参数方程化普通方程

1、参数方程化普通方程重点难点掌握参数方程化普通方程的方法，理解参数方程和消去参数后所得的普通方程的等价性；应明 确新旧知识之间的联系，提高综合运用所学知识解决数学问题能力。例题分析 sin1 把参数方程化为普通方程卜 =（0（R , B为参数）解：T y=2+1-2sin 2 0,把 sin 0=x 代入，二 y=3-2x 2,又/ |sin 0|W1, |cos20|<1, |x|W1,1<y<3所求方程为y=-2x2+3(-1<xW1,1<yW3)齐=$in H 十PF弧"（0駅，0为参数）解：T x2=(sin 0+cos 0)2=1+2sin 0c

2、os 0,把 y=sin 0cos 0 代入，二 x2=1+2y。又 x=sin 0+cos 0=f( 0+)y=sin 0cos 0=52 0|x| < - - , |y| W-。所求方程为 x2=1+2y (|x| <, |y| W-)小结:上述两个例子可以发现，都是利用三角恒等式进行消参。消参过程中都应注意等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出x, y的范围。在这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法。(1-£X =1 + i '21 y =-一I 】+ f (t工1, t为参数)法一:注意到两式中分子分母的结构特点，因

3、而可以采取加减消参的办法。1-/ 2f 1 + f2-(l + f) 22(Z +1)-2 _2+ =二z x+y= 1 + f 1 + f 1 + 才=1, 又 x= 1+f l + f-1 工-1 , y= £ + 11 + £ 工2,所求方程为x+y=1 （x m-1, y工2）。法二:其实只要把t用x或y表示，再代入另一表达式即可。由1-/x+xt=1-t.X=,2 二二 仪.1 r _2（1 - X）i-xT7F 丄i + + i- （x+1）t=1-x，即 t=二一一 代入=1-x , x+y=1，（其余略）这种方法称为代入消参，这是非常重要的消参方法，其它不少

4、方法都可以看到代入消参的思想。rZ = V| 1+?:2t2I 1十瓷（t为参数）分析:此题是上题的变式，仅仅是把t换成t2而已，因而消参方法依旧，但带来的变化是范围的改变，可用两种求值域的方法：2-（1 + 广）212法一 :x=-rl-1, '-t2 X）, t2+1 >1, 0<： 一一胡，-iv-. -1 <1, .-1<x <1oI法二:解得t2= 一 二», -1<x <1,同理可得出y的范围。| 1X =r1+?2t（5） I I" （t为参数）分析:现在综合运用上述各种方法进行消参，首先，求x,y范围。1-?

5、1-x2i由 x=- 得 x2= 1 - - >0, '-1<x <1,由 y= - - 一' ，t=0 时，y=0 ;2|£| 坐“0 时，|y|= - * " < -卜=1，从而 |y| <1 o1-F 2i 1-加+八护（1 + F法一:注意到分子，分母的结构，采用平方消参，x2+y2=（ 一-）2+（）2=丨 =_； =1。3 抛物线y2=4p(x+p)(p>0)，过原点作互相垂直的两条直线分别被抛物线截得线段为AB，CD，M 为 AB1-卩 1 - xi 1 - x、7 1 +法二:关键能不能用x, y表示t,且

6、形式简单由x= _ -一“得t2= _：，代入y. . =t(1+x)y.=i-产严l + x1 + ( y )2再代入x=一-，化简得x2+y2=1。法三:注意到表达式与三角中万能公式非常相象K K 1 -绘巾2tgS可令 t=tg B, Bq- _ _ ),x=cos2 B, y= 1+0=sin2 B,x2+y2=i，又 2 Bq- ； ,； ) ,. -1<x=cos2 B<1, -1 Wy=s in2 B<1,所求方程为 x2+y2=1(x 工-1)。2已知圆锥曲线方程是x =+ 5cos+1y = -6i2 + 4 sin- 51) 若t为参数，$为常数，求它的普

7、通方程，并求出焦点到准线的距离。2) 若0为参数,t为常数，求它的普通方程，并求它的离心率解：1)由已知x - 5 cos p- 1 =.-一(1)厂畑響+5初，由(1)得t=i-5cos-l代入(x 唧一 I)'y-4s in(j)+5=-6 (x-5cos $-1)2=- - (y-4sin $+5)为顶点在(5cos $+1,4sin $-5)开口向下的抛物线，其焦点到准线距离p=。2)由已知x-3?-l =cos5j; + 6i2 + 5.=sin尸+° + 6八 5)2516=1 ,表示中心在(3t+1, -6t 2-5)的椭圆，其中 a=5, b=4, c=3 ,

8、 . e= :' o分析:从上题可以看出，所指定参数不同，方程所表示的曲线也各不相同。从而给出参数方程一般应指明所 取参数。中点，N为CD中点，G为MN中点。求G点轨迹方程，并说明其图形。解:设AB方程为y=kx代入抛物线方程y2=4p(x+p)A>0yi+y2=x1 + 耳=字 k2x2-4px-4p 2=0,若 A, B 坐标为(xi, yi), (x2, y2)贝U l七TAB JCD, CD 方程为 y=-；. x,代入 y2=4p(x+p),丄" x2-4px-4p 2=0，设 C(X3, y3),D(x 4,y4) N(2pk 2, -2pk)=2p，而y

9、R在方程中都已体现,A>0= Apk1_2(巧 +百)"-4护疋I k丄 上y2=p2(l' +k2-2)=p2(-2)=p(x-2p)轨迹方程为y2=p(x-2p)为顶点(2p,0)开口向右的抛物线。说明:消参一般应分别给出 x,y的范围，而二题中变量的范围已体现在方程之中。在某些特殊情况，消参之lx = COS331 v = sin7T后给出x,y的范围也不能说明原曲线的轨迹，这时应用语言作补充说明。如方程Bqo, - n,是-个圆，但消参之后得 x2+y2=1(|x| <1, |y| <1)却无法说明这一点。在线测试选择题( 2X = cos tpy

10、= 1 - cos31.曲线的参数方程为 I"" (0为参数)，则方程所表示的曲线为()A、射线 厂 B、线段 C、双曲线的一支D、抛物线C、抛物线的一部分，且过(-1,-)点D、抛物线的一部分，且过(1 ,-)点3.已知直线I的参数方程为2 -£cos '则直线I的倾斜角为（）4.抛物线rrrA、x=3B、x=-1C、y=0D、y=-2A = 4/" _1 （t为参数）的准线方程是（）5弹道曲线的参数方程为x = v0/ cos a,. 1 2y = vsin a 二 （t为参数，a, V0, g为常数）当炮弹到达最高点时，炮弹飞行的水平距离是

11、（）2v； sin ctcoscsv0 sin 2av0 sin ctcossv0 cos 2aJl + sin 占y = cos3 （-）2.参数方程【42（9为参数，且0 < <2 n）所表示的曲线是（A、椭圆的一部分B、双曲线的一部分D、答案与解析解析：(1) / x=cos2$0, 1, y=1-cos 2 $=1-xx+y -1=0 , x0, 1为一条线段。故本题应选B。a 1 + cos( - 3)1+42(2> / x£0f a/2 ,. ycas-)=.故本题应选 D.42222(3)本题认为直线l的倾斜角是是不对的，因为只有当直线的参数方程为:t

12、，化参数方程为普通方程后,一-& (其中t为参数)，其中的a才是直线的倾斜角，消去参数再求直线l的倾斜角是可以的。但直线 I的倾斜角B适合tan 0=这里只要把两个方程相除就可得:i cos 厂26_isin 6=-cot 6-cot- F， tan 0=- =_，'，2k=匚。故本题应选D。(4)化参数方程为直角坐标方程，得(x-2)2=4(y+1)，其准线方程为y=- -1=-2。故本题应选 D。v0 sin a，代入 X=V0tCOS a,得亠(5)由y=votsin a-知，当炮弹到达最咼点时，t=v0 sin cr _ vc sin a cos erX=V 0COS

13、a-。故本题应选c。参数方程、极坐标疑难辨析参数方程是曲线与方程理论的发展，极坐标是坐标法的延伸参数方程的基本概念与极坐标系的理论是本章的重点参数方程与消去参数后所得的普通方程同解性的判定、极坐标方程与曲线的基本理论是本章的难点与疑点弄清这两个难点，把握参数法变与不变矛盾的统一的思想是学好本章的关键.把握求轨迹方程的参数法的基本思路和消参数的基本方法，重视消参数前后x、y的取值范围的变化是保证轨迹完备性、纯粹性的关键.弄清一点的极坐标的多种表达式：(-1)np，0+n n)，( n巳)和极坐标与直角坐标的互化是运用极坐标解决问题的基本功.题1 下列参数方程(t是参数)中方程 y2=x表示同一曲

14、线的是(x = sin ty = sintI 1 - C0s2tC.D,1 + cos2t【疑难或错解】参数方程与消去参数后所得的普通方程是否表示同一曲线的判定是一难点问题的实质在于判定方程的同解性.方程的同解性原是代数中的难点，加上参数方程中出现的函数不局限于代数函数，其困难就更大了本题各个参数方程消去参数后所得普通方程都是y2=x，更增加迷惑性，因而误选A、B、C都有.【剖析】从A、B、C、D消去参数t后所得的普通方程都是 y2=x .但在A中y=t2>0，这与y2=x中y的允许值范围y駅 不一致，故A应排除.在B中，x=sin 2tX), x qo, 1与y=sint q-1 ,

15、1与方程y2=x中的x, y取值范围不一致，故 B也应排除.在C中！ y二丘£山+同这与二沖R&不同故的褂除.只有在D中* x 二'"号二 tt 0, + 8), y = tgt£ R,和yx'中的x qo , + a), yR完全相同，所以D中参数方程与y2=x同解，应选D .【点评】参数方程与消去参数后所得普通方程是否同解的判定，涉及函数定义域与值域的研究而无通法可循，只能根据参数方程x =F(t), 厂 g(t)中函数盘=£(t)和y =g(t)的定义域和值域与消去参数t后所得晋通方程F(x , y)=0中x, y的允许值范

16、围(即方程 F(x , y)=0的定义域)是否一致来判断.仅根据消去参数后所得的普通方程F(x , y)=0的外形来判定，常易失误.= r题2参数方程J2t(t为参数)表示的曲线是(y的取值范围，即断言表示的曲线为圆，而误选A.A.圆 B .半圆 C .四分之一圆 D.以上都不对1?t刚或错解】令卫则斜市心岀厂彷F扯消去0,得x2+y2=1，未分析x,M】卩二时t不存在，所以消去t后方程X2+y2=1中x M-1，即在圆X2+y2=1中应除去一点（-1 , 0） 所以此参数方程表示的曲线为单位圆X2+y2 = 1上除去一点（-1 , 0）.在普通方程x2+y2=1中应注明xq-1 , 1 .应

17、选D.题3设直线F = " +弘0为参数）与双曲线F = t以（0为参数）交于A、B两点，求弦长|AB| .【疑难或错解】以直线的参数方程代入双曲线的普通方程（y-2） 2-x2=1，有（-4t） 2-（-l+3t） 2=1，即7t2+6t-2=0 .方程的两个根分别为 ti=PA , t2=PB，其中点P的坐标为（-1 , 2）2.陶书J（t -樂也【剖祈】丁言线的参数方程*坷+too，（a为g线的躺甬t堆数）因而兀+曲'方程的两个根:2t/PAf t/PB, |AB冃错解混淆了直线参数方程的标准型和非标准型中参数t的几何意义.在标准型中，P （ xo, yo）为直线上的定

18、点，Q （x, y）为直线上任意一点，则 t表示有向线段PQ的数量（规定直线向上、向右为正方向）.这一结论不适用于非标准型因此运用直线参数方程求二次曲线的弦长时，应先将直线的参数方程化为标准型，否则将导致错误.GEIS1直线的参数方程为+尤（t为参数）.y = 2-4t,443此直线的斜率为k = tgCL -,snCl =- , cos =-*此直线参数方程的标淮型为3盘=-l-t,«| （t为参数）y = 2 + -t,将双曲线方程化为普通方程_/（y-2）2-x2=1 .以代入，得7 2 6_t22 = Q®方程的两个根分别为ti=PA , t2=PB,|£

19、B冃t-讣4乱【点评】设A、B两点的坐标分别为（xi, yi）、(X2 , y2).TA* E在直线师参数）上y = y0 +btF （x0, y0）为直线上的定点,|X! =so +atp IYl =Yc +btr故xi-X2=a(ti-t2), yi-y2=b(t i-t2),：(xi-X2)2+(yi-y2)2=(a2+b2)(ti-t2)2.利用这一结果也可求|AB|之长，结果与正解同.“心叫g为参数）的图像.y = arccost未分祈瓦y的取值范围，即断言曲线x+y二£的图像为-直钱，如题4试作曲线礙难或错解/ ar ant + arccost -,/曲线的普通方程为迟+

20、xE【正解】(- x = arcs nt Ey = arccost£ 0,你.'*x+y = arcsint+arccost =心5所以此曲线为以第叭力为端点的线段。【点评】消去参数过程中不分析 x, y的取值范围，导致轨迹纯粹性受破坏.题5化参数方程（t为参数）为普通方程*礙难或删书罔飞罔卜,所以曲线为双曲线【剖析】错解仅考虑ab丸 的情况，而忽视ab=0的情形，因而解答不完整.ab=0时，有a=0 , b丸;a工0, b=0 ; a=0 , b=0三种情况，应逐一进行讨论.双曲线）-不再赘述-【正确】当ab丸时，如上解有-当ab=0时，有下列三种情形：x = 0,彳 t&

21、gt; 1 t 即茎=0, yE R.（1） a=0 , b工0时，原方程为此时，曲线为y轴（含原点）n（2） a0 , b=0，原方程为210,221 |t|+ 'I UlJ+8）.此时曲线为x轴上的两|x| 刑，即 x>|a|或 x<-|a| .消去 t,得普通方程为y=0, xg, -|a| L|a|,条射线，端点分别为（|a|, 0）指向正半轴；（-|a| , 0）指向负半轴.（3）a = 0, b = 0时，原为y = 0.曲线为一点（0, 0）,即原点.【点评】消去参数过程中不注意方程中x, y的取值范围，对任意常数a,b的可能情况不分别讨论是导致失误的主要原因

22、.x =1 + cos 2,y =5-4sin2 9,x = 2t -1,y = 4t -1,（t为参数）问11与12是否表示同一曲线？为什么?【疑难或错解】11:x = l + cos2 0 =2cos2 9 s 亠 n + 厂5 Wl + 4c"消去谿X侍y S 0 1“中消去参姐也得驻沖丸11和12表示同一直线，焉能不失误.未对x, y的取值范围进行分析，根据两曲线的普通方程，即断言【剖析】在曲线11的参数方程中，x=1+cos2B=2cos2BqO,2,消去参数B所得的普通方程2x-y+1=0x 0, 2,所以曲线1i为以（0, 1 ）与（2, 5 ）为端点的线段.只S32K

23、-y + l = 0±的但曲线1屮氐-y + l=0标一条直线hj，所以12不是同一条曲线.【点评】 在曲线11消去参数时，未分析 x的取值范围，破坏了轨迹的纯粹性，是导致失误的主要原因.题丁直线怎sin20*+3, 广亠s卫 占云人匕IG为参数）的倾斜角是Y = -tcos 20A. 20° B. 70° C. 110° D . 160误认x = tan2Qfl + 3< y = -t cos 20°桩直缮数輝的标魁而误选（A）.或将原方程化为z = t汕;+乳当作直线方程的标准型而误选 ystcosluU >:（D）.还有将原方

24、程化为x = tcos(-70s )+3, y = tsin(70* ) #x = t cos290 + 3,y = tsin2904 ,而无法作出判断.【剖析】上述疑难的根源在于对直线参数方程标准型概念模糊所致.在直线参数方程的标准型:x = 3£o +tcosQ-厂询至猶）厂兀+烛J 切笏网 中3为宜线的倾斜角，応肌 叭时，cos Cl >0, sin且 cos' Q + a T,如V V + st°中、当且JT才:® 厂九中btrJTK_当a =时，& = 0, b = L才是标准型；当可兀时.cossin a> 0，故当a v

25、0 , b> 0,且a2+b2=1时，才是标准型.可见x = tsm20& + 3,y = -t cos 204 ,x = t sld.160"+ 3iy = t coslfiO* ,x = t cos(-70e )+3, y = t si 11(-70° ),x = t cos290° + 3,y = t sin 290",等都不是直线参数方程的标准型，由此推出的直线的倾斜角都是错的。欲将其化为标准型，应将x=tsin20 °+3 化为 x=3+(-t)sin(-20 °)=3+(-t)cos(90 °+20

26、 °即 x=3+(-t)cos110 °, y=(-t)sin(90 °+20 °)=(-t)sin110.,._x = 3+1; cos 110° ,广，亠斗农令i = -U则有/ y . 11AO(t丿为参数)y = t sin 110,这才是此直线参数方程的标准型，此直线倾斜角为110 °应选C .+ 25= 225._ %念o2 =179x -225占17't1=PA > 0, t2=PB v 0 .|PA|+|PB|=|t 1|+|t2|=t1-t2悄谍I从直劇肪程G际准型)求倾斜角，y u -tcos2Uco

27、s 20°可先捋4率c=-ctg?0& = tg(2Qfr +9L ) = 11 .an 20倾斜率为110 °无须化为标准型.另外结合直线的图像，过点(3, 0)、( 3+sin20 ° -cos20 °。所以直线的倾斜角为钝角，排除 A、B，又由cos20 °>sin20 °可知倾斜角v 160 °排除D，而选C .诚如华罗庚所说:“不可得义忘形”，形义结合，常可快速获解。F：； r B两点，试求 IPAI+IPBI 之值.。+ ;严，G为参数)y = tan 135,代入椭圆方程，得丄二方程的两个根分别为

28、t1=PA , t2=PB .=J(t】+_4t】切= 2(34-x).【剖析】错解对P(X0, 0)的不同位置未加分析，贸然画图，把点P画在椭圆内部，只就|X0| v 5的情况作解答，忽视了点 p在椭圆上或外的情况，可见错解是不完整的.【正确】当点P（X0, 0）在椭圆内部时，|xo|V 5，此时,上时，|xo|=5 ,|P础PB|=|AB|书讣曙厢二帝証确的.当点P（% 0）椭圆方程为|PA|+|PB|1717当点P（X0,0）在椭圆外时，|Xo|> 5 , tlt2> 0，即tl、t2同号,|PA|+|PB冲艸书+切二遑【点评】当问题中出现任意常数（如这里的X0）时，应考虑各

29、种可能，逐个进行分析讨论，否则可能犯以偏概全或漏解的错误.直线及圆的参数方程教学重点和难点：直线参数方程及圆的参数方程的基本形式，对直线标准参数方程中参数t的理解，非标准参数方程如何化为标准方程并求岀倾角，并应用直线参数方程解决有关问题。例题分析：例1 下列各式中，哪一个是直线的三角式方程，试述理由，若是点角式参数方程时， 写岀始点和倾角， 若不是,化为点角式参数方程。x = 2-£2V3>=31，J （t为参数）；（2）厂"（t为参数）；（3）一 £y = 2-£龙（t为参数）（1）解：（1 ）始点（-2 , 3），倾角为_ n是点角式参数方程。

30、（2）不是点角式参数方程，不满足x = x0+力为点角式参数方程的必要条件，即2=1但是形如x =+ a£y=y0+（t为参数）的可化为参数方程的标准式即(3)btWo（t为参数）（t为参数）不是点角式参数方程，令Xt'=-t，得 i= 2+5x = 1 +Zcos45°y = -2+t sin 45°（I）（t为参数）把（I）代入12方程,721+ _ t+2(-2+72-t)-4=05解岀 t=(II )，1罷 |AB|=|t-O|= -直线始点为（-2，2），倾角为八例2 写岀过点A（ 1 ,-2 ），倾角为45 °的直线li的点角式参数方

31、程，若li与l2：x+2y-4=0相交于B（1）求|AB| ;（2）求点B的坐标解:设li的参数方程为,Vs 7/210r 1 +'=|233'M 110 1尹一一£ + _把(II)代入(I)得：I3' = B( 3 , 3)小结:从此例可看岀应用三角式参数方程求距离很简捷。例3 .求椭圆 j =1中斜率为2的平行弦中点的轨迹解：（1）用普通方程解决，设弦中点P（xo, yo），弦的两端点A(xi, yi), B(x 2, y2)(5)由已知得：斯+心）（可-乃）*仙+”）（戸一兀）-：匚-=0，2州（两儿仙32将（5）代入，二2= 一匚I . ,xo+3y

32、 0=0,轨迹为含在椭圆内的一条线段法(2)参数方程解题设弦中点P(xo,yo)，弦的倾角为 a， = x0 cos ay = yn +/ sin ct平行弦的直线参数方程为：1丿丿°(t为参数)(1)将(1)代入 2x2+3y 2-6=0 中，整理后得：(2cos 2 a+3sin2 a)t2+2(2x ocos a+3ysin a)t+2x o2+3y o2-6=O,-2(2x0 cosa + 3y0 sin a) t1+t2="_ .T P 为弦中点， t1 +t2=0，即 2x0cos a+3y0sin a=0，又 tg a=2, -'2x0+6y 0=0,

33、 2 2x y+ _P点轨迹是方程为x+3y=0在椭圆匚 -=1内的一条线段。小结:此例用普通方程及参数方程对比解决，体会参数t的几何意义，其中tl+t2 = 0对点角式方程而言具有普遍的意义，常用于解决弦中点问题。例4 .设M, N是抛物线y2=2px(p>0)的对称轴上两点，且它们关于顶点0对称，过M , N作两条平行线， 分别交抛物线于 Pi ,P2 ,Qi, Q2,求证:|MP i| |MP2|=|NQ i| INQ2I。证明：由已知可设 M(a,O), N(-a, 0)(a>0) 则直线MPi, NQ 1的参数方程为：(1)其中t是参数,a是倾斜角把(1)( 2 )分别代

34、入y2=2px中，由韦达定理可得2ap|NQi| |NQ2|= 一二一 ”二,2ap:|MP i| |MP2|= 一二一 ”二,|MPi| |MP2|=|NQi| |-NQ2|评述:此例中应用了点角式参数方程中t的几何意义，即|ti|,|t2|为相应点到定点M的距离，据此证明了关于线段M ,的等式问题。例5 椭圆长轴|AiA2|=6，焦距|FiF2|=4，过椭圆焦点Fi引直线交椭圆于 两点，设/ F2FiM= a, a0, n)，若|MN|等于短轴时，求 a。解:.0=3, c=2 ”- ,b=1, Fi(-2 “-,0) ,椭圆方程+y2=1。-2/5 + icosc法(i)设MN所在直线参

35、数方程为y = ism a(t为参数)42 cos ce-1将(1)代入+y2=1 得:(1+8sin2 a)t2-4心 tCOS a-1=0(*|A ti+t2= 1 _一 L： , ti t2= 1 一 二二"二,2b=232 cos2 a +4(1 + 8 sinJ a)'|tl-t2|2=厂-:-丄 "-.，36(l + 8sinaa)a% 11' 11 r :=22,sin2a= -1 a 0, n), Sin a=- a= r.'或 r.Tt o(法二)设MN 方程:y=k(x+29(肿-1)(1),x 1 X2=1 + . .<

36、'?+9/_9 = °7侮厂如昭=xz= TIP<i>/ |MN|=v|>又 |X1-X2|2=(X l+ X2)2_4x 1X2(3)将(1),(2)代入，将代入(I)解得:k2= 1 (下略)2血另；<ii> .e= 了 , M(x 1,y 1), N(x 2,y2)由第二定义：|MF 2|=ex2+a, |MF 1|=ex 1+a2V22V2 -込加 |MN|=e(x 1+X2)+2a=(X1+X2)+6, 2= 匚 1 + U3 +6, k2=1 (下略)评述:利用直线参数方程，常常解决弦长的问题，对比普通方程的弦长公式可知，形式上要简捷

37、，运算上也将更 加简化，减少运算的岀错可能。例6 .过M(-1,0)的直线I交双曲线x2-y2=10于A，B两点，且|MA|=3|MB|，求直线I的方程。分析：1MA|=3|MB|，若设普通方程，则两线段间的上述关系表述很繁琐，条件不利于应用。设直线参数方程点 角式，直接利用参数 t的几何意义表达|MA|=3|MB|，可以很方便的代入式子中去应用解:设直线MA的参数方程为卩Sin K(t 为参数)(-1+tcos a)2-t2sin2 a-10=02 cos a-9(COS 2 a-sin 2 a)t2-2tcos a-9=0，有 t1+t2=l二二,t1t2=l二一二二又 |MA|=3|MB

38、| ,.ti = ±3t22 COSES<i> 当 t1= ±3t2 时，.4t2= i二一一二二,3-.:-9=cos"一：- 一打二,cos acos2 a-922a t2= 2(co$ o - sin &),.飞 4(cos! a - smJ审=I. .L 一：-二一:1213解得:cos 2a= - - - ， sin 2 a=二-二,tg a=， l:y= ± F (x+1)。<ii> 当 ti =3t2 时，同理可求 l：y= 了 （x+1）本周小结：直线参数方程点角式问题，应注重从下面几点讲解。<1&g

39、t;会判断方程是否为点角式参数方程；<2>若参X =心+皿y -"会化为点角式，并会求岀倾角，一定要注意倾角的范围。<3>会应用它解决弦长问题，弦的中点线分弦成定比问题，点在直线上位置等常见问题。参考练习：x = i sin 20° + 3I y = -/ cos 20°1.直线：I（t为参数）的倾斜角是（） A、20 ° B、70 °C、110 ° D、160X = Vs cosa y = V5 sin ck（a为参数）相交所得弦长为（1Z =-£* 2y = -3+i2 直线I#(t是参数)与圆A

40、、B、-C、-3圆x2+y2=8内有一点Po(-1,2) , AB为过P0且倾角为 a的弦(1)当a= - n,求|AB| ;( 2)当弦A'B'被点Po平分时，写岀直线 A'B'的方程。参考答案:1.C2.B3.解:设直线AB方程为:(1)v = 2 +Z sin a , / ,(t为参数)把(1)代入x2+y 2=8,整理得:t2-2(cos a-2sin a)t-3=0(2)直线与圆相交，有实根，则由韦达定理：ti+t2=2(cosa-sin a), ti t-2=-3,(1)当 a= - n 时,|AB| 2=|t1-t2|2=(t1+t2)2-4t1t

41、2=2(cos 4 n-sin 2 n)2-4 x(-3)=30(2)弦A'B'被点P0平分-+ = 0A>0 cos a-2sin 久)=0 = tg a=-，即 k=-, AB 方程为：y-2= 1 (x+1)，即 x-2y+5=0在线测试选择题x - Z sin 20° +31直线jy卅r(t为参数)的倾斜角是()A、 20° rB、70C、110 °Jr7 =3i2 +2ry =?-l.2 曲线的参数方程为(0)，则曲线是()D、160rrrA、线段B、双曲线的一支C、圆弧D、射线x = 3 + 3cos 帆y = -l+5sin&l

42、t;p3 椭圆:專的两个焦点坐标是A、(-3,5), (-3,-3)r B、(3,3),(3,-5) 厂 C、(1,1),(-7,1)r D、(7,-1),(-1,-1)4 下列参数方程（t为参数）与普通方程x2-y=0表示同一曲线的方程是（）A -域1 + COS2 ty =1 - cosD、1 cos1 + cos 2t弄= l_5 .曲线的参数方程是7 = 1l （t是参数，t0），它的普通方程是（）x(x-2)1A、(x-1)2(y-1)=1rB、y=(l-厂C、y= (1_ X)，-1答案与解析答案：1、C 2、A 3、B解析：1 .本题考查三角变换及直线的参数方程。” -/cos

43、20°解：由直线方程知此直线过定点 （3 , 0），那么它的斜率k=X3= £沏20° =-ctg20 °tg（90 °+20 °=tg110 °。因此直线的 倾斜角为110 °。故应选C2 本小题考查化参数方程为普通方程的方法，及解不等式的知识。解：消去参数t，得x-3y-5=0。因为0岂<5，所以2<X<77 , -1今<24。因此是一条线段，故选 A3 本小题考查参数方程和椭圆方程的知识，以及坐标轴平移。（X -毀 +A + 1尸解：原方程消参得-=1，是中心为（3，-1），焦点在x=3这条直线上的椭圆，c=4，二焦点坐标为（3， 3）及（3，-5），所以选B4 本小题考查参数方程和三角函数式的恒等变形解：选项A中x初，与x2-y=0中x的取值范围不符；B中，-1，与x2-y=0中的x范围不符；2