多元复合函数求导PPT学习教案

1、会计学1多元复合函数求导多元复合函数求导一元函数一元函数求导：求导：xuuyxydddddd uufyd)(d 微分：微分：回顾：回顾：上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 的复合函数的复合函数( ),( )yf uux ( ( )yfx ( ( )( )dfxxx 第1页/共20页定理定理. 若若),(vufz 续的偏导数续的偏导数, tvvztuuztzdddddd z则复合函数则复合函数证明：证明：的导数为的导数为vutt上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 有连有连 可导可导, 1. 全导数全导数全导数全导数(中间变量为一元函数中间变量为一元函数)( ),( )utvt( ( ),

2、( )zftt 设设 t 有增量有增量t ,则相应的中间变量则相应的中间变量u，v 有增量有增量u ,v ：),()(tttu );()(tttv 第2页/共20页上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 由于由于 z= f (u , v)有连续的偏导数有连续的偏导数, 所以所以z= f (u , v) 可微，可微，vvzuuzz )()(22vu )( o tvvztuuztz to)( ,0t令令且且则则有有,0,0vu，tutuddtvtvddto)( )(o )()(22tvtu 0(t0 时时,根式前加根式前加“”号号)第3页/共20页上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 tvvzt

3、uuztz to)( tzt0lim由由得得 tzddtvvztuuzdddd 推广推广,),(wvufz 设设 tzddzwvuttttuuzdd tvvzdd twwzdd 而而则则( ),( ),( )utvtwt第4页/共20页2.2.中间变量是多元函数中间变量是多元函数 xz yzzvuyxxuuz xvvz yuuz yvvz 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 yx( , ),( , ),( , )zf u vux yvx y上述求导规则称为上述求导规则称为多元复合函数的链式法则多元复合函数的链式法则.第5页/共20页 1. 复合后的函数有几个自变量，对应地就有几个复合后的函

4、数有几个自变量，对应地就有几个偏导数偏导数; 2. 有几个中间变量，就有几项相加有几个中间变量，就有几项相加; 3. 相加的每一项都是复合函数对某一中间变量的相加的每一项都是复合函数对某一中间变量的偏导数和该中间变量对特定自变量的偏导数的乘积偏导数和该中间变量对特定自变量的偏导数的乘积; 4. 中间变量或自变量只有一个时，公式中的求导中间变量或自变量只有一个时，公式中的求导记号用记号用dxd，不止一个时，用偏导数记号，不止一个时，用偏导数记号x 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 链式法则的特点链式法则的特点:第6页/共20页 xz yzzvuyxxuuz yuuz ydvdvz 特例特例

5、1.1.y上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ( , ),( , ),( )zf u vux yvy 第7页/共20页),(, ),(yxvvxfz xz yz fz xyx注：注：这里这里xz xf xf xvvf yvvf 与与不同不同: :v上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 特例特例2.2.xz xf 表示复合函数表示复合函数 固定自变量固定自变量 y ，对对 ),(,yxxfz 表示函数表示函数 固固定中间变量定中间变量 v ，而对中，而对中间间),(vxfz 自变量自变量x 求导求导, ,变量变量 x 求导求导. .第8页/共20页例例1.1. 设设,cos2,sin3,y

6、xvyxuuzv .,yzxz 求求解：解：xz 1 vvu)sin3ln(cos2sin3cos6)sin3cos2yxyyxyxyxyx （xuuz xvvz uuvln 3 ycos2 zvuyx上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 yxyz yuuz yvvz 1 vvuycos uuvln )sin2yx （)sin3ln(sin2sin3cos2)sin32cos2yxyxyxyxyxyx （第9页/共20页例例2.2.tveuutuvztln,cos2 解：解：，求全导数，求全导数设设dtdzdtdzdtduuz dtdvvz zt + )sin(2utv ttttetetee

7、ttcosln2)sin(ln2 ztvutt上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 te uv2 t1 ucos 第10页/共20页例例3.3.，xyyeuexuz ,22解：解：设设xz xuuf fx + + yeux22 )1(22 xyxeyxyzyux上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xye y .,yzxz 求求yxyxeu 22 yz yuuf fy + yeux22 xye x yexu22 )12(22 xexyxy第11页/共20页例例4.4.,)ln(sinxexxxy 解：解：求导数求导数设设.dxdydxdydxduuydxdvvyyxx上页上页 下页下页 返

8、回返回 结束结束 引入中间变量引入中间变量,sin,lnxevxxux 则则,vuy vu1 vvu xxexxxxxxxxe)cos)(sinlnln() 1(lnlnsin uuvlnxexxxsin)ln()1(ln x)cossin(xexexx 第12页/共20页例例5.5. 设设 解：解：，)4()32(yxyxz yzxz ,求求设设yxu32 yxv4 则则vuz xz yzxuuz xvvz yuuz yvvz 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 zvuyxyx解答略。解答略。从而从而第13页/共20页为简便起见为简便起见 , , 引入记号引入记号,21221vuffvf

9、fuff 例例6.6. 设设 f 具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数, ),32(yxyxfw 求求.,2yxwxw 解：解：设设xw wvuyx1f 2f 311 f2221211)32(6ffyxfyxf xf 122f y 321 fxf 2221, ff 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 yxw2yxxyvyxu ，32),(vufw 则则 22 y 第14页/共20页例例7.7. 设设 f 具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数, )(32zyxyyxfw， 求求.,2yxwzw 解：解： zw 1f 2f223221312321122)32(6ffzyfyxfzxfyxfxy

10、 2f 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 yxw23f ）（2zy xw2x y 11fx2y23y 12fx 13fz1 21f23y 22fx 23fz1第15页/共20页例例8.8.)(xyzxyxfu ，求一阶偏导数和，求一阶偏导数和xzu 2解：解： xzu2 xu上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 )(xyzxyxf)1(yzy )(xzx )(xyzxyxfxy yu zu )(xyzxyxff y )(xyzxyxf xy)1(yzy 第16页/共20页yyzxxzzddd 设函数设函数 z=f ( u,v )可微可微，若若u、v为自变量，则为自变量，则dvvzduu

11、zdz 若若 u、v为中间变量为中间变量:dvvzduuz 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ( , ),( , )ux yvx y的全微分的全微分为为则复合函数则复合函数) (fz ( , ),( , )x yx y第17页/共20页xxvvzxuuzd)( yyvvzyuuzd)( uz vz )dd(yyuxxu )dd(yyvxxv 证明：证明：上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 可见无论可见无论 u , v 是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量, ,其全微分的其全微分的表达表达形式都一样形式都一样, , 这一性质称为这一性质称为全微分形式的不变性全微分形式的不变性.yyzxxzzddd uz udvz vd第18页/共20页例例9 9.利用全微