第届全国大学生数学竞赛预赛试题与答案非数学类

1、第九届全国人厚成熟老竟赛颈赛参考琴嗦(非数学类,2017年10月28日)考试形式：闭卷 考试时间： 3一分钟 满分：Q。一分题号四五总分满分4214141515KX)得分注意：I.所有答题都须写在试卷密封线右边一写在其他纸上一律无效.2 .密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关标记.3 .如答题空白不够，可写在当页背面.并标明题号.一、(本题满分42分,共6小题,每小题7分)L已知可导函数/(a)cosjt + 2 f fsin Ed/ = ah- I满足则/(x)= Jn答案：sin a cos a解.两边同时对工求导+ /(a) siha 二 I =>/'(二)+(4)

2、tanx = sec由常数变易法，从而/(.r) = /卜 ('随5)'皿必位+ 0hl'. iiL.=co#、Vv 85工(tanx 4- C):2'dx + C=cosjf ( I -dr + (?) COS* A, /6由于/(0) = 1,故 f(x) sinx + cosx2 .极限 lim sin JTX答案：1lim sinJTZ(兀+/?) = lim sin; (VJr + n - tm)lim sin ix3 .设w具有二阶连续偏导数，旦 #一3 u =尤 + cy其中e为非零常数.贝4卬山Wrv = 答案：4/12解.= f !- Al W

3、xr =力1 + 2力2 + fll叫三乂力一人)*= c£ (力一力)=c(c/n cf2 cfz + cf22 ) = c (/I - 2f2 + f 12) 0X所以1 “卬门卬门=4/l24 .设 /(x)有二阶导数连续，R 一/(。)= /'(0) = 0，r(0) = 6,则 lim /吧幻=JirOC X*答案：3所以 口、)= ；r&)xinr 2-5油气e2f5.不定枳分一当号口J (1 sinx)24x,于是/®nh)!/"() $in"xlim ：= hm =：=J-天；c口一/x4弟)=/(0) + /(0)工+1

4、/(6)/9 sin.sr答案：1: +C1 - SII1JC解，,.f enAsinxcasxJ = 2-：J(1一部口工产sin.r=vC Vf* 1叭严=2 /dv + 2 rJ V 1J (v=2/Jd-2仁J v - 11】'2e-v 八 2(?-sil=+ C =v 11 si可片*VM心句(占)+/%)n j- nJC解.J (丈)在x = U泰勒展开式6.记曲面/ 二/+丁和工=/口正-俨围成空间区域为匕则三币:积分/二仁由& 二答案:2兀解.使用球面*标1 = III cLvdydz = I (J8 / d<p / pcos<p *p2 sin (

5、pdpJJJJo Jn Jo2= 2tt0二、（本题满分14分）设二元函数（距田在平面上有连续的二阶导数,对任意角度&定义元函数&在（r） = /（rcosarsintt）.若对任何a都Tf 驾虫=011 d焉。1 > 0.证明：/（0.0）是f（x,y）的限小值证明.方法1由于粤口）伍/）（："0对一切a成立,故（£/九小一（0.0）,即（0.。）是JUj）的驻点.（4分）才心(口) _ dd 尸=df记Hf = （m丫）=八），则 /cosa I, A,/cos a 人(力鼠a) L” )孙0。QiM > °上式对任何单位向量（co

6、sa, sin a）成立,故（0,0）是一个正定阵.而八0是了此田极小值.（14分）方法2易相 加；")=fxcos a + £ sina.令1=icosa.y = / sin 值由已知他二=。，则 山af- ：9)= A(0>0) cos a + (0,0)sin ct = 0由a的任意性得卜“。而）=° ,从而（0,0）是/（a,V）的驻点. lA（0,0） = （）d-goE(F) d ,r 0日 t =王(A cos a + 在 sin a)=(f、x cos a + fry sin Of) g, a + (/vx cos a + sin a) si

7、na =f* cos2 a + ”h sin a cos a + fyy biir a =sin a cos a | fxx cot2 a + 2 fn + /vvtan2 a 由已知d %。)= sin 2a | /vx(0,0) cor a + 2fTy (0.0) + (0.0) tan2 a > 0 UJfj令。=g得A(o.o) > -3/Q(0.0)+ 启.(。1。)从而启(0,。)一九(0.0)&(0.0)>b/o(o：o)2 + 1瓢(0,0)&(0.0) + 4几(oe)了一瓜(o°)&o)一；| Av(o,o): 2加o,

8、0M式0.0) + 启(0.0)”I fc= ;Ar(M)-/ry(0,0)- 0这就说明s2-ac > a /(o.o)为极值.下面证明/().()为极小值，3=痴心.一 .口仙皿>。dr o tjq t由保序性知:t > o时露 >。=>册(。T; r <0时弘«) < 0=>叱】所以f(DO)是极小直三'（本题满分14分）设曲线为曲线£+), + /= I, x-Vz- 1 ,113。上从点A(1,0.0)到点B(0.0,1)的一段.求曲线积分/ = f ydx+sdy+xdzT解记h为从B到八的立线段，则工=。

9、«=1 一八。£ 1Iydv + ；dv4-xdc = I rd I -r)=-人2.(4分)设和围成的平面区域2月向按右手法则.由Stokes公式得到（8分）右边三个积分都是E在各个坐标而上的投影面积,而£在一G 面1：投影面积为零.故Ij d> d; + dtdv曲线在宜方面上投影的方程为(x-l),(疔(12 分)又该投影（半个椭圆）的面积得知/tkd_v= 号.同理,JJ5上=$ e 4 2£这样就有/=:四、（本题满分15分）十（»设函数/>0 U在实轴上连续，若对任意实数f ,有/2Tli/山y 1,证明寸cj.be江有

10、/ /dr < -； + 2证明.由于Y&b（a < b）,有+ eT-"(x)cUWl因此/山/ eTT/（R）dx力一口Ja Ja(4分)然而Fh (*bpb / pb/ 出 kl/(x)dx= / 7(x)( I J-Ju JuJu Ju山dx其中/'TT山=j"d/+ f /t山=2 i-iJ ifJ 41J X这样就有(10 分)注意到fM & &十! J /dv + "V(x) dxbnb£-3一上/(，)位&1 和 /(13 分)715 分)把以上两个式子人（I）,即得结论,五、（本题满分

11、14分） 设为一个数列,p为固定的正整数.若h +厂%）=九证吐lim包=人FTTOC %!¥1 4 rt p证明.对于i = 0.127一 L= a+ijp+i-anp+i,由题设lim 47=人,从而JT>0C如碎+砂+4,】HOCfl4，）+A? 4碑=%+i）p+j 即+：由题设知=lim 做f 加,、n ®+】）" + j对正整数凡设m =叩 + i,其中i = 0.1,田一 1,从而可以把正整数依照i分为p个子列类: 考虑任何这样的子列，下面极限lim产叫出=-,故Hm包=4ig5+l）p +1 p甥T* 掷 p当P = 1时,可以由Um （%十-%）=入知,？£ a 0,训wN,当qM吐有腐+iq-九| v, 注意到“一知=m + （对一曰）+ （rts 47：） Hh（% ）用M作分项指标,得+ （如 一。| ） + （。占一公）+ * * , + （源狐 1 ） 一 F吠ai 一 儿）一4）+ （$2-口1 一入）+ * + （0#n%一A +* 口M+ 一口Ni 一八十 |口岫十