高级微观经济学1-3章框架

1、第1-3章：消费者理论一、形式化表述分析消费者偏好的性质（完备性，传递性，连续性，严格单调性，严格凸性等等）*二、效用函数存在性证明。请参考教材三、表述显示性偏好弱公理及显示性偏好强公理，并用于分析下面问题。考察一个对物品1和物品2有需求的消费者，当物品价格为（2，4）时，其需求为（1，2）。当价格为（6，3）时，其需求为（2，1），该消费者是否满足显示性偏好弱公理。如果（1.4，1）时，该消费者是否满足显示性偏好弱公理。解答： 消费束1偏好于消费束2 消费束2偏好于消费束1违反了显示性偏好弱公理。如果（1.4，1）时： 消费束1偏好于消费束2 消费束1在价格2的情况下买不起。符合显示性偏好弱

2、公理。四、效用函数，求瓦尔拉斯需求函数解答：从效用函数可知商品2对消费者没效用，因此最大化效用的结果是所有的收入都用于购买商品1，对商品2的需求为0，或者由,可得到实际上，这是一个边角解，五、设效用函数，其中；这就是常（或不变）替代弹性（CES）效用函数。求：（1）瓦尔拉斯需求函数；（2）间接效用函数；（3）验证间接效用函数关于价格与收入是零次齐次的；（4）验证间接效用函数关于收入y是递增的，关于价格p是递减的；（5）验证罗伊恒等式；（6）求希克斯需求函数；（7）求支出函数；（8）从它对应的间接效用函数推导出支出函数，及从支出函数推导出间接效用函数。（9）验证（对偶定理）（1）求瓦尔拉斯需求函

3、数列出拉格朗日函数：三个一阶条件：；整理，得：；求解，得：；上式就是消费者的瓦尔拉斯需求函数。如果定义，便可将瓦尔拉斯需求函数化简为：；（2）求间接效用函数将上述两个瓦尔拉斯需求函数代入直接效用函数，可得间接效用函数：（3）验证间接效用函数关于价格和收入的零次齐次性； （4）验证间接效用函数关于收入y是递增的，关于价格p是递减的，对它求关于收入与任何价格的微分，得：（5）验证罗伊等式：间接效用函数对价格求导除以间接效用函数对收入求导，别忘了乘-1！（6）求解支出最小化问题其拉格朗日函数为：三个一阶条件为：；通过消去，这些式子被简化为：；令，可解出希克斯需求函数：（7）将希克斯需求函数代入目标函

4、数，可得支出函数：（8）从间接效用函数推导出支出函数间接效用函数为：将替换为u，解出y；再将y替换为，得到支出函数为：从支出函数推导出间接效用函数支出函数为：将u替换为，将替换为y，解出。（9）瓦尔拉斯需求函数为：，将y替换为支出函数得：六、效用函数，对其求1、瓦尔拉斯需求函数，间接效用函数；2、希克斯需求函数，支出函数。答案：1、，2、，七、给出瓦尔拉斯需求函数、希克斯需求函数、间接效用函数、支出函数形式化描述，说明其性质，*并证明其中的凹凸性性质。请参考教材*八、证明对偶原理中的1.2. 请参考教材*九、考虑将瓦尔拉斯预算集扩展为一个任意消费集。假定。证明：如果是一个凸集，则也是凸集。答案

5、：设xB, xB,0,1.令x=x+(1-) x,因为x是一个凸集，所以xX.故px=(px)+ (1-)(px)w+ (1-)w=w因此，xB.十、效用函数，推导斯拉茨基方程，并分析替代效应、收入效应和总效应。答案：推导斯拉茨基方程需要以下函数：（1）瓦尔拉斯需求函数：（过程省略）；（2）间接效用函数：（3）希克斯需求函数：；（4）验证第一种商品的斯拉茨基方程：第一步：计算收入效应，第二步：计算替代效应（把u替换为间接效用函数），代入，得到：第三步：计算总效应第四步：验证总效应=替代效应+收入效应，显然十一、效用函数，求其货币度量的直接和间接效用函数。答案：十二、效用函数，当，求其等价变化和

6、补偿变化。答案：为了计算等价变化和补偿变化需要：间接效用函数：支出函数：1先求等价变化：“老价格，新效用，计算支出函数”老价格为：新效用为：则等价变化为2补偿变化：“新价格，老效用，计算支出函数”老效用：补偿变化为：十三、分析福利分析在税收方面的应用。请参考教材十四、，假定，对商品1开征消费税0.25元。求开征消费税的无谓损失（包括两种情况）。解答：max s.t. 1求瓦尔拉斯需求函数（1）建立拉格朗日函数（2）求极值一阶条件 (a) (b) (c)由(a)和(b)整理得：（3）瓦尔拉斯需求函数分别将，代入预算约束(c)，有 2求间接效用函数将瓦尔拉斯需求函数代入目标函数，有3求支出函数由间接效用函数，求反函数得：4求希克斯需求函数法一：将支出函数代入瓦尔拉斯需求函数，得到 法二：根据谢伯特引理，对支出函数对价格求导，也可得到希克斯需求函数。5求货币度量的效用函数（1）货币度量的直接效用函数由，有（2）货币度量的间接效用函数6下标0表示征税前，下标1表示征收消费税后。，等价变化分析：按照征税前的价格计算的，消费者对征收消费税前后所获得效用的变化：商品税与收