRtt（11）第31页/共65页解解v2v1=0m2m球1停止时由绳长为由绳长为2R到两球碰撞的过程中，整个过程到两球碰撞的过程中，整个过程为绳长由为绳长由0到到2R过程的逆过程，经历时间

20、与过程的逆过程，经历时间与正过程相同，因此，利用（正过程相同，因此，利用（7）和（）和（11）式得）式得：碰撞时刻为：碰撞时刻为1212tttte（11）013vR016vRt（7）0121324vRtt（2.2）答案）答案第32页/共65页非惯性系非惯性系惯性力惯性力第33页/共65页惯性系：惯性系：牛顿运动定律成立的参考系牛顿运动定律成立的参考系0amFi非惯性系相对惯性系的加速度非惯性系相对惯性系的加速度非惯性系：非惯性系：牛顿运动定律不成立的参考系牛顿运动定律不成立的参考系凡是牛顿定律成立的参照系称为凡是牛顿定律成立的参照系称为惯性系惯性系,相对惯性系作匀速直线运动的参照系相对惯性系作

21、匀速直线运动的参照系也是惯性系也是惯性系 牛顿定律不成立的参照系称为牛顿定律不成立的参照系称为非惯性系非惯性系, 相对于惯性系作加速运动的参照系相对于惯性系作加速运动的参照系是非惯性系是非惯性系惯性力：惯性力：在牛顿定律中加入附加项，使之仍可以求解非惯性系问题在牛顿定律中加入附加项，使之仍可以求解非惯性系问题质量为质量为m的物体在非惯性系中受到的惯性力的物体在非惯性系中受到的惯性力第34页/共65页amFFi物体实际受到的力物体实际受到的力非惯性系中牛顿运动定律写成：非惯性系中牛顿运动定律写成：这时物体相对参考系向参考系加速度的反方向加速，例如加速的汽车中的乘客。这时物体相对参考系向参考系加速

22、度的反方向加速，例如加速的汽车中的乘客。物体相对非惯性系的加速度物体相对非惯性系的加速度惯性力惯性力0amFi1. 当物体不受任何力时：当物体不受任何力时：0F上式成为：上式成为：amFi0aa第35页/共65页amFFi2. 当物体受力恰好为：当物体受力恰好为：0amFFi上式成为：上式成为：0a表明物体如果保持相对参考系不动，需要一个力表明物体如果保持相对参考系不动，需要一个力 ，例如乘客要站稳需要一个指向汽车加速方向的力。，例如乘客要站稳需要一个指向汽车加速方向的力。0am第36页/共65页第25届，3第37页/共65页解解(1). 系统处处无摩擦，车厢加速度竖直向上系统处处无摩擦，车厢

23、加速度竖直向上 此时车厢加速度只对此时车厢加速度只对B有影响有影响ATBTgmBx对对A滑块有：滑块有：amTA对对B滑块有：滑块有：amamTgmBBB0设设B运动的正方向沿运动的正方向沿+x，则，则i gg重力加速度重力加速度车厢加速度车厢加速度iaa00绳对绳对A的拉力的拉力iTT惯性力惯性力两滑块加速度相等x绳对绳对B的拉力的拉力iTT第38页/共65页对对A滑块有：滑块有：amTA对对B滑块有：滑块有：amamTgmBBB0的表达式带入方程得的表达式带入方程得g把把0aTTBTgmBxATx消去消去T 得：得：BABBmmamgma0（1）答案）答案结论：当车厢向上加速时，结论：当车

24、厢向上加速时，B相对车厢的加速度比车厢静止时要大相对车厢的加速度比车厢静止时要大第39页/共65页解解(2). B与桌的侧面有摩擦，车厢加速度水平向右与桌的侧面有摩擦，车厢加速度水平向右 此时车厢加速度对此时车厢加速度对A和和B都有影响都有影响ATBTgmB对对A滑块有：滑块有：00amTA惯性力，其中惯性力，其中x其中其中iTT由上面各式得由上面各式得A滑块满足：滑块满足：00amTA（1）两物静止：两物静止：0BAaaiaa00第40页/共65页xyBTgmB对对B滑块有：滑块有：00amfNTgmBB惯性力，其中惯性力，其中ATx桌侧面对桌侧面对B的推力的推力桌侧面对桌侧面对B的摩擦的摩

25、擦力力其中其中iTTi ggjNN由上面各式得由上面各式得B滑块满足：滑块满足：0fTgmBx方向方向：（2）00amNBy方向方向：（3）jaa00第41页/共65页xyATBTgmBx由（由（1）、（）、（2）可得）可得：0amgmfAB（4）由（由（3）可得）可得：0amNB（5）（4）式中）式中f 是使是使B与桌面侧面不发生滑动所需的静摩擦力，对于正压力与桌面侧面不发生滑动所需的静摩擦力，对于正压力N，f 的上限为的上限为 N，当所需的摩擦力超过，当所需的摩擦力超过 N时，时， B与桌面侧面将发生滑动。即：与桌面侧面将发生滑动。即：Nf把（把（4）、（）、（5）代入上式解得）代入上式解

26、得：BABmmgma0本题结束第42页/共65页火箭问题火箭问题变质量变质量+动量守恒动量守恒第43页/共65页1.喷射燃料使质量不断减少喷射燃料使质量不断减少-质量不守恒质量不守恒火箭：火箭：v2.燃料相对火箭以恒速率喷出燃料相对火箭以恒速率喷出设火箭在某时刻设火箭在某时刻：M下一时刻：下一时刻：vvmMmu（相对火箭）第44页/共65页前一时刻动前一时刻动量：量：vmvvmmmu（相对火箭）Mvp 后一时刻动量：后一时刻动量：uvmvvmMp前后动量增量：前后动量增量：pppmuvM牛顿定律：牛顿定律：tpFtmutvMdtdmudtdvMdtdmudtdvMFF是火箭飞行时受到的总外力。

27、例如地球引力。如果是火箭飞行时受到的总外力。例如地球引力。如果F可忽略，方程变为可忽略，方程变为0dtdmudtdvM火箭单位时间内喷出的燃料第45页/共65页vmvvmmmu（相对火箭）dtdMudtdvMF燃料喷射时，火箭质量减少，因此燃料喷射时，火箭质量减少，因此0dtdMudtdvM方程变为方程变为dMdm有外力时有外力时无外力时无外力时火箭方程火箭方程第46页/共65页第26届：15第47页/共65页题意题意：vmvvmmmu（相对火箭）RtMMm00uu 无外力：无外力：0mdtdm0dtdmudtdvM解解uMmdtdva0uMMmaR00minuMma00max飞船启动时飞船启

28、动时燃料用尽时燃料用尽时（1）飞船加速度的最小和最大值）飞船加速度的最小和最大值第48页/共65页由火箭方程：由火箭方程：0dtdMudtdvM两边积分两边积分（2）飞船末速度）飞船末速度MdMudv000MMMvReMdMudv00lnMMMuvRe（3）初始时刻发动机提供的功率，和整个过程的平均功率）初始时刻发动机提供的功率，和整个过程的平均功率t时刻时刻 221MvtEk20202121uvdtmdvvdtmMdttEkt+dt时刻时刻发动机在发动机在dt时间内使时间内使火箭火箭+喷出的燃料喷出的燃料的动能带来的变化的动能带来的变化发动机提供的能量转化为发动机提供的能量转化为飞船的动能飞

29、船的动能+燃料的动能！燃料的动能！第49页/共65页二者相减二者相减 tEdttEdEkkkdtumudtmMdvv20021dtdEPk功率功率20021umumdtdvMv0火箭方程火箭方程2021um第50页/共65页（4）发射效率）发射效率两边积分两边积分由由（2），飞船的末动能，飞船的末动能20,21eekvME20021umdMdEmdtdMdMdEdtdEPdMudE22122212100uMdMuERMMMR此为燃料全部耗尽所做的总功此为燃料全部耗尽所做的总功20020ln21MMMuMR发射效率发射效率2000,lnMMMMMEERRek由前面的结果由前面的结果发动机提供的功

30、率只有一部分由火箭获得，另一部分由喷出的燃料获得。发动机提供的功率只有一部分由火箭获得，另一部分由喷出的燃料获得。第51页/共65页（5） =MR/M0为何值时，为何值时， 最大最大求导数求导数21ln11ln121ln122dd令导数为零得令导数为零得 满足满足121ln1ln12465%本题结束第52页/共65页连续体引力问题：连续体引力问题：万有引力为平方反比力，与静电力极其类似，在很多方面满足同样规律。引力势引力势：万有引力的势能表达式为：万有引力的势能表达式为：若讨论若讨论m在在M势场中的运动，可定义引力势：势场中的运动，可定义引力势：则则m在在M引力势场中所具有的势能为：引力势场中

31、所具有的势能为：rMmGrEP)(（1）rMGrV)(（2）mV(r)EP该式立即变回（该式立即变回（1）。）。第53页/共65页类似地，可定义引力场强度：类似地，可定义引力场强度：)(r该式立即变回万有引力定律的原始形式：该式立即变回万有引力定律的原始形式：（3）rerMG2mF（4）rerMmG2式中式中 是由是由M指向指向m方向的单位矢量。则方向的单位矢量。则m在该势场中受力为：在该势场中受力为：re与静电场中的高斯定理类似，把（与静电场中的高斯定理类似，把（3）对同心球面）对同心球面S作积分：作积分：MRSM为高斯面中的总质量。该公式完全可推广到多个质量为高斯面中的总质量。该公式完全可推广到多个质量M1、 M2、和任意曲面以及连续体情形和任意曲面以及连续体情形GMSdS4（5）第54页/共65页例：例：质量为质量为M的气体均匀分布于半径为的气体均匀分布于半径为R的球形空间中的球形空间中。求质