中考数学第12讲二次函数(4)二次函数的图象与性质复习教案(新版)北师大版

1、 课题：第十二讲二次函数 教学目标: 1. 理解二次函数的有关概念，掌握二次函数表达式的两种形式. 2. 会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质. 3. 会运用配方法或公式法确定二次函数的图象的顶点、开口方向和对称轴，并会求解二次函数的最 值问题. 4. 掌握二次函数y =ax2，bx c（- 0）图象的特征与a, b, c及b2-4ac的符号之间的关系. 教学重点与难点： 重点：掌握二次函数的图象与性质 . 难点：会运用配方法或公式法确定二次函数的图象的顶点、开口方向和对称轴，并会求解二次函数的 最值问题. 课前准备：教师准备：多媒体课件. 学生准备：（提前一天布置）预习新

2、课程初中复习指导丛书 5556页二次函数的图象 与性质的知识梳理；完成新课程初中复习指导丛书 5760页强化训练第1、2、3、7、8题. 教学过程： 一、知识梳理，建构网络 1. 二次函数的两种形式：_ 一般形式： （a , b , c是常数，a*0）. 顶点式： _ （a , h, k是常数，a*0）. 2.二次函数的图象与性质: 二次函数y = ax +bx+c（a,b,c是常数，a式0） a a 0 av 0 图象 r/ A / :d； 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x = 2a 直线X = _一 2a 2 顶点坐标 （b 4ac-b2） J f 2a 4a （b 4ac-b

3、2） 2a 4a 3 增减性 当xv b b时，y随x的增大而减小； 2a 当x b b时，y随x的增大而增大。 2a 当xv b b时，y随x的增大而增大； 2a 当x b b时，y随x的增大而减小。 2a 最值 当x = -时，y有最小值 4aC4aC b b 2a 4a 当 x= x= b b时，y有最大值4 4心b b 2a 4a 二次函数 y = a(xh)2 + k(a, h, k是常数，a 式 0) a a 0 av 0 图象 r/ O | x* A- / ;0 : 1 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x = h 直线x = h 顶点坐标 (h,k) (h,k) 增减性

4、 当xv h时，y随x的增大而减小； 当xh时，y随x的增大而增大。 当xv h时，y随x的增大而增大； 当xh时，y随x的增大而减小。 最值 当x=h时，y有最小值k 当x = h时，y有最大值k 3.二次函数y = ax2 bx c(a = 0)图象的特征与 a, b, c及b2-4ac的符号之间的关系: 目 字母 字母的符号 图象的特征 a a 0 开口 av 0 开口 b b=0 对称轴为 ab 0( b与a同号) 对称轴在y轴 侧 abv 0( b与a异号) 对称轴在y轴 侧 c c=0 经过原点(0，0) c 0 与y轴 相交 cv 0 与y轴 相交 4 b2 -4ac=0 与x轴

5、有 交点（顶点） b2-4ac b2 -4ac 0 与x轴有 交占 八、 2 b -4acv0 与x轴有 交占 八、 4.二次函数图象的平移: 抛物线y = ax2与y = a（x-h）2, y = a（x-h）2 k中a相同，则图象的形状和大小都相同，只 是位置不同，它们之间可以通过适当的平移得到 .具体平移方法如下图所示：（口诀“上加下减，左加 右减”） 平移丨k丨个单位 5.二次函数关系式的确定: 若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式： y= _ （az0）,将已知三点的坐标 代入，求出其 _ , _ , _ 的值. 若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式

6、： y= _ （az0）,将已知条件代入，求出 _ 的值. 若已知二次函数图象与 x轴的两个交点的坐标为（xi , 0 ）,（X2, 0），则设交点式：y= _ （az0）,将第三点的坐标或其它已知条件代入，求出 _ 的值，最后将关系式化为一般式. 处理方式：利用多媒体出示二次函数的知识点，以问题串的形式让学生回顾 ，如有遗忘，借用课 本或同学间交流进行补充，需要教师强调的地方教师要结合具体的例子先简单分析， 在后面的例题 讲解中再着重强调. 设计意图：以问题串的形式让学生回顾二次函数的相关知识 ，如有遗忘，借用课本或同学间交流 进行补充，为后面的题组训练打好基础，让学生掌握课堂的主动权，完成

7、知识脉络的梳理后，让学 生在小组交流讨论中完成建构并从中感受到知识间的内在联系， 感受到数形结合思想， 让学生在数 学学习活动中完成二次函数的知识要点复习 ，为下一步激活运用这些知识打好基础. 二、专题探究，归纳整合 y -ax2 向右 (h 0) 向左 (hv 0) 平移 1 h丨个 单位 + J 向上（k0）,向下（k0） 平移丨k丨个单位 向左 (h 0) 向右 (h v 0) 平移 1 h丨个 单位 1 ! 厂 y =a(x h) +k 向上（k0）,向下（k0） + y = ax2 亠 k 5 活动内容1:二次函数的表达式6 1 抛物线y =x2 -2x 3的顶点坐标是 _. 2.

8、_ 已知对称轴平行于 y轴的抛物线与x轴交与(1 , 0) , (3 , 0)两点，则它的对称轴为 _ 处理方式：学生讨论交流，在复习丛书上完成后再展示说明， 学生之间互相补充.教师适时点评, 然后师生共同总结所考察知识点. 设计意图： 本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，理解和认识二次函数的两种表 达式之间的相互转化关系，掌握求二次函数顶点坐标的方法. 活动内容2:二次函数的图像与性质 1.二次函数y =ax2 bx c的图象如图所示，则下列关系式 中错误的是( ) 2 A. a 0 C . b _4ac o D . a b c 0 2 2 .已知二次函数 yi =ax bx c

9、 ( a = 0)与一次函数 y2 =kx + m(k式0)的图象相交于点 A (- 2, 4), B( 8, 2)(如图所示) 则能使 - y2成立的x的取值范围是 _ 处理方式：学生先讨论交流，然后找两名学生利用展台展示说明解决问题的方法，学生之间互相 补充.教师适时点评，然后师生共同总结所考察知识点. 设计意图：本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，理解和认识二次函数的开口方 向、对称轴、顶点坐标、增减性及最值等，进而使学生知道从这五个方面探究二次函数的性质. 活动内容3:二次函数的图像的平移 2 2 1.将抛物线y =x平移得到抛物线 y=(x，2)，则这个平移过程正确的是(

10、 ) A.向左平移2个单位B .向右平移2个单位C .向上平移2个单位D .向下平移2个单位 处理方式：学生讨论交流，在复习丛书上完成后再展示说明， 学生之间互相补充.教师适时点评, 然后师生共同总结所考察知识点. 设计意图：本题的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，使学生理解和认识抛物线的平移 不改变图象的形状和大小都相同，只是位置不同. 三、典例精析，方法总结 2 【例1】若y = (m 1)xm 2 是二次函数，则m=() A. 7 B . - 1 C . - 1或7 D .以上都不对. 处理方式：让一名学生板演，其余学生认真在练习本上解题，完成后再展示说明，学生之间互相 补充.教师

11、适时点评，然后师生共同总结所考察知识点.7 教师点拨. 点拨： 根据表格数据， 利用二次函数的对称性判断出 值范围即可. 方法总结：本题考查了二次函数与不等式等有关知识, 题的关键. 【例4】在同一平面直角坐标系内，将函数 y = 2x2 4x 1的图象沿x轴方向向右平移2个 设计意图：本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，对二次函数的概念有更深层次 的理解和认识. 【例2】 抛物线，与x轴的一个交点 A在点（-3 , 0） 和（-2 , 0）之间，其部分图象如图，则以下结论： b2 _4ac ： 0 a b c : 0:ca = 2 ；方程ax2 bx c _2 = 0有两个相等的

12、 实数根，其中正确结论的个数为 （ ） A. 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 处理方式： 让一名学生板演，教师巡视，解题后，教师放幻灯片，小组兵教兵校对、更正错误. b2- 4ac 0;由抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直 线x=- 1,则根据抛物线的对称性得抛物线与 x轴的另一个交点在点（0 , 0）和（1 , 0）之间，所 以当x=1时，yv 0,则a+b+c v 0;由抛物线的顶点为 D（- 1 , 2）得a- b+c=2，由抛物线的对称轴 K 为直线x = -1得b=2a，所以c-a=2；根据二次函数的最大值问题，当 x=- 1时，二次函数有 2a 最大值为2,即只有

13、x=1时，ax2+bx+c=2，所以说方程ax2+bx+c- 2=0有两个相等的实数根. 设计意图：通过本题的设置，使学生进一步理解二次函数的图象与性质，理解二次函数对称性、 增减性【例3】 已知二次函数y =ax2 bx c中，函数y与自变量x的部分对应值如表: x -1 0 1 2 3 y 10 5 2 1 2 则当yv 5时，x的取值范围是 _ 处理方式：学生先自主思考，然后小组内交流讨论, 由一位同学展x=4时，y=5,然后写出y v 5时，x的取 观察图表得到y=5的另一个x的值是解 点拨：由抛物线与x轴有两个交点得到 8 单位长度后，再沿 y轴向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐

14、标是（9 A. (-1 , 1) B. (1,-2 ) C. (2 , -2 ) D. (1 , -1 ) 方法总结：抛物线的平移可以看作顶点坐标的移动，因此讨论二次函数的图象的平移问题，只 需看顶点坐标是如何平移得到的 . 处理方式：学生先自主思考，然后小组内交流讨论， 由一位同学展示思路， 全班同学共同反馈, 教师点拨，并利用多媒体课件展示方法总结. 点拨：二次函数的平移不改变二次项的系数，先把函数 y =2x2 4x 1的图象变成顶点式 2 y =2(x +1) -1，求得顶点坐标(-1 , -1 ),再按照“左加右减，上加下减”的规律，可求得新 抛物线的顶点坐标. 设计意图：二次函数的

15、图象形状及开口与 a的值有关，抛物线的平移不改变图象的形状和开口的 大小都相同，不改变 a的值，只是位置不同，改变的是抛物线的对称轴的位置，顶点坐标的位置. 四、回顾反思，提炼升华 经过本节课的回顾与复习，你对这部分知识是否有了新的认识 ？你还存在哪些困惑？和你的同 伴交流一下吧! _ 时2a b 时, 2a - b b 4acb 2.顶点坐标 3.对称轴 当 XV y二ax2+bx+c(a 工 0) av 0开口向下 ； (岁宇) 直线 x = - b h 2a y的值随 x的值增大而增大; C _ 1.开口方向 当 x V _ b时， a 0开口向上 ( b_ 4ac_b (2a， 4a

16、b 直线Xb y的值随 x的值增大而减小小； 10 个学生尝试谈谈自己的收获，教师利用课件展示二次函数的知识树.11 必做题：新课程初中复习指导丛书 P57-59 第 1、4、9、11 题. 设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本讲复习的知识进行梳理，培养学生知识归纳 与整理的习惯与能力，通过师生共同总结，增强学生认识，加深学生印象，强化学生记忆. 五、达标测试，反馈提高 2 1 抛物线y =ax +bx-3经过点（2 , 4）,则代数式8a + 4b + 1的值为（） A. 3 B. 9 C. 15 D. -15 2 .将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移 1个单位，所得抛物线为（ ） 2 2 2 2 A. y =3(x -2) -1 B. y =3(x -2) 1 C. y =3(x 2)-1 D. y = 3(x 2) 1 2 3. 抛物线y = ax bx c上部分点的横坐标 x，纵坐标y的对应值如下表: 5.已知二次函数y = x2 -4x 3 用配方法求其图象的顶点 C的坐标， 并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况； 求函数图象与x轴的交点A B的坐标及厶ABC的面积. 处理方式： 学生独立完成，对学生错误