第16章位移法及力矩分配法.

1、第16章 位移法及力矩分配法16.1 位移法的基本概念16.2 位移法的原理16.3 位移法的应用16.4 力矩分配法的基本概念 16.5 用力矩分配法计算连续梁 和无侧移刚架第16章 位移法及力矩分配法学习目标 通过本章的学习，熟悉位移法的基本概念、力矩分配法的概念；掌握位移法的原理，能进行位移法的应用； 能够用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架。16.1.1 位移法基本变形假设 位移法的计算对象是由等截面直杆组成的杆系结构，例如刚架、连续梁。在计算中认为结构仍然符合小变形假定。同时位移法假设：（）各杆端之间的轴向长度在变形后保持不变；（）刚性结点所连各杆端的截面转角是相同的。16.1位移法的

2、基本概念16.1.2 位移法基本未知量 力法的基本未知量是未知力未知力，位移法的基本未知量是结点位移结点位移。 结点是指计算结点，即结构各杆件的联结点。结点位移分为结点角位移结点角位移和结点线位移结点线位移两种。 结点分为刚结点刚结点和铰结点铰结点，特点：铰结点对各杆端截面的相对角位移无约束作用，只有刚结点处才有作为未知量的角位移。每一个独每一个独立刚结点就有一个转角位移立刚结点就有一个转角位移，则整个结构的独立刚结点数就是角位移数。每一个独立刚节点有一个转角位移(基本未知量)，是整个结构的独立刚节点总数。角位移数为6 角位移数为1 对于结点线位移，由于忽略杆件的轴向变形。这两个节点线位移中只

3、有一个是独立的，称为独立节点线位移独立节点线位移。 独立节点线位移为位移法一种基本未知量基本未知量。独立节点线位移的数目可采用铰接法确定(即将所有刚性结点改为铰结点后，添加辅助链杆使其成为几何不变体的方法) 。“限制所有节点线位移所需添加的链杆数就是独立节点线位移数”。独立节点线位移数为1独立节点线位移数为216.1.3 位移法的杆端内力（）运用位移法计算超静定结构时，需要将结结构拆成单杆构拆成单杆，单杆的杆端约束视结点而定，刚结点刚结点视为固定支座，铰结点视为固定铰支座。视为固定支座，铰结点视为固定铰支座。当讨论杆件的弯矩与剪力时可不予考虑，从而铰支座可进一步简化为垂直于杆轴线的可动铰支座。

4、结合边界支座的形式，位移法的单杆超静定梁有三种形式，如图1-所示。（）位移法规定杆端弯矩使杆端顺时针转向顺时针转向为正，逆时针转向为负为正，逆时针转向为负（对于结点就变成逆时针转向为正），如图16-5所示。这和前面梁的内力计算中规定梁弯矩下侧受拉为正是不一样的，因为对于整体结构来说，杆件不仅仅有水平杆件，还有竖向、斜向杆件。对于剪力、轴剪力、轴力的正负规定，则和前面的规定保持一致。力的正负规定，则和前面的规定保持一致。 （）位移法的杆端内力主要是剪力和弯矩剪力和弯矩，位移法下的单杆都是超静定梁，所以不仅荷载仅荷载会引起杆端内力，杆端支座位移也会引起内力会引起杆端内力，杆端支座位移也会引起内力，

5、这些杆端内力可通过查表16-1获得。 荷载引起的弯矩称为固端弯矩，由荷载引起的剪力称为固端剪力。固端剪力使杆端顺时固端剪力使杆端顺时针转向为正，逆时针转向为负针转向为正，逆时针转向为负（对于结点也是如此），表中的i称为线刚度，即i=EI/L，式中EI杆件的抗弯刚度 L杆长。16.2位移法的原理将刚架拆为两个单杆。AB杆B端为固定支座，A端为刚节点，视为固定支座。AC杆C端为固定铰支座，A端为刚节点，视为固定支座。 写出各杆的杆端弯矩表达式（注意到AC杆既有荷载，又有节点角位移，故应叠加）。0163342CAAACAABABAMFliMiMiM以上各杆端弯矩表达式中均含有未知量A，所以又称为转角

6、位移方程。转角位移方程。0AM016334FliiAA0ACABMMFliA1123把上面的表达式代入：0566566563ACACABBAMFlMFlMFlM再把iA代回各杆端弯矩式得到： 位移法的基本思路就：选取结点位移选取结点位移为基本未知量，把每段杆件视为独立的单跨超静定梁，然后根据其位移以及荷载写出各杆端弯矩的表达根据其位移以及荷载写出各杆端弯矩的表达式式，再利用静力平衡条件求解利用静力平衡条件求解出位移未知量，进而求解出各杆端弯矩求解出各杆端弯矩。该方法称为位移法位移法。力法力法则以多余未知力为基本未知量，故名为力法。在建立方程的时候，位移法是根据静力平衡条件位移法是根据静力平衡条

7、件来建立来建立，而力法则是根据位移几何条件来建立力法则是根据位移几何条件来建立，这是两个方法的相互对应之处。16.3位移法的应用利用位移法求解超静定结构的一般步骤步骤如下：（）确定基本未知量。（）将结构拆成超静定或个别静定的单杆。（）查表-，列出各杆端转角位移方程。（）根据平衡条件建立平衡方程（一般对有转角位移的刚结点取力矩平衡方程，有结点线位移时，则考虑线位移方向的静力平衡方程）。（）解出未知量，求出杆端内力。（）作出内力图。【例例16-1】用位移法画图（）所示连续梁的用位移法画图（）所示连续梁的弯矩图。已知弯矩图。已知Fql/，各杆刚度，各杆刚度EI为常数。为常数。【解解】:（）确定基本未

8、知量。此连续梁只有一个刚结点 ，转角位移个数为，记作，整个梁无线位移，因此，基本未知量只有B结点角位移。（）将连续梁拆成两个单杆梁。（3） 写出转角位移方程（两杆的线刚度相等）：081316348141632812222CBBBCBBBABBABMqliMqliFliMqliFliM0BM0BCBAMM0161342qliiBB21121qliB（4） 考虑刚节点B的力矩平衡， B （负号说明逆时针转）（5） 代回转角位移方程，求出各杆的杆端弯矩：011217813112171634112231632222222CBBBCBBABABMqlqliMqlqliMqlqliM（6）根据杆端弯矩求出

9、杆端剪力，（7）并作出弯矩图、剪力图。弯矩图弯矩图剪力图剪力图16.4力矩分配法的基本概念 力矩分配法力矩分配法是在位移法基础上发展起来的一种数值解法，它不必计算结点位移，也无须求解联立方程，可以直接通过代数运算得到杆端弯矩。 计算时，逐个结点依次进行，和力法、位移法相比。力力矩分配法的适用对象是连续梁和无结点线矩分配法的适用对象是连续梁和无结点线位移刚架位移刚架。在力矩分配法中，内力正负号的规定内力正负号的规定同位移法的规定一致。同位移法的规定一致。杆端弯矩使杆端顺时针转向为正，固端剪力使杆端顺时针转向为正。（）（） 转动刚度转动刚度 杆件固定端转动单位角位移所引起的力矩称为该杆的转动刚度转

10、动刚度（转动刚度也可定义为使杆件固定端转动单位角位移所需施加的力矩），记作S。 等截面直杆的转动刚度与远端约束及线刚度有关：远端固定： Si远端铰支： Si远端双滑动支座： Si远端自由： S（i为线刚度）刚节点B将产生一个转角位移 固端弯矩固端弯矩( )：是被约束隔离各杆件在荷载单独 作用下引起的杆端弯矩。 MF一般地FBM不等于零，称为节点不平衡力矩节点不平衡力矩。FBDFBCFBAFBMMMM现放松转动约束，即去掉刚臂，这个状态称为放松状态 节点B将产生角位移，并在各杆端（包括近端和远端）引起杆端弯矩，记作M 则固端弯矩与位移弯矩的代数和就是最终杆端弯矩最终杆端弯矩。 （2）近端位移弯矩

11、的计算及分配系数）近端位移弯矩的计算及分配系数AB杆：远端为固定支座，转动刚度SBA = 4i BC杆：远端为铰支座，转动刚度SBC = 3i BD杆：远端为双滑动支座，转动刚度SBD = i FBABAFBAFBABABAMSMiMMM4FBCBCFBFBCBCBMSMiMMMCC3FBDBDFBFBDBDBMSMiMMMDD各杆近端（B端）的杆端弯矩表达式：163CFlMFB0DFBMBABASMBCBCSMBDBDSM 式中：显然，杆的近端位移弯矩为：122qlMFBA0BDBCBAMMM由B节点的力矩平衡条件 M = 0得：0FBDBDFBCBCFBABAMSMSMSBFBBDBCBA

12、FBCFBCFBCSMSSSMMM)()(解得未知量为：解得的未知量代回杆近端位移弯矩的表达式，得到：)(FBBBABABAMSSSM)(FBBBCBCBCMSSSM)(FBBBDBDBDMSSSMBBABASSBBCBCSSBBDBDSS将未知量代回杆近端分配弯矩的表达式，得到：上式中括号前的系数称为分配系数分配系数，记作，即：一个杆件的杆端分配系数等于自身杆端转动刚度除以杆端节点所连各杆的杆端转动刚度之和。各结点分配系数之和等于11BDBCBA由此可知，一个节点所连各杆的近端杆端分配弯矩总和在数值上等于节点不平衡力矩，但符号相反，即：而各杆的近端分配弯矩是将不平衡力矩变号后按比例分配得到的

13、。)()()()(FBFBBBDFBBBCFBBBABDBCBAMMSSMSSMSSMMM（3）远端传递弯矩的计算及传递系数）远端传递弯矩的计算及传递系数近端杆端分配弯矩可通过固端弯矩按比例分配得到，而远端传递弯矩则可通过近端位移弯矩得到。 CMMABBAABBAMCM设：式中C称为称为传递系数传递系数，它只与远端约束有关。它只与远端约束有关。 远端为固定支座： C = 21远端为铰支座： 远端为双滑动支座：远端为自由：C =0C =0C = -100近端固定、远端自由-1-i近端固定、远端双滑动0近端固定、远端铰支1/2近端固定、远端固定传递系数C转动刚度S约束条件转动刚度与传递系数表i 4

14、i 316.5 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架力矩分配法的计算步骤计算步骤如下：（）将各刚结点看作是锁定的，查表-得到各杆的固端弯矩；（）计算各杆的线刚度iEI/l，转动刚度S，确定刚结点处各杆的分配系数，并用结点处总分配系数为进行验算；（）计算刚结点处的不平衡力矩犕犉，将结点不平衡力矩变号分配，得近端分配弯矩；（）根据远端约束条件确定传递系数犆，计算远端传递弯矩；（）依次对各结点循环进行分配、传递计算，当误差在允许范围内时，终止计算，然后将各杆端的固端弯矩、分配弯矩与传递弯矩进行代数相加，得出最后的杆端弯矩；（）根据最终杆端弯矩值及位移法下的弯矩正负号规定，用叠加法绘制弯矩图。【例【例1

15、6-2 】用力矩分配法求】用力矩分配法求图（图（a）所示两跨连续梁）所示两跨连续梁的弯矩图。的弯矩图。mkNFlMFAB60841208【解】：【解】： 该梁只有一个刚节点B。 1. 查表求出各杆端的固端弯矩mkNFlMFBA60841208mkNqlMFBC3084158220FCBM2. 计算各杆的线刚度、转动刚度与分配系数4EIiABEIiSABBA 4233EIiSBCBc4 . 023EIEIEISSSBCBABABA242EIEIiBC6 . 02323EIEIEISSSBCBABCBC 转动刚度：转动刚度：分配系数：线刚度：线刚度：16 . 04 . 0BCBA - -6 12

16、12- 18 0- 66 48- 48 0 - 60 60- 30 0MAB MBAMBC MCB固端弯矩分配传递计算 递弯矩杆端弯矩分配系数0.40.6（C=1/2）（C= 0）3. 通过列表方式计算分配弯矩与传递弯矩及杆端弯矩。4. 叠加计算，得出最后的杆端弯矩，作弯矩图。【例【例16-3】 用力矩分配法求图无结点线位移刚架的 弯矩图。0414313BDBCBASSS0571. 0434429. 0433BDBCBA【解】：【解】： 1. 确定刚节点B处各杆的分配系数这里BD杆为近端固定，远端自由，属于静定结构，转动刚度为0。mkNqlMFBA408420822mkNFlMFBD10025

17、00FBCM2. 计算固端弯矩：3. 力矩分配计算见下表：分配系数0.4290.5710 MAB MBAMBCMBD MDB固端弯矩分配传递计算0 40 0 25.740 -100 034.26 0 0杆端弯矩0 65.7434.26 -100 0MCB017.1317.134、得出最后的杆端弯矩，作弯矩图。【例【例16-4】 用力矩分配法求图示连续梁的弯矩图， EI为常数。mkNqlMFAB80128151222mkNqlMFBA80128151222mkNFlMFBC75861008mkNFlMFCB758MkNqlMFCD12088158220FDCM【解】：【解】： 1. 计算各杆端的

18、固端弯矩：2. 确定各刚节点处各杆的分配系数，(可令EI = 1)B节点处：326144218144BCBCABBAiSiS571.0322132429.0322121BCBA838133326144CDCDBCCBiSiS36.083328364.0833232CDCBC节点处：分配系数0.4290.5710.640.36 固端弯矩-80 80 -75 75-120 0分配传递计算-4.16 -8.32-0.38 -0.76-0.04 -0.07 -0.0114.4 28.8-11.08 -5.541.78 3.55-1.02 -0.510.17 0.33-0.10 -0.050.02 0.03-0.0116.2 01.99 00.18 00.02 0杆端弯矩-84,58 70.84-70.84 101.61-101.61 04、得出最后的杆端弯矩，作弯矩图。3. 力矩