点共线向量表示及其性质应用

1、平面内三点共线的向量表示及其性质应用本文给出了三点共线向量表示的证法探究，以启迪思维和拓展思路之目的，另外又给出了三点共线向量表示在 解题中的应用。例题：如图，A， B， C是平面内三个点，P是平面内任意一点，若点得 PC= PA+( 1-)PB .证法探究：分析：初看欲证目标，始感实难下手。我们不妨从结论岀发探寻线路，欲证PC = PA+ (1-) PB，只需证PC = PA+PB- PBPC-PB= (PA-PB)BC = BA BC II BA .这样证明思路有了 证法：向量 BC 与向量 BA 共线， BC = BA，即 PC-PB= ( PA-PB)，PC = PA + PB- PB

2、， PC = PA+ (1-) PB .证毕，再思考一下实数的几何意义究竟如何。 考察向量等式 BC = BA，结合图形，易知，当点C在线段AB上时，则BC与BA同向，有ow < 1；当点C在线段AB延长线上时，则 BC与BA反向，有<0；当点C在线段BA延长线上时，则 BC与BA同向，有 > 1.此例题逆命题亦成立，即 已知A ,B ,C是平面内三个点，P是平面内任意一点，若存在实数 ，有PC = PA+ PB，且 + =1,则A，B，C三点共线.故此逆命题可作三点共线判定方法。为方便起见，我们将两命题作为性质叙述如下：性质1：已知A，B，C是平面内三个点，P是平面内任意一

3、点，若 A，B，C三点共线，则存在实数使得 PC = PA+ (1-) PB .或叙述为：已知A，B，C是平面内三个点，P是平面内任意一点，若 A，B，C三点共线，则存在实数，使得 PC = PA+ PB，则有 +=1.性质2 :已知A，B，C是平面内三个点，P是平面内任意一点，若存在实数 ，有PC = PA+ PB，且 +=1,则A，B，C三点共线.三点共线性质在解题中的应用：例1如图，在 ABC中，点O是BC的中点，过点 O的直线分别交直线 AB、AC于不同的两点M、N，若 AB=mAMAC = n AN，贝y mn的值为解析：连结AO ,因为点O是BC的中点，所以有1 1 1A0 =1A

4、B 1Ac mAM 一nAN,又因为2222M、O、N三点共线，所以1m 2n 1，故m n 2.2 2点评：因为点 0是BC的中点，所以 =| C0 1|CB |1，由性质1,21=1-=_，简便求岀m2n的值.在厶ABC中,UULT AN1 UULTNC，点P是BC上3的一点，UUU 若APUUU 2 UULT mABAC ,则实数m的值为（)11"95小 3D.2A.B.C.11111111解:Q B, P,N-三占八、共线UUUUUIL2 UULTUUU2UUUTUUIL8UULTQ APmABAC mAB4ANmABAN111111813 亠m -m，故选c例2 （湖北省2

5、011届高三八校第一次联考）如图2,1111（广东省2015届高三六校联考）点 G是厶OAB的重心,例3所示:动点,且P、G、Q三点共线设OP xOA ,OQ yOB，证明：1Q分别是边OA、OB上的证明：Q因为G是VOAB的重心,UJITOG1 ULL2(oaUUTOB)x1 UJU -(OA 31 亠是定值; yUJIUOB)UUUQOPuuu xOAUUU 1 UUUOA OPxUULTQOQUUUyOBUUUOB1 UULT-OQyUULTOG1 UUU3(oauurOB)又Q P,G,Q三点共线,11 UUU1(x0P1 UULT OQ) yUULTOG1 UUUOP3x1 UUUT

6、OQ 3y例4 如图，在 ABC中,AD与BC交于M点，设（i）用a , b表示OM ；13x13yOCOA（n）在已知线段 AC上取一点证：7P 7q 1】0A，4a,OBOD1OB，E，在线段BD上取一点F，使EF过点M 设OEApOA , OF qOB 求解析：(i)因为B、M、C三点共线，所以存在实数 m使得OM =mOC (1 m)OB三点共线，所以存在实数n使得=m OA (1 m)OB = 1 m2 (1 m)b ；又因为 A、 M、 D44OM = nOA(1 n)OD = na !(1 n)b 由于a，b不共线，所以有n,idn),解得,457173b7 1 -故 OM =

7、a7(n)因为E、M、F三点共线，所以存在实数使得OM = OE(1)OFpa (1)qb 结合(i),易得岀1P 7,消去(1 )q |,A 1 7q点评：本题是以,b作为一组基底,其他向量都由它们线性表示.(i)中的实数m , n的几何意义为:m再=4|BC| 7n = J , |DA| 7m , n ( o, 1)；解(n)中的实数=J-FM_| =A|FE |7p例5 如图，平行四边形ABCD中,AP点P在线段AB上，且 -PBm, Q在线段AD 上,且竺QDn , BQ与CP相交于点R，求的值.RCQD解析：设PRPR=，贝U=, BR = BC +RCPC111 1 BA 1 m

8、1(1-) BP 因为1APPB所以BP BA，m 1且BR=BC +1又誥n，- AQnAD =BC , BQ n 1BA AQ ,即 BQBC n 1BA 又 BR与BQ共线，=0，解得(1)(m 1)(m 1)( n 1)点评：我们先要确定好一组基底BA, BC ,看准BR, BQ如何由它们线性表示;而欲求目标数值,因P, R,C三BA, BC两基底线性表示，此时容,在平行四边形 ABCD中,r uurb，贝卩AG 点共线，中途要以 BP, BC作基底，BR由它们线性表岀时，分析清楚该两基底系数所表示的几何意义，由性质1，得BR = BC + (1- )BP ;最终BR与BQ都得转化到由

9、 1 1易由共线向量性质列岀等式，从而求岀结果.例6 (汕头市东山中学 2014届高三第二次模拟考试)所示uuu 1 uuu LULT 1 LULTUUU r UUUTAE - AB , AF AD,CE与 BF 相交于 G 点，记 AB a , AD 342 r 1 ro 2 r 3r 小314r2rA. a bB. a b C. a bD. a b77777777分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很 容易联想到点F、G、B以及E,G,C三点在一条直线上，可用平面内三点共 线定理求解。解: Q E,G,C三点共线,由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对uur ju

10、u实数x使得 AG xAEUlTAGx a (1 x)(a3.1,( r buuirx)AC , Q2x r(1 纟)a (1AE1 r ujur r r -a,AC a b 3又Q F,G,B三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数使得uuiruuuuuuuir1 uur1 rAG AB (1)AF QAF1 AD-b，442x61x由两式可得：37131 x47点评：本题的解法中由两组三点共线（F、G、uur 3 r 1 rAG a b77uurr1 rAGa (1)-b4B以及E,G,C三点在一条直线上），利用平面内三点共线定理构造方程组求解，避免了用的向量的加法和平面向理

11、基本定理解答本题的运算 复杂，达到了简化解题过程的效果。例 6 的变式一：在三角形 ABC中,AM : AB=1 : 3,AN : AC=1 : 4,BN 与 CM相交于点P,且AB a , AC b，试用a、b表示AP解: Q N,P,B三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的uuu uuu uur一对实数x,y使得AP xAB yAN , xQ AN : AC=1 : 4, AN1 一.1 uuu AC -b AP 44uuu y uuu r y xAB AC xa y4又QC,P,M三点共线,由平面内三点共线定理可得:1 -r 一X r 一存在唯一的一对实数使得uuuAPuuuu AMuuurAC,1/ AM : AB=1 : 3 AMuuAP由两式可得:13x4311211Q x y 1, y811uuu 3 rAP a11211例6的变式二：直线I过YABCD的两条对角线AC与BD的uuu uuur h交点0,与AD边交于点N,与AB的延长线交于点M。又知 AB = m AM , AD = n AN+ n=解：因为点O两条对角线AC与BD的交点，所以点O为AC的中点uuur1 uuu LULTA0 严 AD)uuuQ AB = uuu