导数典型例题讲解

1、学习好资料欢迎下载资料一 ：导数 .知识点1导数的概念例 1已知曲线 y= 3x 上的一点 P(0, 0)，求过点 P 的切线方程 ·解析：如图，按切线的定义，当x0 时，割线PQ 的极限位置是 y 轴（此时斜率不存在），因此过P 点的切线方程是 x=0.例 2求曲线 yx2 在点 (2，4)处的切线方程 ·解析：202222y=x, y=(xx) x0 2x0x( x) =4yx ( x) k limlim(4x) 4.0 xxx 0 曲线 y x2 在点 (2，4)处切线方程为 y44(x2)即 4xy40.例 3物体的运动方程是 S1t t2，其中 S 的单位是米，

2、t 的单位是秒，求物体在 t5 秒时的瞬时速度及物体在一段时间 5，5 t内相应的平均速度解析： S=1+t+t2, S=1+(t+t)+(t+t)2(1+t+t2)=2t· t+ t+( t)2, S2 1t , 即 v (t )2t 1t , v (5)t 11,tt即在 5，5t 的一段时间内平均速度为 (t 11)米秒 v(t)=S limSlim(2 t 1t ) 2t 1tt 0t 0即 v(5)2×5111. 物体在 t5 秒时的瞬时速度是11 米秒例 4利用导数的定义求函数y=1 在 x=1 处的导数。x解析：y=111xy=11 x11 x,x,1x (1

3、 1 x) limy = limx(111x)1 .x 0 xx 0 12例 5已知函数 f(x)=x2 sin 1x0求函数在点0处的导数x,f(x)x0x0解析：由已知 f(x)=0，即 f(x)在 x=0 处有定义， y=f(0+x)f(0)= ( x)2 sin 1 ,11xy = xsin,limy = limxsin=0,即 f (0)0.xxx 0xx0x函数 f(x)在 x 0 处导数为 0.学习好资料欢迎下载1 (x21)x 1例 6已知函数 f(x)= 2, 判断 f(x)在 x1 处是否可导？1( x1)x12y1(1x)21 11 x)解析： f(1)=1,limlim

4、2xlim (11,x 0xx0x02y1 (1x1)11 , limyy ,limlim2xlimx 0xx 02x 0xx 0x 函数 y=f(x)在 x 1 处不可导例 7已知函数 y 2x3 3，求 y.解析： y=2x3+3,y=2(x+3+332··2+2(3x)(2x +3)=6xx+6x (x)x) ,y =6x2+6x· x+2(x)2, y= limy =6x2.xx 0x例 8已知曲线 y2x33 上一点 P， P 点横坐标为 x 1，求点 P 处的切线方程和法线方程解析： x=1, y=5, P 点的坐标为 (1, 5),利用例 7 的结论

5、知函数的导数为 y=6x2,y|x 1 6, 曲线在 P 点处的切线方程为 y56(x1)即 6xy10, 又曲线在 P 点处法线的斜率为1 ，曲线在 P 点处法线方程为 y5 16，即6yx310.6( x 1)例 9抛物线 yx2 在哪一点处切线平行于直线y4x 5？解析： y= limy( xx)2x22x ,= limx 0xx 0x令 2x4 x=2, y 4, 即在点 P(2，4)处切线平行于直线 y4x 5.例 10设 mt0，f(x) 在 x0 处可导，求下列极限值(1)f (x0mx)f ( x0 ) ；(2) limf (x0x)f (x0 )limt.x0xx 0x解析：

6、要将所求极限值转化为导数f (x0 )定义中的极限形式。(1)limf (x0mx)f ( x0 ) = limf (x0mx)f ( x0 )(m)m f '(x0 ) ,x0xx0m x（其中 m· x0）f (x0x )f ( x0 )f (x0x)f ( x )11(2)limt= limt0f '(x0 ) .x0xx 0xttt学习好资料欢迎下载（其中 1x0 ）tf ( x)例 11设函数 f(x)在 x1处连续，且 limx2 ，求 f (1).x 11解析： f(x)在 x1处连续， limf ( x)f(1).x1而又 limf (x)lim( x

7、1) f ( x)lim( x1) limf (x)0 ×2=0.x 1x 1x 1x 1x 1 x 1 f(1)=0. f (1)= lim f (1 x)f (1) lim f ( x)f (1)2 （将x 换成 x1）x 0xx 1x1即 f (1)2.例 12已知抛物线 yax2+bx+c (a0)，通过点 (1，1)，且在点 (2，1)处与直线yx3 相切，求 a， b， c 的值解析：由 y limy = lima( xx)2b( xx) c(ax2bxc)2ax b ,x 0xx0x由函数在点 (2， 1)处与直线 y x 3 相切 , 2a×2b1，又函数过

8、点 (1， 1)，(2， 1), abc=1， 4a 2bc 1，由三式解得 a 3， b 11， c=9.例 13设曲线 y sinx 在点 A(6， 1 )处切线倾斜角为 ，求 tan(4)的值 .2解析： y=sinx， y=sin(x+x)sinx=2cos(x+x )sinx ,xx22x2cos(xy)sinxsin y= lim22lim cos(xlim2cosx .= limx)xx 0xx 0x 02x 02即 y(sinx) cosx,令在 A 点处切线斜率为 k=cos=3 , tan=3 , (0, ),622 ) 1tan13 tan(2743H，41tan132例

9、 14设 f(x)是定义在 R 上的函数，且对任何 x1、x2R，都有 f(x1x2)=f(x1)f(x2 )，若 f(0)0，f (0)1，证明：对任何 xR，都有 f(x)=f (x)解析：由 f(x1 x0)=f(x1)f(x2)，令 x1 x20 得 f(0) f(0)f(0), 又 f(0) 0 f(0)=1由 f (0)=1 即 lim f ( x) f (0)lim f ( x) 1 1,x 0xx 0x f (x)学习好资料欢迎下载f ( xx) f ( x)limf ( x) f ( x) f ( x)f ( x) limf ( x) 1limxxf ( x) .x 0x 0

10、x 0x即 f (x)=f(x)成立2几种常见函数的导数例 1已知 f(x)=x3，求 f (x)，f (1)，(f(1) ，f ( 0.5) 解析： f(x)=x3, f (x)3x2, f (1)=3,f ( 0.5)3×(0.5)2= 0.75，(f(1) =(1) =0.说明：导函数与函数在某点处导数要弄清区别与联系 后者是导函数的某一函数值，因此在求函数某一点处导数时可先求导函数，再直接求导函数值例 2已知曲线 y=x2 上有两点 A(1, 1), B(2, 4)，求 割线 AB 的斜率；在 1 ，1x内的平均变化率；过点 A 处的切线斜率 kAT； 点 A 处的切线方程解

11、析： kAB 41 3；21 平均变化率yf (1x) f (1) (1x)21xxx2 x , y2x , y|x12. 即点 A 处的切线斜率为 KAT 2. 点 A 处的切线方程为 y12(x1)即 2xy10.说明：通过本例搞清割线斜率， 区间上平均变化率， 某点处切线斜率与某点处的导数之间的区别与联系，再次验证了导数与平均变化率之间的关系y=limy .x 0x例 3利用导数定义和导数公式两种方法求曲线y= 1 在点 P(1， 1)处的切线倾斜x角及该点处的法线方程解析：解法一： f(x)= 1 ,y=f(1+x)f(1)=11x ,x1x1x y|x=1y11 .= lim= li

12、mx 0x x0 1x即在点 P 处斜率为 k 1， 倾斜角为 135°，法线方程 y1x1 即 x y 0.解法 二： 1，y=f(x)=1,x=1 1.( )y=f(x)x2y|x即在点 P 处切线斜率为 k=1，以下同法 (一)说明：求导致方法有两种， 一种是利用导致定义法求导数， 第二种用导数公式，要注意题目要求，若无声明，用最简单的方法即可例 4已知曲线 y= 3 x 上的一点 P(0， 0)，求过点 P 的切线方程 .解析：由 y=331, 在 x=0 处导数不存在，由图形知x , y=(x ) 'x23 3学习好资料欢迎下载过 P 点的切线方程是 x=0.例 5

13、设曲线 ycosx 在 A(，3)点处的切线倾斜角为 ，求 cot()的值624解析： y=cosx, y=sinx, x=时, k=sin6= 1 , tan = 1 ，62211tan111 . cot( )=24tan()1tan113423例 6求曲线 yx 在点 (3，27)处的切线与坐标轴所围成的三角形面积32解析：y=x , y =3x , y|x=3=27, 曲线 y=x3 在点 (3， 27)处的切线方程为 y2727(x3),即 y27x 54. 其与 x 轴， y 轴交点分别为 (2，0)， (0， 54) 切线与坐标轴围成的三角形面积为S= 1×2×

14、5454.2例 7在抛物线 yx2 上取横坐标为 x11 及 x23 的两点，作过这两点的割线，问该抛物线上哪一点的切线平行于这一割线？解析：已知两点 A(1， 1)B(3，9)，割线斜率为 kAB=4, y2x，令 y =2x 4 得 x2, 即在点 (2，4)处切线平行于这一割线3函数和、差、积、商的导数例 1求下列函数的导数：2 xcosx； y= tan x ； y=xtanx2 ； y=1 y=3xxcos x1 .1解析： y=6x+cosxxsinx；x(tan x)' xtan x ( x)' xsec2x tan x； y=2x2x y=xsin x 2(x

15、cos xcos x, y= sin x(cos xcos2sin x) cos x( xsin x2) (sin x)2cos x2) x .x y=x11 , y=1122 .1xx1( x1)( x 1)例 2已知函数 f(x)=x37x+1，求 f (x)，f (1)， f (1.5).3 2 1 解析： f(x)=x 7x+1, y=f (x)=3x 7, f (1)= 4， f (1.5)= .注意：导函数与导数的区别与联系， 函数在某一点的导数是导函数在这一点学习好资料欢迎下载处的函数值例 3已知函数 yx3 ax2 4 a 的导数为 0 的 x 值也都使 y 值为 0，求常数

16、a 的3值解析： y=3x2+2ax, 令 y =0,则 3x2+2ax=0, x1=0, x2= 2 a, 3当 x=0 时， y=0= 4 a， a=0，即 a 0 满足条件 ,3当 x= 2 a 时 y0=8 a34 a24 a 得 a0 或 a ±332793检验知 a±3 不满足条件， 常数的值为 0.例 4曲线 y x2 4x 上有两点 A(4， 0)，B(2，4)，求 割线 AB 的斜率 kAB； 过点 A 处的切线斜率 kA； 点 A 处的切线方程。解析：割线 AB 的斜率 kAB= 40 =2；2 4 y=2x+4， y|x=4= 4，即 kA=4； 过

17、A 点的切线方程为 y0 4(x4)，即 y 4x16.例 5已知 F(x)=f(x)g(x)，就下列两种情形判断F(x)在 x x0 处是否可导？ f(x)在 x x0 处可导， g(x)在 x x0 处不可导 f(x)，g(x)在 xx0 处均不可导解析： F(k)在 xx0 处不可导假设 F(x)在 x x0 处可导，由 F(x)=f(x) g(x), g(x)F(x)f(x). f(x)在 xx0 处可导， g(x)在 x=x0 处可导，与条件 g(x)在 x x0 处不可导矛盾， F(x)在 x x0 处不可导 F(x)在 x x0 处不一定可导如设 f(x)=sinx+ 1 , g

18、(x)=cosx 1 , 则 f(x)，g(x)在 x0 处均不可导，xx但 F(x)=f(x)+g(x)sinxcosx 在 x0 处可导另：若 g(x)=tanx+ 1 上，在 x0 处不可导，xF(x)=f(x)+g(x)=sinx+tanx+ 2 在 x0 处也不可导x例 6曲线 y x3x 1 上求一点 P，使过 P 点切线与直线 y=4x 7 平行解析： y =(x3x1) 3x2 1，由过 P 点切线与直线 y4x 7 平行， 令 3x21 4 得 x±1，当 x=1 时， y=1，此时切线为 y 1 4(x 1)，即 y 4x3 与直线 y4x7平行， P 点坐标为

19、(1，1)。当 x 1 时， y 3，此时切线为 y3=3(x1)，即 y4x1 也满足条件， P 点坐标为 ( 1， 3).综上得 P 点坐标为 (1，1)或(1， 3).例 7证明：过抛物线 ya(xx1)(xx2), (a 0， x1 x2 )上两点 A(x1，0)， B(x2，0)的切线倾斜角互补解析： y =2axa(x1+ x2).学习好资料欢迎下载y '|x x1a( x1x2 ) , 即 k1=a(x1x2),y '|x x1a(x2x1 ) , 即 k2=a(x2x1), k1 =k2， 两切线倾斜角互补例 8已知曲线 y=f(x)及 y=f(x)sinax，

20、(a0)，其中 f(x) 0，且为可导函数， 求证：两曲线在公共点处彼此相切解析：由 f(x)=f(x)sinax, f(x)>0， sinax=1，ax=2k+(kZ),22k2 ，设曲线交点 (x0 0 ， 即2kx=02.a, y )x =a，1=(， 1，·又两曲线 y1=f(x)2=(·yfx) y =f(x)sinax yf x)sinax+a cosx f(x)y1'| x xf '(x0 ) ,y2 '|x x0f '( x0 )sin(2 k)af ( x0 )cos(2 k) f '(x0 ) ,022 k1

21、 =k2，即两曲线在公共点处相切 .例 9已知直线 ykx 与曲线 yx33x22x 相切，求 k 的值解析：由 y=3x26x+2=k, 又由 kx=x33x2+2x， 3x36x2+2x=x3 3x2+2x,即 2x3 3x2 0 得 x10 或 x2= 3 k2 或 1 244复合函数的导数、对数函数与指数函数的导数2例 1函数 y (sinx2) 3是由函数 y，u，v=三个函数复合而成2v=x2 .解析：答案分别为： y=u 3 ,u=sinv.例 2求下列函数的导数： y=(x2 +2x)3； y= e5 4x21； y=3ax2bx c ； y(sinx2) 3； 1x2)；y3

22、3；cos5x； y=xn+y ln(xx lig xy=, (xR , n R).2322sin 2 x22解析： y=( x+2x)， y=3(x +2x)·(2x+2)=6(x+1)( x +2x) . y=5 4 x25 4 x2 ··5 4x2e, y=e(8x)=8xe. y= 3 ax2c , y= 1 (ax22bxbxx) 3 ·(2ax+b).321123) y=(sinx ), y= (sin x3222xcos x23·2x=·cosx.33 (sin x2 ) 2 y ln(x2), y=12x11 x(1)

23、 =.x1 x22 1 x21 x2学习好资料欢迎下载3323122233 y xlig· 3x+x·333(ex ).x, y =3x liglig e=3x ligx+x lig e=x ligx y= cos5x , sin 2x(cos5 x)'(sin 2x)cos5 x(sin 2x)'5sin 5x sin 2x 2cos5 x cos 2x.y=(sin 2x)2(sin 2x)2 y=xnln x)nn ln xn ln x11·nn 1.= ( ee, y=en=n·x = nxxx说明：本例集中训练常见函数求导公式，

24、 导数的四则运算法则， 复合函数的求导法则等，这些要反复熟记 ·( xa)2(xb)2axb 的导数。例 3求函数 f(x)=0x a或 xb解析： f (x)=2( xa)( xb)( xb)( xa)a x b0x,a或 x b2( xa)( xb)(2x ab)a x b f (x)=0xa或 xb例 4若 f(x)=xln(x 5)， g(x)ln( x1),解不等式 f (x)>g(x).解析： f (x)=1+ 1(1由f(，有x, gx)=,x)>g(x)5x 11+ 1>1, 即( x3)20, x>5 或 x<1.( x 5)( xx5

25、x11)又两函数定义域为x>5, 所以，不等式 f (x)>g(x)的解集为 (5， ).说明：求导数有关问题时还要注意原函数定义域例 5证明：可导奇函数的导数是偶函数。解析： 法一：定义法：设 f(x)为可导奇函数，则 f(x) f(x), f (x)= limf ( xx)f ( x)lim f ( x x) f ( x)x 0xx 0x= limf ( xx)f ( x) =f (x).x0x即 f (x)=f (x)导函数为偶函数 .法二：复合函数求导法：设 f(x)为可导奇函数，则 f(x) f(x)，两边对 x 求导得： f (x) =f (x)即 f (x) f x)

26、,( f (x)f (x) f (x)为偶函数，即命题成立同理可证：可导偶函数的导数是奇函数例 6石头落在平静水面上，产生同心波纹，若最外一圈波半径增大速度总是am/s，问在 b 秒末波扰动水面积的增大速度是多少？解析：设 b 秒末最外一圈波纹的半径为 R，则 R=ab,学习好资料欢迎下载2，又 Ra，S R2S|R=ab=2R·R(t)|R=ab=2ab.22即 b 秒末波扰动水面积的增大率为2ab m /s.例 7将水注入锥形容器中， 其速度为 4 米 3/分，设锥形容器的高为 8 米，顶口直径为 6 米，求当水深为 5 米时，水面上升的速度 (如图 )解析：设注入水 t 分钟后

27、，水深为 h 米，由相似三角形对应过之比可得水面直径为3 h 米，这时水的体积温 V= 1 32· 34h3，由于水面高3(h) h=864度 h 随时间 t 而变化，因此 h 是 t 的函数 hh(t)，由此可得水的体积关于时间t的导数为 Vt Vh·t， Vt33)' h 't92h 't，h= (64hh64由假设，注水的速度为4 米 3分92t464 Vt= hh 't =4, 即 h=2 ,649hh|h=5= 256 当 h5米时，水面上升的速度为(米/分).2255函数的单调性和极值1求函数 yex x 1 的单调区间xxx1&

28、gt;0得 x>0，即函数在 (0, +)上为增函数；解析：y=(e x+1)=e1,由 e由 ex 1<0 得 x<0，即函数在 (， 0)上为减函数 函数的单增区间为 (0， )，单减区间为 (， 0).例 2证明：函数 y 2x x2 在区间 (0，1)上单调递增，在区间 (1，2)上单调递减解析：y= 1x,2xx2当 x(0， 1)时， y>0， f(x)在(0， 1)上递增；当 x(1， 2)时， y<0， f(x)在(1， 2)上递减例 3讨论函数 y=x 2sinx 在(0，2)内的单调性 . y=12cosx, x(0,2)，由 y>0，得

29、5,即y=f(x)在( ,5内是3<x<3)33单调递增；同理，由 y<0，得 0<x<或5，3<x<2)和( 53 y=f(x) 在 (0, 2 )内都是单调递减。33例 4设 f(x)x21ax (a0)，求 a 的范围，使函数f(x)在(0， )上是单学习好资料欢迎下载调函数解析： f (x)=xx<1,x2 1a ，当 x(0, + )时， 0<x21 a 0，且 f(x)在(0， )上是单调函数，则必有 f (x)<0， a1.即 a1 时，函数 f(x)在 (0， )上是单调函数例 5已知函数 f(x) alg(2 ax

30、) (a0 且 a1)在定义域 (0， 1)上是减函数，求 a 的取值范围解析：定义域要求 2ax>0, x< 2 , 又函数在 (0, 1)上都有意义，a 2 1， a2, alg(2ax )1lg(2 ax)1， y=ln alog 10 e ( a)alg aa2ax2xalg a0lg a0由 y<0，得2或2，xa0x0a若 0<a<1,则 lga<0,x2 >0，则 x>2 >2 与定义域 x(0, 1)矛盾，aa 只有 a>1，此时 lga>0,x2 <0, x< 2 <2, 1<a2.aa

31、例 6当 x0 时，证明不等式xln(1x)x1 xx1解析：设 f(x)=ln(1x) =1ln(1x) ,1xx1则 f (x)=11x2 ,x)21x(1 x)(1当 x>0 时， f (x)=x<0,即f(x)在 ，上是递减函数，(1 x)2(0)又当 x 0 时， f(0)0 f(x)<f(0),即 xxln(1x) <0,xln(1x) .11x令 g(x) ln(1 x)x,g(x) 111x1xx当 x>0 时， g(x)<O， g(x)也为减函数，又当 x 0 时， g(x) 0， g(x)<g(0). ln( 1 x)x0 即 ln

32、(1x)<x.xln(1 x) x1x学习好资料欢迎下载例 7右图是函数 y x3 x25x5 的图象，试结合图形说明函数的极值情况：解析： f (x)=3x2+2x5=(3x+5)(x1),令 f (x)=0, 得 x1= 5 , x2=1，3 x= 5 和 x1 是 f(x)可能的极值点，3又由图象可以看出，f( 5 )比它临近点的函数值大，f(1) 比它临近点的函数3值要小， f( 5 )，f(1)分别是函数的极大值和极小值， 除此之外，没有其它极值点3例 8设函数 f(x)ax3bx2cx，在 x1 与 x 1 处有极值，且 f(1) 1，求f(x)表达式 .解析： f(x) a

33、x3 bx2 cx， f (x)=3ax2+2bx+c, x( , +)，由已加 f(x)在 x=一 1 与 x1 时有极值 f (1) f (1)0， 又 f(1) 1，3a2bc0 3a2bc0 ，解得 a= 1 , b=0, c= 3 .abc221 f(x)= 1 x3 3 x.22例 9已知 f(x)=x2c，且 g(x)=ff(x)=f(x2 1)，设 (x)g(x) f(x)，问：是否存在实数 ，使 (x)在 (， 1)上是减函数，并且在 (1，0)上是增函数22222解析：由 ff(x) f( x 1)得 (x c) c (x 1) 1，得 c 1，42(x) g(x)f(x)

34、x (2 )x(2 )是连续函数，(x)2x(2x22)由 (x)在(， 1)上是减函数，且在 (1， 0)上是增函数， (x)|x= 1=(1)=0， =4，即存在实数 4，使 (x)满足条件说明：本题若用函数单调性定义太繁！6函数的最大值和最小值例 1求函数 f(x)5x2 x 34 x 的值域 .解析：由x 30 得 f(x)的定义域为 3 x4，原问题转化为求f(x)在区4 x 0间 3, 4上的最值问题。11yf (x) 5,x 32 4 x学习好资料欢迎下载在 3，4上 f (x) 0 恒成立 , f(x)在 3，4上单调递增 当 x 3 时 ymin 157 ， 当 x=4 时 ymax=2027 ， 函数的值域为 157 ，2027 .例 2设 2 <a&