二项式定理(通项公式).

1、二项式定理二项式知识回顾1. 二项式定理(a b)nCn0anCn1 an 1b1Cnk an k bkCnn bn ,以上展开式共 n+1项，其中 Cnk 叫做二项式系数， Tk 1Cnk ankbk 叫做二项展开式的通项 .（请同学完成下列二项展开式）( a b)nCn0 anCn1a n 1b1( 1)k Cnkan kbk( 1)n Cnnbn ， Tk 1( 1)k Cnkan kbk(1 x) nCn0Cn1 xCnk xkCnn xn(2 x 1)nCn0 (2 x)nCn1 (2 x)n 1Cnk (2 x)n kCnn 1(2 x) 1an xnan 1 xn 1an k x

2、n ka1x a0 式中分别令 x=1 和 x=-1 ，则可以得到 Cn0Cn1Cnn2n ，即二项式系数和等于2n ；偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即Cn0Cn2Cn1Cn32n 1式中令 x=1 则可以得到二项展开式的各项系数和.2. 二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即CnmCnnm .（2）二项式系数 Cnk 增减性与最大值：n1kn 1当 k时，二项式系数是递增的；当时，二项式系数是递减的 .22nn1n 1当 n 是偶数时，中间一项 Cn2 取得最大值 . 当 n 是奇数时，中间两项Cn2和 Cn2相等，且同时取得最大值 .3. 二项展

3、开式的系数a0, a1, a2 , a3, , an 的性质：f( x)= a0 +a1x+a2x2 +a3x3 +anxn a0+a1+a2+a3 +an=f(1) a0- a1+a2- a3 +(-1) nan=f(-1) a +a +a+a =f (1)f ( 1)02462 a1+a3+a5+a7 = f (1)f ( 1)2经典例题1、“ (ab)n 展开式：例 1 求 (3x1) 4 的展开式；x【练习 1】求 (3 x1)4 的展开式x2. 求展开式中的项例 2. 已知在 ( 3 x1)n 的展开式中，第6 项为常数项 .23x（1）求 n； （ 2）求含 x2 的项的系数；（

4、3）求展开式中所有的有理项 .【练习 2】若 ( x1)n 展开式中前三项系数成等差数列. 求：2 4x（1）展开式中含x 的一次幂的项； （ 2）展开式中所有x 的有理项 .3. 二项展开式中的系数例 3.已知( 3xx2 )2n 的展开式的二项式系数和比(3x1)n的展开式的二项式系数和大992，求(2 x1) 2n 的展开式中：（ 1）二项式系数最大的项；（ 2）系数的绝对值最大的项x 练习3已知(x22 ) n (nN * ) 的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：x1.3(1) 求展开式中含x 2的项； (2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.4、求两个二项式乘

5、积的展开式指定幂的系数例 421)( x 2)73；（ x的展开式中，x 项的系数是5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例 5（ 04 安徽改编） (x12) 3 的展开式中，常数项是；x6、求中间项例6求（x31 x) 10 的展开式的中间项；例 7 ( x1 )10的展开式中有理项共有项；3x8、求系数最大或最小项（1）特殊的系数最大或最小问题例 8（ 00 上海）在二项式( x1)11 的展开式中，系数最小的项的系数是；（2）一般的系数最大或最小问题例 9 求 (x1) 8 展开式中系数最大的项；24 x（3）系数绝对值最大的项例 10 在（ xy)7 的展开式中，系数绝对值最大项是；9、利用“赋值法”及二项式性质3 求部分项系数，二项式系数和例 11 若 ( 2x3) 4a0 a1 x a2 x 2a3 x3a4 x 4 ， 则 (a0a 2 a 4 ) 2( a1 a 3 ) 2 的 值为；【练习 1】若 (12x) 2004a 0a1 xa 2 x 2. 2004x 2004 ，则 (a0 a1 )(a 0 a2 ).(a0a