复变函数报告

1、复变函数报告一些复数运算的一些复数运算的MATLABMATLAB实现实现内容提要内容提要:复变函数中的很多运算都能在MATLAB中进行，而且变得非常简单，只需要调用相应的函数或者编写程序代码。这里将选取复变函数中一些常用的运算：模、辐角、幂次、方根、留数、简单积分计算等介绍其在MATLAB中的计算方法。同时，选取了课本上的一些例题习题进行求解展示。关键词关键词 MATLAB 复数基本运算 留数 积分运算0 MATLAB简介 MATLAB（矩阵实验室）是MATrix LABoratory的缩写，是一款由美国MathWorks公司出品的商业数学软件。MATLAB是一种用于算法开发、数据可视化、数据

2、分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。MATLAB的功能十分强大，其自带的各种工具箱能够解决很多领域的数学问题，因此应用非常广泛。1 复数的生成复数的输入复数的输入在MATLAB中，复数的单位为i和j，即：i = j = 在命令窗口中其值显示为: 0 + 1.0000i产生复数的方法有两种：产生复数的方法有两种：1. 由z = x + y*i产生，可简写成z = x + y i ；2. 由 产生，可简写成 ，其中r为复数z的模， 为复数z辐角的弧度值。1)exp(irz)exp( irz2 复数的运算2.1 复数的实部与虚部复数的实部与虚部复数的实部和虚部用命令real和imag提取

3、。格式：real (z) %返回复数z的实部 imag (z) %返回复数z的虚部2.2 共轭复数共轭复数复数的共轭复数由命令conj实现。格式：conj (z) %返回复数z的共轭复数2.3 复数的模和辐角复数的模和辐角求复数的模和辐角由函数abs和angle实现。格式：abs (z) %返回复数z的模 angle (z) %返回复数z的辐角例1 求下列复数的实部、虚部、共轭复数、模、辐角。（1） （2） （3） （4）解：可以使用相应的函数指令逐个对上面各题进行求解。更方便地，将上述4个复数组成复矩阵一并处理。在MATLAB编辑器中建立M文件Example1.m：format rat %有

4、理数表示Z=1/(1+5i),3/i+i/(4-i),(1+3i)*(9-4i)/2i,4*i17-i7+iReal=real(Z) %求实部Imag=imag(Z) %求虚部Conj=conj(Z) %求共轭复数Abs=abs(Z) %求模theta=angle(Z) %求辐角i 511iii43iii6)49)(31 (iii51742.4 复数的乘除法复数的乘除法运算符：* %乘法：模相乘，辐角相加 / %除法：模相除，辐角相减例2【课本习题】（P10，12）(a) (b)解：在MATLAB编辑器中建立M文件Example2.m：clcformat rat %有理数表示a=-2i*(3+

5、i)*(2+4i)*(1+i)b=(3+4i)*(-1+2i)/(-1-i)*(3-i)Conjugate=conj(a,b) %求共轭复数i)+4i)(1+i)(2+2i(3-)3)(1()21)(43(iiii运行结果为：a = 32+24i b = 2-3/2i Conjugate = 32-24i 2+3/2i 注意：注意：3/2i = 3/(2*i)，而3/2i3/2*i = (3/2)*i2.5 复数的平方根复数的平方根函数：sqrt 格式：sqrt (z) %返回复数z的平方根值2.6 复数的幂运算复数的幂运算运算符： 格式： zn %返回复数z的n次幂例3【课本习题】（P13，

6、41）（i） （j）解：在MATLAB编辑器中建立M文Example3.m：clcz1=(-16)(1/4)z2=(-8-8*sqrt(3)*i)(1/4)%matlab求解时只能给出n=0的值运行结果为：z1 = 1393/985+ 1393/985i %取n= 0之值z2 = 1351/780-1i %取n = 0之值4/1)16(4/1) i 388(2.7 复数的指数运算和对数运算复数的指数运算和对数运算函数：exp 指数运算 log 对数运算格式：exp (z) %返回复数z的以e为底的指数函数值 log (z) %返回复数z的以e为底的对数函数值2.8 复数方程求根复数方程求根函数

7、：solve格式：solve (f (x) = 0) %求方程f (x) = 0的根例4【课本习题】（P40，1）（a） （b） （c）解：在MATLAB编辑器中建立M文件Example4.m：clcformat rat %有理数表示A=solve(exp(z)=-2)B=solve(exp(z)=1+sqrt(3)*i)C=solve(exp(2*z-1)=1)%matlab求解时只能给出n=0的值2zei 31ze11z2e运行结果为：A = log(2) + pi*i %取n = 0之值B = log(1 + 3(1/2)*i) %取n = 0之值C = 1/2 %取n = 0之值2.9

8、 复数的三角函数运算复数的三角函数运算 复数三角函数的形式和调用方式与实数一致，函数返回复数z的函数值。函数名函 数 功 能函数名函 数 功 能sin(z)返回复数的正弦函数值asin(z)返回复数的反正弦值cos(z)返回复数的余弦函数值acos(z)返回复数的反余弦值tan(z)返回复数的正切函数值atan(z)返回复数的反正切值cot(z)返回复数的余切函数值acot(z)返回复数的反余切值3 Taylor级数展开 Taylor级数展开在复变函数中有很重要的地位，如分析复变函数的解析性等。函数：taylor %Taylor级数展开格式：taylor (f) %返回f函数的5次幂多项式近似

9、 taylor (f, n) %返回n-1次幂多项式近似 taylor (f, a) %返回a点附近的幂多项式近似 taylor (f, x) %对f中的变量x展开；若不含x，则对变量x = findsym (f)展开。例5 【课本例题】（P88，6,8）（1） ，z0 = 0；（2）1/(1-z)，z0 = 0解：在MATLAB编辑器中建立M文件Example5.m：clcsyms zE6=taylor(exp(z),0) %返回函数的5次幂多项式近似值E8=taylor(1/(1-z),0) %返回函数的5次幂多项式近似值ze运行结果为：ans = z5/120 + z4/24 + z3/

10、6 + z2/2 + z + 1ans = z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1注意：taylor展开运算实质上是符号运算，因此在MATLAB中执行此命令前应先定义符号变量syms z，否则MATLAB将给出出错信息！4 复变函数的积分复变函数的积分4.1 留数计算留数计算在MATLAB中，留数可由函数residue实现。函数：residue %留数函数（部分分式展开）格式：R, P, K = residue (B, A)说明： 向量B为f (z)的分子系数；（以降幂排列） 向量A为f (z)的分母系数；（以降幂排列） 向量R为留数； 向量P为极点；极点的数目n = length

11、 (A)-1=length (R) = length (P)。 向量K为直接项注意注意：MATLAB函数只能解决有理分式的留数问题。例6 【课本习题】（P128，3）求下列函数在z=1处的留数（a） （b） 解：在MATLAB编辑器中编辑M文件Example6.m：clcsyms zformat rat A1=sym2poly(z2-1)*(z+2); %以降幂排列方式提取（a）中分母系数B1=1;A2=sym2poly(z4-1)2); %以降幂排列方式提取（b）中分母系数B2=sym2poly(z3-1)*(z+2); %以降幂排列方式提取（b）中分子系数r1,p1,k1=residue(

12、B1,A1) %求（a）的留数r2,p2,k2=residue(B2,A2) %求（b）的留数)2)(1(12zz243) 1()2)(1(zzz p2 = -0.0000 + 1.0000i -0.0000 + 1.0000i -0.0000 - 1.0000i -0.0000 - 1.0000i -1.0000 -1.0000 1.0000 1.0000 k2 = 运行结果为：r1 = 1/3 1/6 -1/2 p1 = -2 1 -1 k1 = r2 = -1/8+7/16i 1/16+3/16i -1/8-7/16i 1/16-3/16i -5/16 -1/8 9/16 -1/1441

13、1518807585564 4.2 沿闭合围线积分沿闭合围线积分闭合围线积分利用留数定理来计算。留数定理：留数定理：设函数f (z)在区域D内除有限个孤立奇点z1，z2，z n外处处解析，C为D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则nkkCzzfsidzzf1),(Re2)(例7 【课本例题】（P122，例8）解：在MATLAB编辑器中建立M文件Example7.m：clc syms zA=sym2poly(z2+1)2*(z4+2)3); %以降幂排列方式提取分母系数B=sym2poly(z15); %以降幂排列方式提取分子系数r,p,k=residue(B,A) %求被积函数的留数I=2*p

14、i*i*sum(r) %利用留数定理计算积分值4z, dz)2z() 1z(zC342215p = -1501/1785 + 1501/1785i -1501/1785 + 1501/1785i -1501/1785 + 1501/1785i -1501/1785 - 1501/1785i -1501/1785 - 1501/1785i -1501/1785 - 1501/1785i 1501/1785 + 1501/1785i 1501/1785 + 1501/1785i 1501/1785 + 1501/1785i 1501/1785 - 1501/1785i 1501/1785 - 15

15、01/1785i 1501/1785 - 1501/1785i 1/10876617967989122 + 1i 1/10876617967989122 + 1i 1/10876617967989122 - 1i 1/10876617967989122 - 1i 运行结果为：r = 11/54 - 585/3574i 108/5207 + 807/8266i -1/72 - 184/37471i 11/54 + 585/3574i 108/5207 - 807/8266i -1/72 + 184/37471i 11/54 + 585/3574i -108/5207 + 807/8266i -1

16、/72 + 184/37471i 11/54 - 585/3574i -108/5207 - 807/8266i -1/72 - 184/37471i 5/54 + 1/3145914337211900i -1/38509073187710736 + 1/108i 5/54 - 1/3145914337211900i -1/38509073187710736 - 1/108i I = -0.0000 + 5.9341i注意：注意：本题的准确解为2i,计算机运算时由于多次截取近似值使得结果有一定的偏差例8 【课本习题】（P128，5）（a） （b） （c）解：在MATLAB编辑器中建立M文件Ex

17、ample8.m：clcsyms zA1=-1,0,0,1; %(a)式分母系数B1=1,0,0,0,0,0; %(a)式分子系数A2=1,0,1; %(b)式分母系数B2=1; %(b)式分子系数A3=1,0; %(c)式分母系数B3=1; %(c)式分子系数35z1z2z11z1r1,p1,k1=residue(B1,A1); %求被积函数的留数r1=r1(find(abs(p1)2); %选取在围线内部的奇点对应的留数I1=2*pi*i*sum(r1) %利用留数定理计算积分值r2,p2,k2=residue(B2,A2); %求被积函数的留数r2=r2(find(abs(p2)2); %选取在围线内部的奇点对应的留数I2=