03投资者的效用函数

1、第二章第二章第二节风险资产组合的有效边界允许卖空时的有效边界第三节有效边界的求解含做空的资产组合表示方法一、允许卖空且可以无风险借贷含做空的资产组合之例假设投资者有100元，他卖空价值 900元的证券 A，购买价值1000元的证券B，如何表示此资产组合？. 91011,101001000BABwww解：含做空的资产组合练习题（42页）假设投资者拥有元可以投资于证券和证券。投资者可以将资金全部投资于证券，获得元的收益，即的收益率。另一方面，投资者也可以卖空价值元的证券，购买价值元的证券，则资产组合的期望收益为元，而借入证券的成本为元，因此，最初元的投资，可以获得元（）的收益，即期望收益率为。期望

2、收益率从增加到，但是标准差也从增加到，试写出计算过程。.101111,111001100ABAwww解：)1 ()(BApREwRwEwRE0.74,%8)111 (%1411)11(pRE222212122)1 ()1 (2)(wwwwwP2222203. 0)111 (03. 0)06. 0(5 . 0)111 (11206. 011)11(P0.32760.090.1980.435657.24%0.57240.3276p含做空的资产组合练习题（42页）最大化目标函数为：约束条件为：一、允许卖空且可以无风险借贷, 11niiXPFPRRE)(maxPAFAFPRRERRE)()(练习题 考

3、虑三种证券：考虑三种证券： 公司的股票，期望收益率为公司的股票，期望收益率为10%，收益率的标准差为，收益率的标准差为7%； 公司的股票，平均收益率为公司的股票，平均收益率为8，收益率的标准差为，收益率的标准差为6； 公司的股票，平均收益率为公司的股票，平均收益率为18，收益率的标准差为，收益率的标准差为13。 此外，假设公司和公司之间的相关系数为此外，假设公司和公司之间的相关系数为0.5，公司和，公司和公司之间的相关系数为公司之间的相关系数为0.3，公司和公司之间的相关系数为，公司和公司之间的相关系数为0.2。 最后假设无风险借贷利率为最后假设无风险借贷利率为 4。 假设允许卖空且可以无风险

4、借贷。假设允许卖空且可以无风险借贷。 求切点资产组合求切点资产组合 G与有效边界。与有效边界。%.13%,18)(%;6%,8)(%;7%,10)(332211RERERE一、条件重述. 2 . 0, 3 . 0, 5 . 03 , 23 , 12, 14 . 0FR二、解方程：解题过程三、代入公式：第三章投资者风险偏好与最优资产组合第一节 投资者的效用函数第一节投资者的效用函数0效用 U 100财富 W 100100 100000例例1 考虑钱对同一个人的价值。假设一个学生手头紧张，正好有机会挣考虑钱对同一个人的价值。假设一个学生手头紧张，正好有机会挣100元钱，但是所要做的是他不喜欢的工作

5、。元钱，但是所要做的是他不喜欢的工作。 （1）如他经济情况差，他会认为）如他经济情况差，他会认为100元钱的实际价值足够大，所要做的元钱的实际价值足够大，所要做的工作即使是工作即使是不喜欢不喜欢的，他仍会去干；的，他仍会去干； （2）如他先有了）如他先有了10000元，要为元，要为100元钱去干这份让他讨厌的工作，元钱去干这份让他讨厌的工作，他就很可能不干了。他就很可能不干了。 一、效用一、投资者的效用 资产组合 A资产组合 B情景1212期末财富（元）2000400018004000效用概率0.6期望期望财富期望效用)()()(2211WUpWUpWUE

6、PPP效用最大化准则投资者会选择组合，而放弃组合。2211WpWpWE300031201.41.320效用 U 100财富 W 100100 100000（一）效用函数的一阶导数为正随着财富增加，效用也将增加。非饱和性：) 1()(XUXU0)( XU二、效用函数的性质（二）效用函数随投资者风险偏好而变化表-一个等价变量称变量 X 为等价变量。等价变量：X随机变量y确定性量)()(yUXUE也称变量 y 为 X 的确定性等价量。二、效用函数的性质1风险厌恶型投资者的效用函数风险厌恶意味着投资者将拒绝一个等价变量。表-一个等价变量 如果以U(W)表示效用函数，U(W) 表示效用函数的二阶导数，风

7、险厌恶意味着 U(W) 0 。风险中性型投资者的效用函数 风险中性是指投资者不在意一个等价变量，或者说一个等价变量不影响投资者的决策。对风险中性的投资者而言，其效用函数的二阶导数为表-一个等价变量风险偏好型投资者的效用函数风险偏好是指投资者愿意选择一个等价变量。表-一个等价变量效用函数的二阶导数为正风险偏好类型总结表-投资者风险态度与效用函数投资者财富增加风险投资增加？固定绝对风险厌恶不变 增加递减绝对风险厌恶减少递增绝对风险厌恶（三）投资者风险态度与绝对风险厌恶度投资者的绝对风险厌恶程度（-）表绝对风险厌恶相对于财富的变化绝对风险厌恶程度的度量（四）投资者风险态度与相对风险厌恶度投资者财富增

8、加风险投资比例增加？固定相对风险厌恶不变增加递减相对风险厌恶减少递增相对风险厌恶投资者相对风险厌的恶度上式对财富 W 的一阶导数是R(W)。表随财富变化的相对风险厌恶相对风险厌恶程度的度量三、效用函数与资产组合选择一般认为，大多数投资者是属递增绝对风险厌恶的。因此，最常见的投资者的效用函数应是二次型的，即： 它的一阶和二阶导数为：对W 的限制： 在此限定条件下，绝对风险厌恶度和相对风险厌恶度的函数式及它们的一阶导数将为：二次型效用函数对应的厌恶度二次型效用函数具有递增绝对风险厌恶的性质。二次型效用函数必然也是递增相对风险厌恶。如果投资的收益率服从正态分布（即满足马科维茨均值方差分析假设条件），

9、同时投资者效用函数为二次型，那么不论投资者的风险偏好程度如何，他们在资产组合的有效边界（有效集）中总能确定一个最优资产组合。二次型效用函数与均值方差模型的关系第二节效用无差异曲线与最优资产组合一、资产组合效用函数的类型二、期望效用无差异曲线三、最优资产组合的选择一、资产组合效用函数的类型（一）凸性效用函数投资收益率的边际效用递减一、资产组合效用函数的类型（二）凹性效用函数投资收益率的边际效用递增一、资产组合效用函数的类型（三）线性效用函数投资收益率的边际效用不变。二、期望效用无差异曲线不同类型的无差异曲线三、最优资产组合的选择0)(PRE分离定理一、对风险资产组合的选择二、选择包含无风险资产的

10、资产组合的有效边界FRG三、无差异曲线将决定最优资产组合的具体位置。*P风险资产组合有效边界包含无风险资产的组合的有效边界切点组合（市场组合）无差异曲线确定了具体的位置第三节其他最优资产组合选择方法一、几何平均收益率方法二、安全第一方法一、几何平均收益率方法（一）几何平均收益率的计算1、一个资产组合的几何平均收益率假设某个资产组合的收益率如下：情景12N-1N收益率R1R2RN-1RN概率P1P2PN-1PN则这个资产组合的几何平均收益率定义为：1)1 ()1 ()1 ()1 (121121 NNPNPNPPGRRRRR当NPi1时，1)1 ()1 ()1 ()1 (/1/11/12/11 N

11、NNNNNGRRRRR1)1)(1 ()1)(1 (121 NNNRRRR几何平均收益率的计算例题假设某个资产组合的收益率如下：情景123收益率概率解：这个资产组合的几何平均收益率为：1)1 ()1 ()1 (321321PPPGRRRR1)2 . 11 ()3 . 0(1 )6 . 01 (3 . 02 . 05 . 011.26690.93111.264949.21%0.4921试计算其几何平均收益率。（一）几何平均收益率的计算2、多个资产组合 P 的几何平均收益率假设第 j 个资产组合的收益率如下：情景12N-1N收益率R1,jR2,jRN-1,jRN

12、,j概率P1,jP2,jPN-1,jPN,j则第 j 个资产组合的几何平均收益率定义为：1)1 ()1 ()1 ()1 (, 1,2, 1, 1. 2, 1, jNjNjjPjNPjNPjPjjGRRRRR当NPji1,时，1)1 ()1 ()1 ()1 (/1,/1, 1/1, 2/1, 1, NjNNjNNjNjjGRRRRR1)1)(1 ()1)(1 (, 1, 2, 1 NjNjNjjRRRR几何平均收益率的计算例题下面举例说明。 表给出了三种可能的投资证券、证券和证券； 每种投资都有两种可能的结果，每种可能性相同； 该组合中这三种证券比例相等。)5 . 0(,jiP)3/1(CBAw

13、ww 试计算并比较各个资产与资产组合的几何平均收益率。 , 5 . 0,jiP. 3/1CBAwww在第一种情景下，资产组合收益率为：167. 03/1)20. 0(3/1)10. 0(3/180. 01PR在第二种情景下，资产组合收益率为：20. 03/160. 03/130. 03/130. 02PR183. 01)20. 01 ()167. 01 (5 . 05 . 0,PGR资产组合的几何平均收益率为：1)1 ()1 (5 . 025 . 01PPGPRRR 计算资产组合的几何平均收益率 , 5 . 0,jiP. 3/1CBAwww0.1221)30. 0(1 )80. 01 (5 .

14、 05 . 0,AGR0.0821)30. 01 ()10. 0(1 5 . 05 . 0,BGR0.1311)60. 01 ()20. 0(1 5 . 05 . 0,CGR计算各个资产的几何平均收益率资产组合的收益率高于任一单个证券的收益率（二）几何平均收益率方法的运用 运用几何平均收益率法选择最优资产组合，最简单的办法就是从各种投资方案中选择最高几何平均收益率的资产组合。 几何平均收益率方法不可能挑选一个收益率可能为负的投资组合，从而可极大程度地排除非有效组合和不适宜的有效组合。我们把这种特性称为“有效集中”。 使用几何平均收益率方法选择的最优资产组合通常是一个分散化的组合。 在收益率是正

15、态分布或对数正态分布条件下，可以证明几何平均收益率最大化的组合是均值方差有效的。二、安全第一方法（一）罗伊标准（）（二）卡陶卡标准（）（三）特尔瑟标准（）（一）罗伊标准罗伊定义：最优资产组合是收益率低于某一特定水平的可能性最小的组合。其中：RP 表示组合收益率， RL 表示投资者可接受的最低收益率水平。罗伊的选择标准是：)(obPrminPLRR （3-23） 如果 RL 是收益率的“破产警戒线”，则罗伊标准就是看谁破产的可能性最小。-3 -2 - 2 368% 95% 99.7%正态曲线的特征xx资产组合投资收益率是正态分布的情况标准差 = 均值 = 1x x标准差 = 均值 = 2x x资

16、产组合投资收益率是正态分布的情况RP RL的概率远远近近小小大大高于最低收益率水平低于最低收益率水平RP RL的概率RL：可接受的最低收益率水平LRLR罗伊标准（极小化形式）PPLRRmin罗伊标准（极大化形式）PLPRRmax1%5%10%5:PPLRRA1PLRR25. 2%4%14%5:PPLRRB25. 2PLRR5 . 1%8%17%5:PPLRRC5 . 1PLRR三个可行的资产组合中，组合是最优的根据罗伊标准选择资产组合%5LR（二）卡陶卡标准 限制条件是收益率小于或等于下限的概率不超过预先规定的值 ，即：限制条件为：例如，某个资产组合的收益率满足如下条件：%,5)0(ProbP

17、R%,5)(Prob0cRcP时，当则 0 就是该资产组合收益率的最大化下限。.)(ProbLPRRLRmax卡陶卡标准：最大化下限在卡陶卡标准下资产组合的选择假设 = 5%，资产组合A，B的最大化下限分别为：.03. 0, 0)()(BLALRR试问：在卡陶卡标准下应该选择哪个资产组合？%,5)0(Prob)(APR解：%,5)03. 0(Prob)(BPR%,5)03. 0(Prob)0(Prob)()(BPBPRR所以，在卡陶卡标准下应该选择资产组合 B.在卡陶卡标准下资产组合的选择)(APRp05%0)(ALR)(BPRp003. 05%03. 0)(BLR所以，在卡陶卡标准下应该选择

18、资产组合 B.标准差 = 均值 = x x),(2NX222/)(221)(xexf正态分布标准正态分布-3 -2 -1 0 1 2 3 = 1 = 02/221)(xexf) 1, 0( NX015 . 0)(xN95. 065. 1x,21)(2/2xtdtexN.1表示它的反函数N.65. 1)95. 0(,95. 0)65. 1 (1NN正态分布的累积分布曲线X0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.00.4 0.80.9 1.01.4 1.81.9 2.02.12.22

19、.32.4 00 00.539 80.579 30.617 90.655 4 0.691 50.725 70.758 00.788 10.815 9 0.841 30.864 30.884 90.903 20.919 2 0.933 20.945 20.955 40.964 10.971 3 0.977 20.982 10.986 10.989 30.991 8 0.993 80.995 30.996 50.997 40.998 10.504 00.543 80.583 20.621 70.659 1 0.695 00.729 10.761 10.791 0

20、0.818 6 0.843 80.866 50.886 90.904 90.920 7 0.934 50.946 30.956 40.964 80.971 9 0.977 80.982 60.986 40.989 60.992 0 0.994 00.995 50.996 60.997 50.998 20.508 00.547 80.587 10.625 50.662 8 0.698 50.732 40.764 20.793 90.821 2 0.846 10.868 60.888 80.906 60.922 2 0.935 70.947 40.957 30.965 60.972 6 0.978

21、 30.983 00.986 80.989 80.992 2 0.994 10.995 60.996 70.997 60.998 20.512 00.551 70.591 00.629 30.666 4 0.701 90.735 70.767 30.796 70.823 8 0.848 50.870 80.890 70.908 20.923 6 0.937 00.948 40.958 20.966 40.973 2 0.978 80.983 40.987 10.990 10.992 5 0.994 30.995 70.996 80.997 70.998 30.516 00.555 70.594

22、 80.633 10.670 0 0.705 40.738 90.770 30.799 50.826 4 0.850 80.872 90.892 50.909 90.925 1 0.938 20.949 50.959 10.967 20.973 8 0.979 30.983 80.987 40.990 40.992 7 0.994 50.995 90.996 90.997 70.998 40.519 90.559 60.598 70.636 80.673 6 0.708 80.742 20.773 40.802 30.828 9 0.853 10.874 90.894 40.911 50.92

23、6 5 0.939 40.950 50.959 90.967 80.974 4 0.979 80.984 20.987 80.990 60.992 9 0.994 60.996 00.997 00.997 80.998 40.523 90.563 60.602 60.640 40.677 2 0.712 30.745 40.776 40.805 10.835 5 0.855 40.877 00.896 20.913 10.927 9 0.940 60.951 50.960 80.968 60.975 0 0.980 30.984 60.988 10.990 90.993 1 0.994 80.

24、996 10.997 10.997 90.998 50.527 90.567 50.606 40.644 30.680 8 0.715 70.748 60.779 40.807 80.834 0 0.857 70.879 00.898 00.914 70.929 2 0.941 80.952 50.961 60.969 30.975 6 0.980 80.985 00.988 40.991 10.993 2 0.994 90.996 20.997 20.997 90.998 50.531 90.571 40.610 30.648 00.684 4 0.719 00.751 70.782 30.

25、810 60.836 5 0.859 90.881 00.899 70.916 20.930 6 0.943 00.953 50.962 50.970 00.976 2 0.981 20.985 40.988 70.991 30.993 4 0.995 10.996 30.997 30.998 00.998 60.535 90.575 30.614 10.651 70.687 9 0.722 40.754 90.785 20.813 30.838 9 0.862 10.883 00.901 50.917 70.931 9 0.944 10.953 50.963 30.970 60.976 7

26、0.981 70.985 70.989 00.991 60.993 6 0.995 20.996 40.997 40.998 10.998 6X0.030.998 70.999 00.999 30.999 50.999 70.999 80.999 80.999 90.999 91.000 0标准正态分布表N -1 (0.95) = N -1 (0.99) = 1.6 + 0.05 = 1.652.3 + 0.03 = 2.33)(1 N查表：5 . 09192. 05 . 00158. 00)9192. 0(1N0)0158. 0(1N5

27、. 0),1 ()(11NN假如设定 0.05，限制条件变为：因为我们希望L越大越好，所以.)(ProbLPRR.ProbPPLPPPRRRR),(1NRRPPL,)(1PPLNRR,)(1PPLNRR,65. 1PPLRR,65. 1PPLRR.65. 1PLPRR资产组合收益率服从正态分布的情况 卡陶卡标准下的最优资产组合也必定在均值标准差坐标系中的有效边界上。.65. 1PLPRR有效边界的切点有效边界的切点卡陶卡标准与均值卡陶卡标准与均值方差模型的关系方差模型的关系（三）特尔瑟标准选择标准是最大化期望收益率。其限制条件是收益率小于或等于预先设定的限制的概率不超过预先设定的数值。用符号表示，即：限制条件为：.)(ProbLPRRPRmax在特尔瑟标准下资产组合的选择0LR所以，在卡陶卡标准下应该选择资产组合 B.)(APRp0)(APR)(BPRp0)(BPR,)()(BPAPRR.)(Prob s.t.LPRRPRmax特尔瑟标准：特尔瑟标准：可能没