多元函数的极值及其求法76122PPT学习教案

1、会计学1多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法761226.7 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法6.7.1 多元函数的极值多元函数的极值1 多元函数极值的定义多元函数极值的定义 （以二元函数为例）（以二元函数为例） 极大值、极小值统称为极值极大值、极小值统称为极值. . 使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点. . 同理可定义同理可定义n元函数元函数u=f(x1， x2， ，xn)的极的极值。值。第1页/共33页(1)(2)(3)例例1 1处有极小值处有极小值在在函数函数)0 , 0(4322yxz 例例处有极大值处有极大值在在函数函数)0 , 0(22yx

2、z 例例处无极值处无极值在在函数函数)0 , 0(xyz 第2页/共33页2 2 多元函数取得极值的必要条件多元函数取得极值的必要条件不妨设不妨设),(yxfz 在点在点),(00yx处有极大值处有极大值, 则对于则对于),(00yx的某邻域内任意的某邻域内任意 ),(yx),(00yx 都都有有 ),(yxf),(00yxf, 证明证明故故当当0yy ，0 xx 时时， 有有 ),(0yxf),(00yxf, 第3页/共33页说明一元函数说明一元函数),(0yxf在在0 xx 处有极大值处有极大值,必必有有 0),(00 yxfx; 类类似似地地可可证证 0),(00 yxfy. 仿照一元函

3、数，凡能使一阶偏导数同时为仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的零的点，均称为函数的驻点驻点.第4页/共33页注注 (1) (1) 函数的驻点不一定是极值点，例如，点函数的驻点不一定是极值点，例如，点(0，0)是函数是函数z=xy的驻点，但函数在该点并无极值。的驻点，但函数在该点并无极值。 (2) (2) 函数的极值点不一定是驻点，偏导数函数的极值点不一定是驻点，偏导数不存在的点仍可能为极值点。不存在的点仍可能为极值点。2210 00 0( , )( , )zxy 例例 中中在在处处取取得得极极大大值值，但但它它在在处处的的偏偏导导数数不不存存在在。(3) (3) 可能极值点

4、可能极值点 ( (i)i)驻点。（驻点。（ii)ii)偏导数偏导数 不不存在的点。存在的点。(4) 几何意义：若几何意义：若fx(x0 ,y0)= fy (x0 ,y0) =0, 且且(x0 ,y0)为极值点为极值点第5页/共33页则曲面则曲面z=f(x,y)在在(x0 ,y0)处的切平面方程为：处的切平面方程为：z=z0即：极值点处的切平面平行于即：极值点处的切平面平行于xoy面。面。问题问题：如何判定一个驻点是否为极值点？：如何判定一个驻点是否为极值点？第6页/共33页3 极值的充分条件极值的充分条件 定理定理6.7.2 (充分条件充分条件)设函数设函数z=f (x，y)在点在点(x0，y

5、0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数， ( (3) ) ACB2 = 0时可能有极值，也可能没有极值，时可能有极值，也可能没有极值，还需要另作讨论还需要另作讨论 (1) ACB2 0时具有极值，且当时具有极值，且当A 0时有极小值；时有极小值；(2) ACB2 0，又又 A0fxx(x，y) = 6x+6，fxy(x，y)=0，fyy(x，y)=6y+6 所以函数在（所以函数在（1，0）处有极小值）处有极小值f（1，0）=5； 第9页/共33页在点（在点（3，0）处，）处，ACB2 =1260, ,又又 A 0，f（3，2）=31。 在点（在点（1

6、，2）处，）处，ACB2 = 12(6)0，y0内取得。内取得。 )2,2(33,23 x32 y323233222 32 又函数在又函数在D内只有唯一的驻点内只有唯一的驻点因此可断定当因此可断定当A取得最小值取得最小值水箱所用的材料最省。水箱所用的材料最省。当水箱的长为当水箱的长为宽为宽为高为高为第16页/共33页 实际问题中，有时会遇到对函数的自变量另有实际问题中，有时会遇到对函数的自变量另有附件条件的极值问题，这类极值称为条件极值。附件条件的极值问题，这类极值称为条件极值。 1引入引入 上面讨论的极值问题，对于函数的自变量，除上面讨论的极值问题，对于函数的自变量，除了要限制在函数的定义域

7、内以外并无其他条件，了要限制在函数的定义域内以外并无其他条件，所以也称为无条件极值。所以也称为无条件极值。例如例如 求表面积为求表面积为a2的体积最大的长方体。的体积最大的长方体。目标函数：目标函数：v=xyz；附加条件：附加条件：2(xy+yz+zx)=a2。6.7.2 条件极值条件极值,Lagrange乘数法乘数法第17页/共33页.)(2)2(2yxxyaxyV 再代入目标函数得再代入目标函数得 则化成求上函数的无条件极值问题，进而可求解。则化成求上函数的无条件极值问题，进而可求解。 问题（问题（1）并不总是可化成无条件极值）并不总是可化成无条件极值（2）即使化了，但这个无条件极值问题的

8、）即使化了，但这个无条件极值问题的 求解可能困难。求解可能困难。 希望：能否找到一种直接求解条件极值，而不必希望：能否找到一种直接求解条件极值，而不必化为无条件极值问题的方法。事实上拉格朗日乘数化为无条件极值问题的方法。事实上拉格朗日乘数法就是解决这一问题的有效方法。法就是解决这一问题的有效方法。 由附加条件可解得由附加条件可解得 ,)(222yxxyaz 第18页/共33页在条件在条件2 探求方法探求方法)2( 0),( yx 下取得极值的必要条件。下取得极值的必要条件。 我们假定在我们假定在(x0，y0)的某一邻域内的某一邻域内f (x，y)与与 (x,y) 均有连续的一阶偏导数，而均有连

9、续的一阶偏导数，而 y(x0 ,y0 ) 0 。由隐函由隐函数存在定理可知，方程（数存在定理可知，方程（2）确定一个单值可导且具）确定一个单值可导且具有连续导数的函数有连续导数的函数 y= (x),将其代入（将其代入（1）式，结果）式，结果得到一个自变量得到一个自变量x的函数的函数z=fx, (x). (4)如果函数（如果函数（1）在）在(x0，y0)取得所求的极值，取得所求的极值，)3(. 0),(00 yx 寻求函数寻求函数 z=f (x，y) (1)那末首先有那末首先有第19页/共33页 于是函数（于是函数（1）在）在(x0，y0)取得所求的极值，也取得所求的极值，也就是相当于函数（就是

10、相当于函数（4）在）在x= x0取得极值。由一元函取得极值。由一元函数取得极值的必要条件知道数取得极值的必要条件知道)5( , 0),(),(000000 xxyxxxdxdyyxfyxfdxdz而由（而由（2）用隐函数求导公式，有）用隐函数求导公式，有.),(),(00000yxyxdxdyyxxx 把上式代入（把上式代入（5）得）得)6( 0),(),(),(),(00000000 yxyxyxfyxfyxyx 第20页/共33页 （3）、（）、（6）两式就是函数（）两式就是函数（1）在条件（）在条件（2）下在下在(x0，y0)取得极值的必要条件。取得极值的必要条件。 ：，上述必要条件旧变

11、成，上述必要条件旧变成设设,),(),(0000 yxyxfyy )7( . 0),(, 0),(),(, 0),(),(0000000000yxyxyxfyxyxfyyxx 第21页/共33页容易看出，（容易看出，（7）中的前两式的左端正是函数）中的前两式的左端正是函数),(),(),(yxyxfyxF 的两个一阶偏导数在的两个一阶偏导数在(x0，y0)的值，其中的值，其中是一个是一个待定常数。待定常数。 由以上讨论，我们可得以下结论由以上讨论，我们可得以下结论:拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法:要找函数要找函数z=f (x，y) (1)在附加条件在附加条件 (x,y)=0 (2) 下的可能极值

12、点，下的可能极值点，第22页/共33页),(),(),(yxyxfyxF 求其对求其对x与与y的一阶偏导数，并使之为零，然后与的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程（方程（2）联立起来：）联立起来： )8( . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 由这方程组解出由这方程组解出x，y及及，则其中则其中x，y就是函数就是函数f (x，y)在附加条件在附加条件 ( (x,y)=0)=0下的可能极值点的坐标。下的可能极值点的坐标。 其中其中为某一常数。为某一常数。可以先构成辅助函数可以先构成辅助函数第23页/共33页 (1) 这方法还可以推广到自变量多于两个情况

13、。这方法还可以推广到自变量多于两个情况。例如，要求函数例如，要求函数 u=f (x，y，z，)在附加条件在附加条件下下的的极极值值。, 0) ,( zyx 3推广推广可以先构造辅助函数可以先构造辅助函数),() ,() ,(zyxzyxfzyxF )8( . 0),(, 0),(),(, 0),(),(, 0),(),(zyxzyxzyxfzyxzyxfzyxzyxfzzyyxx 满满足足：第24页/共33页 (2)这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情况。例如，要求函数于一个的情况。例如，要求函数 u=f (x，y，z，t)在附加条件在附加

14、条件下下的的极极值值。)9( 0),(, 0),( tzyxtzyx 可以先构造辅助函数可以先构造辅助函数),(),(),(),(21tzyxtzyxtzyxftzyxF 其中其中1，2均为常数，求其一阶偏导数，并使均为常数，求其一阶偏导数，并使之为零，然后与（之为零，然后与（9）中的两个方程联立起来求解，）中的两个方程联立起来求解，这样得出的这样得出的x、y、z、t就是函数就是函数f(x，y，z，t)在附在附加条件加条件(9)下的可能极值点下的可能极值点第25页/共33页例例1 求表面积为求表面积为a2而体积为最大的长方形的体积。而体积为最大的长方形的体积。 解：解：设长方形的三棱长为设长方

15、形的三棱长为x，y，z，则问题就是在则问题就是在条件条件下求函数下求函数)10( 0222),(2 axzyzxyzyx V = xyz (x0，y0，z0)的最大值。的最大值。 构成辅助函数构成辅助函数求其对求其对x，y，z的偏导数，并使之为零，得到的偏导数，并使之为零，得到 )11(0)(20)(20)(2 yxxyzxxzzyyz F(x，y，z)= xyz+(2xy+2yz+2xza2)， 第26页/共33页再与（再与（10）联立求解。）联立求解。因因x，y，z都不为零，所以由（都不为零，所以由（11）可得）可得.,zxyxzyzyzxyx 由以上两式解得由以上两式解得 x = y =

16、 z。将此代入（将此代入（10）式，便得）式，便得,66azyx 这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知最这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个可能的极值点大值一定存在，所以最大值就在这个可能的极值点处取得。处取得。.3663aV 最大体积为最大体积为第27页/共33页的最大体积。的最大体积。的长方体的长方体求内接于椭球面求内接于椭球面1222222 czbyax解解 设设M(x，y，z)是所求长方体在第一卦限的顶是所求长方体在第一卦限的顶 点的坐标，点的坐标，下的最大值问题。下的最大值问题。1222222 czbyax构造辅助函数构造辅助函数 , 8),

17、(222222 czbyaxxyzzyxL 则问题化为求函数则问题化为求函数V = 8xyz 在条件在条件 ：例例2第28页/共33页求其对求其对x，y，z的一阶偏导数的一阶偏导数并使之为零，再与条件方程并使之为零，再与条件方程联立，有联立，有 1028028028222222222czbyaxczxybyxzaxyz 由其中的前由其中的前3个方程可推出个方程可推出222222czbyax （因为（因为0，否则否则xyz=0与题意不合），得与题意不合），得 而依题意知体积最大的内接长方形存在。而依题意知体积最大的内接长方形存在。3,3,3czbyax .938maxabcV 故内接长方形最大体

18、积为故内接长方形最大体积为是唯一的可能极值点，是唯一的可能极值点，第29页/共33页例例3 求求z= x3+y3在在D：x2+y21上的最大值和最小值。上的最大值和最小值。 解解 函数函数z= x3+y3在有界闭区域在有界闭区域 x2+y21上一上一定可取得最大值和最小值定可取得最大值和最小值 先求驻点先求驻点.3,322yyzxxz 唯一驻点为唯一驻点为(0，0)。该点的函数值为该点的函数值为z(0，0)=0 在在D的边界上求的边界上求z=x3+y3的极值的极值.这里用拉格朗日乘这里用拉格朗日乘数求解数求解。 引入辅助函数引入辅助函数 )1(),(2233 yxyxzyxL 第30页/共33页得得 10230232222yxyyLxxLyx )23(0, 1; 1, 0 yxyx或或 ).423(22 yx 计算这些点的函数值计算