未知数比方程个数多的方程组解法

1、精品资料欢迎下载初中数学竞赛专题选讲(初三 .11)未知数比方程个数多的方程组解法一、内容提要在一般情况下， 解方程或方程组， 未知数的个数总是与方程的个数相同的， 但也有一些方程或方程组， 所含的未知数的个数多于方程的个数， 包括在列方程解应用题时， 引入的辅助未知数 .解这类方程或方程组，一般有两种情况：一是依题意只求其特殊解， 如整数解， 或几个未知数的和 (积 )等，无需求出所有的解；二是在实数范围内， 可运用其性质， 增加方程或不等式的个数 . 例如，利用取值范围，非负数的性质等.二、例题例 1.在实数范围内，解下列方程或方程组：22x11x2y0； x2+xy+y 2 3x 3y+

2、3=0 ；x 1x y z 22xyz24解：根据在实数范围内，二次根式被开方数是非负数，分母不等于零.x210得不等式组1x20x 10解得 x2=1 而 x 1,x12y 整理为关于x 的二次方程，利用方程有实数根，则判别式 0.22 x 是实数， 0.即 ( y 3)2 4(y23y+3) 0 . 解得 (y 1)2 0 .而 (y 1)2 0. y=1.x 1 是原方程的解 .y1消去一元后，利用实数平方是非负数性质.由得 z=2 x y .代入得2xy (2 x y)2 4=0.整理配方，得 (x 2)2+(y 2)2=0.相加得0 的两个数，只有是互为相反数.而 x, y 是实数，

3、 (x 2)2 0， (y 2)2 0.精品资料欢迎下载满足等式的条件只能是：x20y2.0x2方程组的解是y2z2本题在消去 z 后，也可以仿，写成关于x 的二次方程，用判别式求解 .例 2. 一个自然数除以4 余 1，除以 5 余 2，除以 11 余 4，求适合条件的最小自然数 .分析：本题有多种解法：交集法，设三元，消去一元，用二元一次方程求整数解，设二元，求二元一次方程的整数解.解法一：除以4 余 1 的自然数集合： 1 ， 5， 9， 13，17， 21， 37 ；除以 5 余 2 的自然数集合： 2 ， 7， 12， 17， 37 ；除以 11 余 4 的自然数集合： 4 ， 15

4、，26， 37， .三个集合的公共元素中最小的自然数是37.解法二：设所求的自然数为 4a+1 或 5b+2 或 11c+4 (a,b,c 都是自然数 ).得方程组4a15b2(1)4a111c4(2)由 (1)得 a= 5b1bb1.b 144k(k 为正整数 )，那么 b=4k 1，a=5k 1.设4c= 4a34(5k1)320k 79k 7由 (2)得k.11111111要使 9k7 为整数， k 取最小正整数 2.11这时 c=3 ( 也可求得 b=7,a=9),所求自然数是 37.解法三：设所求的自然数为x,则 x1 ， x 2 ，x4 都是自然数 . x1> x2>

5、x44511.4511 x1+ x4 x2也是自然数 .4115设 y= x 1 + x 4 x 2.4115去分母，得200y=31x 47.200y477 y13 y16x=31.31y 取最小正整数5，能使 3y16 为整数 .31 x=37,即最小的自然数是37.精品资料欢迎下载例 3. 有甲，乙，丙三种货物 .若购买甲3件，乙 7件，丙 1 件共需 3.15 元；若购买甲4 件，乙 10 件，丙 1 件共需 4.20 元 .问购买甲、乙、丙各 1 件共需几元？(1985 年全国初中数学联赛题 )解：设甲，乙，丙每件分别为x,y, z 元 .根据题意，得3x7 yz3.15(1)( 依

6、题意只要求出 x+y+z 的值 )4x10 yz4.20(2)(1) × 3 (2)× 2： x+y+z=1.05 （元） .答：买甲、乙、丙各 1件共需 1.05 元 .例 4.甲、乙两车分别从A 、 B 两站同时出发，相向而行，当甲车走完全程的一半时，乙车距 A 站 24 公里；当乙车走完全程的一半时，甲车距B 站 15 公里 .求 A、B 两站的距离 .解：设 A、 B 两站的距离为 x 公里，并引入辅助未知数V 甲 ，V 乙 分别表示甲、乙两车的速度 .根据题意，得xx242(1)V甲V乙( 这方程组可同时消去两个辅助未知数.)xx152(2)V甲V乙xx 24 方

7、程 (2) 左、右不等于零 (1)÷ (2)得2x 15.xx=40；或x=12 (不合题意舍去 ).2解得，答： A 、 B 两站的距离为40公里.三、练习1.甲，乙，丙，丁，戊做一件工程，甲，乙，丙合作需7.5 小时，甲，丙戊合作需 5 小时，甲，丙，丁合作需6 小时，乙，丁，戊合作需4 小时 .问五人合作需几小时？2.服装厂向百货商店购买甲、乙两种布，共付42.9元，售货员收款时发现甲、乙两种布单价对调了，退给厂方1.6 元，厂方把这 1.6 元又买 了甲、乙两种布各1 尺 .问服装厂共买布几尺？3.两只船分别从河的两岸同时对开，速度保持不变，第一次相遇时，距河的一岸700 米

8、，继续前进到达对岸后立即返回，第二次相遇时，距河的另一岸400 米，求河的宽 .4.游泳运动员自闽江逆流而上，在解放大桥把水壶丢失，继续前游20 分钟才发现，于是返回追寻，在闽江大桥处追到，已知两桥相距1000 米，求水流的速度 .5.已知长方形的长和宽均为整数，且周长的数值与面积的数值相等.问这长方形的长和宽各是多少？6.有一队士兵，若排成3 列纵队，则最后一行只有1 人；若排成 5 列纵队，则最后一行只有 7. 人；排成 7列纵队，则最后一行只有6 人 .问这队士兵最少是几人？7. 求下列方程的实数解： 1 2x2x 1 1 3y 0精品资料欢迎下载 5x2+6xy+2y 2 14x 8y

9、+10=0 (x2+1)(y 2+4)=8xy 2x y 13x 2y 508.一件工程，如果甲单独完成所需的时间是乙，丙合做，完成这件工程所需时间的a 倍；如果乙单独完成所需的时间是甲，丙合做， 完成这件工程所需时间的b 倍 .(其中 b>a>1),那么丙单独完成所需的时间是甲，乙合做，完成这件工程所需时间的多少倍？(1990 年泉州市初二数学双基赛题)9.甲，乙两车从东站，丙，丁两车从西站，同时相向而行.甲车行 120公里遇丙车，再行20 公里遇丁车；乙车在离西站126 公里处遇丙车，在中途遇丁车.求东西两站的距离 .10. 三辆车 A ， B ，C 从甲到乙 .B 比 C 迟开 5 分钟，出发后 20 分钟追上 C； A 比 B 迟开10 分钟，出发后50 分钟追上C.求 A 出发后追上B 的时间 .11. 学生若干人住宿，如果每间4 人，有 20 人没房住；如果每间8 人，则有一间不满也不空 .求学生人数 .12.一只船从甲码头顺水航行到乙码头用5 小时，由乙码头逆水航行到甲码头需7 小时。问一木排