多元函数微分学85月11日PPT学习教案

1、会计学1多元函数微分学多元函数微分学85月月11日日一、多元函数的极值及最大值、最小值 定义 设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某个邻域内有定义 如果对于该邻域内任何点(x y) 都有在点 (0,0) 有极小值;在点 (0,0) 有极大值;在点 (0,0) 无极值.2243yxz22zxy yxz 极大值、极小值统称为极值 ,使函数取得极值的点称为极值点.),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf).,(),(),(0000yxfyxyxf为处取得极小值，极小值在点则称).,(),(),(0000yxfyxyxf为处取得极大值，极大值在点称第1页/共33页注注 1. 使偏导

2、数都为 0 的点称为驻点 .但驻点不一定是极值点.如,定理定理1 (必要条件)函数存在偏导数,证证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.0),(,0),(0000yxfyxfyx取得极值 ,取得极值取得极值有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值.且在该点取得极值 ,则有的某个邻域在点),(),(00yxyxfz ),(),(00yxyxfz在点因在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yxfz 0yy yxz 第2页/共33页 2. 从几何上看 这时如果曲面zf(x y)在极值点(x0 y0 z0)处有切平面 则切平面zz0fx(x0 y0)(xx0) fy(x0 y0)(yy0)

3、成为平行于xOy坐标面的平面zz0 类似地可推得 如果三元函数uf (x y z)在点(x0 y0 z0)具有偏导数 则它在点(x0 y0 z0)具有极值的必要条件为 fx(x0 y0 z0)0 fy(x0 y0 z0)0 fz(x0 y0 z0)0 的邻域在元函数),(),(00201021nnxxxPxxxfn，则存在偏导数且达到极值niPxfi, 2 , 1, 0)(0第3页/共33页时, 具有极值定理定理2 (充分条件充分条件)的某邻域内具有连续的二阶偏导数, 且令则: 1) 当A0 时取极小值.2) 当3) 当证明见 P108 时, 没有极值.时, 不能确定 , 需另行讨论.若函数的

4、在点),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC第4页/共33页, 0),( yxfx0),( yxfy求函数极值的一般步骤：第一步 解方程组求出实数解，得所有驻点.第二步 对于每一个驻点(x0, y0), 求出二阶偏导数的值A、B 、C.第三步 定出ACB2的符号，再判定是否是极值.),(yxfz 第四步对偏导数不存在的点(包括边界点)，再判定是否是极值点.第5页/共33页例例1.求函数解解: 第一步第一步 求驻点求驻点.得驻点: (1, 0) , (1,

5、 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判别判别.在点(1,0) 处为极小值;解方程组ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的极值.求二阶偏导数,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(2233第6页/共33页在点(3,0) 处不是极值;在点(3,2) 处为极大值.,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122

6、 BAC,0A在点(1,2) 处不是极值;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC第7页/共33页0182106222zyzyxyx设z=z(x,y)是由确定的函数，求z=z(x,y)的极值点和极值。 练习：练习：第8页/共33页例例2. 讨论函数及是否取得极值.解解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 ,在(0,0)点邻域内的取值, 因此 z(0,0) 不是极值.因此,022时当 yx222)(yxz0)0 , 0( z为极小值.正正负负033yxz222)(yxz在点(0,0)xyzo并且在 (0,0) 都有 02 BAC33yxz可能为0)()0 , 0()0 ,

7、 0(222yxz第9页/共33页 注 不是驻点也可能是极值点. 因此, 在考虑函数的极值问题时, 除了考虑函数的驻点外, 如果有偏导数不存在的点, 那么对这些点也应当考虑. 但(0 0)不是函数的驻点 例如 函数22yxz在点(0 0)处有极大值 与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.多元函数的最值多元函数的最值第10页/共33页 最值应用问题最值应用问题函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点边界上的最值点特别特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个只有一个极值点P 时, )(Pf为极小 值)(Pf为最小 值(大大)(大大)依据第11

8、页/共33页 例3 欲将长度为a的细杆分为三段,试问如何分才能使三段长度乘积为最大? 解 设第一段和第二段的长分别为x y 则三段长度乘积为 ).,0()(),(ayxyxaxyyxfz02),(02),(22xxyaxyxfyxyayyxfyx解方程组).3,3(aa得驻点).3,3(aa得驻点,2),(,22),(,2),(xyxfyxayxfByyxfAyyxyxx处，在点)3,3(aa，03)3()32)(32(222aaaaBAC.27)3,3()3,3(3aaafaa处，函数取得最大值故在点第12页/共33页极值问题无条件极值:条 件 极 值 :条件极值的求法: 方法方法1 代入法

9、代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如 ,转化,0),(下在条件yx的极值求函数),(yxfz )(0),(xyyx 中解出从条件)(,(xxfz二、条件极值 拉格朗日乘数法第13页/共33页,0),(下在条件yx方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.如方法 1 所述 ,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设 记.),(的极值求函数yxfz 0),(yx, )(xy)(,(xxfz例如例如,故 0ddddxyffxzyx,ddyxxy因0yxyxffyyxxff故有第14页/共33页引入辅助函数辅助函数L(x

10、,y) 称为拉格朗日( Lagrange )函数.0),(),(),(yxyxfyxLxxx0),(),(),(yxyxfyxLyyy0),(),(yxyxL利用拉格极值点必满足0 xxf0yyf0),(yx则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.),(),(),(yxyxfyxL第15页/共33页推广推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形. 设解方程组可得到条件极值的可疑点 . 例如例如, 求函数下的极值.在条件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfF021xxxxfF021yyyyfF021zzzzfF01

11、F02F第16页/共33页例例4.要设计一个容量为0V则问题为求x , y ,令解方程组解解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z 使在条件xL02zyyzyL02zxxzzL0)(2yxyxL00Vzyx水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱, 试问 0VzyxyxzyzxS)(2)()(2),(0VzyxyxzyzxzyxLxyz第17页/共33页得唯一驻点,2230Vzyx3024V由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.因此,当高为,340Vxyz思考思考: :1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何?提示提示

12、: : 利用对称性可知,30Vzyx2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何? 提示提示: :)()(2),(0VzyxyxzyzxyxL2长、宽、高尺寸相等 .第18页/共33页例例5.设生产z吨某产品与所用A,B两种原料吨数x,y之间的关系式为 现拟向银行贷款150万元购买原料, A,B两种原料每吨价格分别为1万元和2万元,问怎么样购进这两种原料使该产品生产的数量最多?分析： 依题意,问题归结为求函数.005. 0),(2yxyxzyxyxz2005. 0),(在附加条件x+2y=150下的最大值.第19页/共33页例例5.令解

13、方程组解解: 依题意,问题归结为求函数xL001. 0 xyyL02005. 02xL01502yx)1502(005. 0),(2yxyxyxLyxyxz2005. 0),(在附加条件x+2y=150下的最大值.2525,100，得yx因为此问题的最大值是存在的,且驻点是唯一的,所以点(100,25)是z(x,y)的最大值点, 其最大值为z(100,25)=1250第20页/共33页已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),试在椭圆圆周上求一点 C, 使ABC 面积 S最大.解答提示解答提示:CBAoyxED设 C 点坐标为 (x , y),思考与练习思考与练习 210

14、31013yxkji)103, 0,0(21yx)0, 0(14922yxyx则 ACABS2110321yx第21页/共33页设拉格朗日函数解方程组得驻点对应面积而比较可知, 点 C 与 E 重合时, 三角形面积最大.)491 ()103(222yxyxF092)103(2xyx042)103(6yyx049122yx646. 1S,54,53yx,5 . 3,2CDSS第22页/共33页 在实际问题中，常常需要根据两个变量的几组实验数值在实际问题中，常常需要根据两个变量的几组实验数值实验数据，来找出这两个变量的函数关系的近似表达式（经验公式）实验数据，来找出这两个变量的函数关系的近似表达式

15、（经验公式）问题：解决这个问题的常用的方法是什么？问题：解决这个问题的常用的方法是什么？第23页/共33页 例例某证券公司近几年投资于资本市场的资金额如下表所示：某证券公司近几年投资于资本市场的资金额如下表所示：第24页/共33页xyo1243400450500550如图，在坐标纸上画出如图，在坐标纸上画出这些点，这些点，因为这些点本来不在一条直线上，我们只能要求选取这样的因为这些点本来不在一条直线上，我们只能要求选取这样的 ，使得，使得 在在 处的函数值与实际数据处的函数值与实际数据 相差都很小相差都很小ba,baxxf)(410,xxx410,yyy解解600第25页/共33页就是要使偏差

16、就是要使偏差 )4 , 1 , 0()(ixfyii都很小都很小.因此可以考虑选取常数因此可以考虑选取常数 ，使得，使得 ba,402)(iiibaxyM定义定义这种根据偏差的平方和为最小的条件来选择常数这种根据偏差的平方和为最小的条件来选择常数 的方法叫做的方法叫做最小二乘法最小二乘法ba,这种确定常数的方法是通常所采用的这种确定常数的方法是通常所采用的.最小来保证每个偏差的绝对值都很小最小来保证每个偏差的绝对值都很小第26页/共33页M把看成自变量把看成自变量 和和 的一个二元函数，的一个二元函数，ab那么问题就可归结为求函数那么问题就可归结为求函数 在那些点处取得最小值在那些点处取得最小

17、值.),(baMM 4040; 0)(2, 0)(2iiiiiiibaxybMxbaxyaM令即即4040. 0)(, 0)(iiiiiiibaxyxbaxy第27页/共33页将括号内各项进行整理合并，并把未知数将括号内各项进行整理合并，并把未知数 和和 分离出来，便得分离出来，便得ab) 1 (.5,40404040402iiiiiiiiiiiybxaxyxbxa计算得计算得,1040iix,30402iix,270040iiy561040iiixy第28页/共33页代入方程组（代入方程组（1）得）得.2700510,56101030baba解此方程组，得到解此方程组，得到.498,21ba这样便得到所求经验公式为这样便得到所求经验公式为)2(.49821)(xxfy.6032007,6035年的投资额为即时，当yx第29页/共33页用的一种用的一种，其中最小二乘法是常，其中最小二乘法是常作曲线拟合有多种方法作曲线拟合有多种方法，给定平面上一组点给定平面上一组点), 3 , 2 , 1(),(n