矩阵乘积的运算法则的证明新

1、所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。矩阵乘积的运算法则的证明矩阵乘积的运算法则1 乘法结合律：若 A Cm n ,B Cn p , C Cpq,则 A(BC) (AB)C.2 乘法左分配律：若 A和B是两个 m n矩阵，且C是一个n p矩阵，则 (A B)C AC BC .3 乘法右分配律：若 A是一个 m n矩阵，并且B和C是两个n p矩阵，则 A(B C) AC BC .4 若 是一个标量，并且 A和B是两个n m矩阵，则 (A B) A B.ABC先设 n 阶矩阵为 A (aij), B(bj), C(cj ) , AB (dij ), BC(eij)

2、(fij) , A(BC) (gj),有矩阵的乘法得:d ijai1b1jai2b2jeijbi1c1jbi2c2jfijdi1C1jdi2 c2jgijai1 e1 jai2e2j故对任意i, j 1,2ainbnj.i,j1,2nbncnj.i, j 1,2 ndincnj.i, j1,2nainenj.i, j 1,2 nn有：fijdiCjdi2 c2jd in cnj(ai1b11ai2b21ainbn1)c1j(ai1b12ai2b22ain bn2 )c2j(ai1b1nai2b2nainbnn)cnjai1(bnO1jb12c2jbmOnj )同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风!5ai

3、2(b21cijb22 c2jb2ncnj)ain (bnicl jbn2c2jbnncnj )aileljai2e2jainenj=g ijBC(eGnq故(AB)C A(BC)再看 A (aik)mn，B 0拈3(%) pq, AB (dj )mp ,A(BC) (git)mq,有矩阵的乘法得：d ijailbi jai2 b2jainbnj.i,j1,2 nektbk1 cltbk2 c2tbkpCpt.k 1,2 n,t 1,2 qfitdi1c1tdi2 c2tdipCpt.i1,2 m,t 1,2 qgitai1e1tai2e2tain ent .i 1,2 m,t 1,2 q故对

4、任意的i 1,2 m,j 1,2 p, k 1,2 n, t 1,2 q 有:fit di£1tdi2 c2tdipcpt(aib11ai2b21ainbn1)Gt(ai 1b12ai2b22ain bn2 )c2t(ai1b1pai2b2Painbnp )cptai1 (b11c1tb12c2tb1pc pt )ai2 (b21c1tb22 c2tb2 pcpt )ain(bn1Gtbn2c2tbnp c pt )6ai1e1tai2e2ta inent=g ij故(AB)C A(BC)证明2设Aj表示矩阵 A的第i行，第j列上的元素，则有(A B)Cj(Aik Bik)CkjkA

5、ikCkjBikCkjkk= (AC)j (BC)j故证出矩阵乘法左分配律.证明3同理矩阵乘法左分配律可得(AC)j (BC)jAikCkjBikCkjkk(AkBik)Ckjk=(A B)C j故证出矩阵乘法左分配律.证明4aiiai2ainbiibi2bin设 A (aij )mna2ia22a2n,B(bij ) mb2ib22b2ninamiam2amnbmibm2bmnaiibiiai2bi2ainbln可得A Ba21b2ia 22b22a2 nb2namibmia m2bm2amnbmn(aiibii)(ai2b12)(ainbin)(A B)(a21b2i )(a22b22 )(a2nb2n)(amibmi)(am2bm2)(amnbmn )aiia12ainAa2ia22a2 nami,am2amn(aiibli)(ai2A B(a21b2i)(a22(amibm