完整word版,全等三角形辅助线系列之二--中点类辅助线作法大全,推荐文档

1、全等三角形辅助线系列之二与中点有关的辅助线作法大全一、中线类辅助线作法1、遇到三角形的中线，可以倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，通过全等 将分散的条件集中起来，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”2、遇到题中有中点，可以构造三角形的中位线，利用中位线的性质转移线段关系.3、遇到三角形的中线或与中点有关的线段，如果有直角三角形，可以取直角三角形斜边的中点， 试图构造直角三角形斜边的中线，利用斜边中线的性质转移线段关系.典型例题精讲【例1】 如图，已知在 ABC中，AD是BC边上的中线， E是AD上一点，延长 BE交AC于F ,AF EF ,求证：AC BE .21 / 12【

2、解析】延长 AD到G ,使DG AD ,连结BG1 .BD CD, BDG CDA , AD GDADC 9 GDB , AC GB . G EAF又AF EF , EAF AEFG BED2 .BE BG , BE AC .【例2】 如图，在 ABC中，AD交BC于点D ,点E是BC中点，EF II AD交CA的延长线于点 F ,交EF于点G ,若BG CF ,求证：AD为 ABC的角平分线.【解析】延长FE到点H ,使HE FE连结BH .【例3】【解析】【例4】在CEF和CE BECEFFE HEEFCEHBAFG又 EF IICADBEHBEHBEHEHBBGEAGFCFBHBGBGE

3、AGFAD , ,AFGAGFBADBAD，AD为ABC的角平分线.已知AD为ABC的中线,ADC的平分线分别交BE延长易证CF EF .DF ,连结 BN、EN .AB于E、交AC于F .求证:*NBND CFD , BN CF ,ADB , ADC的平分线分别交 AB于E、交AC于FEDF EDN 90 ，利用SAS证明在EBN中,如图所示,求证AD2BE BNABC 中,EDF , EN EFEN , BE CFD是BC的中点,DM垂直于DN如果BM 22CN2DM2 一 2AB2 AC2【解析】延长 ND至E ,使DE DN ,连接EB、EM、MN .因为 DE DN , DB DC

4、, BDE CDN ,贝U BDE 9 CDN .从而 BE CN , DBE C . 2222而 DE DN ,MDN 90 ,故 ME MN ,因此 DM DNMNME ,即 BM 2 BE2ME2 ,贝U MBE 90 ,即 MBDDBE 90.因为 DBE C ,故 MBD C 90 ,则 BAC 90 .1AD为Rt ABC斜边BC上的中线，故 AD - BC .2由此可得 AD2 1BC2 - AB2 AC2 . 44【例5】 在Rt ABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边CA、CB上，满足 DFE 90 .若AD 3,【解析】如图、延长 DF至点G , 由AF FB ,有

5、ADF 9 BGF BG AD 3 ADFBGFAD / GB GBE ACB 180 GBE 90GE JGB2 EB2 5 又 DF FG , EF DGDE GE 5 .【例6】如图所示，在ABC中， CD ,求证 CD 2EC ./ DA Dk?l CEB 使得DF FG ,联结GB、GE .图6AB AC ,延长AB至1 D ,使BD AB, E为AB的中点，连接CE、1FAAAAAAAKA/A/ / / 1 /D/)BE 4,则线段DE的长度为.【解析】解法一：如图所示，延长 CE到F ,使EF CE .容易证明 EBF色 EAC ,从而BF AC ,而AC AB BD ,故BF

6、BD . 注意至U CBD BAC ACB BAC ABC ,CBF ABC FBA ABC CAB ,故 CBF CBD ,而 BC 公用，故 CBF CBD , 因止匕CD CF 2CE .解法二：如图所示，取 CD的中点G ,连接BG .因为G是CD的中点，B是AD的中点，11故BG是 DAC的中位线，从而 BG -AC -AB BE , 22由 BG / AC 可得 GBC ACB ABC EBC ,故 BCE BCG , 从而 EC GC , CD 2CE .【例7】已知：ABCD是凸四边形，且ACBD . E、F分别是AD、BC的中点，EF交AC于M ; EF交BD于N, AC和B

7、D交于G点.求证： GMNGNM【解析】取AB中点H,连接EH、FH._-1, AEED,AH BH, EH/ BD,EH -BD,2AH BH , BF CF1 .FH/AC, FH -AC2 GMN HFEAC BD , FH EH HEF HFE , GMN GNMGNM HEF例8 在ABC中,1 一ACB 90 , AC 2 BC ,以BC为底作等腰直角BCD , E是CD的中点，求证：AE EB 且 AE BE .【解析】过E作EF / BC交BD于FACEACB BCE 135DFEDBC 45EFB135【例9】【解析】又EF /_1 _AC BC2.EF AC,CE FBEF

8、B0又 DBEDEB故AEBACE , CEADEB 90CEA 9090 AE EB 且 AE BE.如图所示，在 ABC中,证:(1)(2)DBED为AB的中点，分别延长CA、CB 到点 E、F ,使 DE DFF分别作直线CA、DEM 省 FDN ;PAE PBF.CB的垂线,相交于点P ,设线段PA、PB的中点分别为M、(1)如图所示，根据题意可知DN / AM 且 DN = AM所以 AMD APBBN 且 DM = BN ,DM /而M、N分别是直角三角形AEP、BFP的斜边的中点,所以 EM AM DN , FNBN DM又已知DE DF ,从而 DEM 9 FDN .(2)由(

9、1)可知 EMD DNF ,则由AMD DNB可得AME而 AME、BNF均为等腰三角形,所以 PAE PBF .【例10已知，如图四边形 ABCD中，AD BC , E、F分别是AB和CD的中点，AD、EF、BC的 延长线分别交于 M、N两点.求证： AME BNE .【解析】连接AC ,取AC中点H ,连接FH、- 1. DF CF , AH CH , ，FH / AD2，FH1 一一-AD ,同理, 2EH2BCEH / BC. AD BC , EHHFEHEF. FH II AM , EH /BC AME HFE ,【例11】已知：在 ABC中,HEFBCACDC .过AB、DC的中点

10、E、AMEBNE,动点D绕ABC的顶点A逆时针旋转，且AD BC ,连结F作直线,AD、BC分别相交于点 M、直线EF与直线图2(1)如图1,当点D旋转到BC的延长线上时，点结HE、HF ,根据三角形中位线定理和平行线的性质,N恰好与点F可得结论重合,AMF取AC的中点H ,连BNE (不需证明).(2)当点D旋转到图2或图3中的位置时, 并任选一种情况证明.AMF与 BNE有何数量关系？请分别写出猜想,【解析】图2: AMF ENB，图3: AMFENB 180证明：在图2中，取AC的中点H ,连结HE、 HF. F是DC的中点,H是AC的中点 .HF II AD , HF1-AD , 2A

11、MF HFE同理,HE / CB ,1HE CB2,ENB HEF. ADBC , HFHEF HFE , ENB AMF证明图3的过程与证明图 2过程相似.M【例12如图所示，P是 ABC内的一点,PAC PBC，过 P 作 PM AC 于 M , PL BC 于 L ,D为AB的中点，求证DM DL .【解析】如图所示，取AP、PB的中点E、F ,连接 EM、ED、FD、FL ,11 则有 DE / BP且 DE -BP , DF II AP 1. DF - AP . 22因为 AMP和BLP都是直角三角形，-11 _ _故 ME - AP , LF BP,从而 ED FL , DF ME

12、 .22又因为 MED MEP PED , DFL DFP PFL ,DFP ,所以 MED而 MEP 2 MAP 2 LBP PFL ,且 PED从而 MED ©【例13】如右下图，在DFL ,故 DM DL .ABC 中，若 B 2 C , ADBC , E为BC边的中点.求证:AB 2DE .【解析】如右下图，则取由中位线可得,CDFDFE连结EF、 DF .AC边中点F ,1 口EF AB 且2EDF , d DE EFCEF . DF为Rt ADC斜边上的中线，DF CF .FDE CEF ,即 C DFE 2 C ,1-AB , AB 2DE .2【例14如图，ABC中，

13、ABBAC90 , D 是 BC 中点，ED FD ,ED与AB交于E , FD与AC交于FBEAE CF .【解析】连结AD . AB AC ,BAC9045D是BC中点BAD 45 且 ADBC. ED DFEDAADFADEEDB9090BDEADF在BDE与ADF中,ADDAFBDEADFBDE©ADFBE AF . AE【例15】在DABCD中， ADBCD作DEEDF连接EF、EC,N、P分别为EC、BC的中点，连接 (1)如图1,若点E在DP上，EF 及/ ABD与/ MNP满足的等量关系，NP.与DC交于点M，试探究线段NP与线段NM的数量关系M在线段EF上,你在(1

14、)中得到的结论仍然成立,的位置,(2)如图2,若点 写出你确定的点M并证明(请直接写出你的结论; 当点M在何位置时, 1)中的结论.【解析】（1） NP MN , ABDMNP 180(2)点M是线段EF的中点(或其它等价写法).证明：如图，分别连接 BE、CF.四边形ABCD是平行四边形，AD/BC, AB /DC,ABDBDC .A DBC , DBCEDF ABD, EDFBDC EDC EDFDCB , DB DC BDC .EDC ,即 BDE CDF .又DE DF，. EB FC , 1 N、P分别为同理可得MN / NP/EB,. MN/FC,MNP MNEDBCABD MNP

15、由 得ZXBDEA CDF .2.EC、BC的中点,1 FC, MN -FC 2NPC 4 ,MNE FCEENP 3DCB 180180 .NP/EB, NPNP NM .ENP NCP32311 NCP 4BDC 180NPC NCP 4ABD1.【例16】在RtAABC中，ACB 90 , tan BAC -.点D在边AC上(不与A, C重合)，连结BD,2F为BD中点.(1)若过点D作DELAB于巳连结CF、EF、CE,如图1 .设CF kEF ,则k =;(2)若将图1中的 ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2 所示.求证：BE DE 2CF ;(3)若

16、BC 6 ,点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值.图1图2备图【解析】(1) k 1;(2)如图2,过点C作CE的垂线交BD于点G,设BD与AC的交点为Q.1由题意，tan BAC , 2BCACDEAE. D、E、B 三点共线，AEXDB.BQC AQD , ACB 90 ,QBC EAQ .ECA ACG 90 , BCG ACG 90 ,ECA BCG . 、 _ BC GB 1 BCGAACE , -,. .GB DE .AC AE 2F是BD中点，. F是EG中点.,1_在 RtECG 中，CFEG,. BEDEEG2CF.21(

17、3)情况1:如图，当AD -AC时，取AB的中点M,连结MF和CM , 3 ACB 90 , tan BAC 1 ,且 BC 6,2.AC 12 , AB 6卮1. M 为 AB 中点，. . CM 3V5 . , AD - AC , /. AD 4. 31.M 为 AB 中点，F 为 BD 中点，FM -AD 2 .2当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，此时CFCM FM 2 3 5.2情况2:如图，当 AD AC时，取AB的中点 M,连结 MF和CM ,3类似于情况1 ,可知CF的最大值为4 3恋.综合情况1与情况2,可知当点D在靠近点C的三等分点时，线段 CF的长度取得

18、最大值为 4 3V5.DA课后复习【作业1】如图， ABC中，AB AC, AD是中线.求证：DAC DAB .【解析】延长AD至iJ E ,使AD 在 ADC和 EDB中AD EDADC 色 EDBADC EDBDC DB2 .AC EB , CAD BEA在 ABE 中，AB<AC , .AB EBAEB< EAB, DAC< DAB .【作业2】在Rt ABC中， BAC 90，点D为BC的中点，点 E、F分别为AB、AC上的点，且 ED FD .以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、 直角三角形或钝角三角形？【解析】延长FD到点G ,使FD GD ,连结EG、BG . 在CDF和 BDG中CD BD CDF BDG FD GDCDF 9 BDG3 .BG CF , FCD GBD4 A 905 ABCACB 906 ABC GBD 90 在 EDF和 EDG中ED EDEDF EDG 90FD GDEDF 9 EDG7 .EF EG故以线段BE、EF、FC为边能构成一个直角三角形.【作业3】AD是 ABC的中线,1F是AD的中点，BF的延长线交 AC于E .求证：AE -AC .3【解析】取EC的中点G ,连接DG易得DG / BE ,1 -F为AD的中点，所以 AE EG ,从而可证得： AE -AC .3AE