七下实数辅导讲义(一)终极版

1、第六章实数辅导讲义【知识要点】1、平方根（1） 定义：一般地，如果一个数的平方等于 a,那么这个数叫做 a 的平方根，也叫做 a 的二次方根。即：如果 x2=a，则 x 叫做 a 的平方根，记作“ 、.a”（ a 称为被开方数）。（2）平方根的性质：1一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；20 只有一个平方根，它就是 0 本身；3负数没有平方根（3） 开平方：求一个数的平方根的运算，叫做开平方 （4） 算术平方根：正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作“ ,a ”。（5） 、a本身为非负数，即 柘 0；有意义的条件是 a 0。(6) 公式:(、a)2=a (a0);2、立方

2、根（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a,这个数就叫做 a 的立方根（也叫做三次方根）。即：如果 x3=a,把 x 叫做 a 的立方根。数 a 的立方根用符号需”表示，读作 三次根号 a”。（2）立方根的性质：正数有一个正的立方根；0 的立方根是 0;负数有一个负的立方根。（3）开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。求一个数的立方根可以通过立方运算来求3、平方根与立方根与区别：一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致;4、.识记常用平方表：（自行完成） 5、实数的分类（1）按实数的定义分类:自然数（0, 1, 2, 3 ）负整数（1,2,3 ）（2）按实数的正负分类:只有正数和 0

3、 有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2 个，并且互为相反数，0 的平方根只有个且为 0.整数有理数实数正分数（丄（丄, ,分数（小数）2负分数（-,2（有限小数、无限循环小数）无理数正有理数负有理数（无限不循环小数）9易混淆的三个数（自行分析它们）：（1）-a2（2）Ca）2（3）3a3正无理数实数零（既不是正数也不是负数）负无理数（3）实数与数轴的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数， 即数轴上的点与实数是-对应关系.（4）、绝对值1一个正数的绝对值是它本身，2一个负数的绝对值是它的相反数,3零的绝对值是零。一个数的绝对值表示这个数的点离开原点的

4、距离。注意:Va2a题型规律总结:1、平方根是其本身的数是o；算术平方根是其本身的数是 2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这 个立方根的符号与原数相同。3、 、.a本身为非负数，有非负性，即卩4a 0；Ta有意义的条件是 a 0。4、公式：（a）2=a （a 0）；3a=3a（a 取任何数）。5、区分（庙）2=a （a 0）,与 先a2=a6、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0,则每一个非负数都为 0（此性质应用很广，务必掌握）。7般来说，被开放数扩大（或缩小）n倍，算术平方根扩大（或缩小） n倍，例如25 5厂2500 5

5、08 识记常用平方表：（自行完成）12=62=112=162=212=22=72=122=172=222=32=82=132=182=232=42=92=142=192=242=52=102=152=202=252=正实数正有理数正整数正分数负实数负有理数负整数0 和 1 ；立方根是其本身的数是0 和土 1。10、识记下列各式的值，结果保留4 个有效数字:【典型例题】题型一、平方根定义的运用例 1、一个正数的平方根为3 a和2a 3，求这个数?变式 1、已知2a 1和a 2是 m 的平方根，求 m 的值?变式 2、已知某个数的平方根分别为a 3和2a 15，求 a 和这个数？例 2、( 1)下

6、列各数是否有平方根，请说明理由(-3)202-0.012(2)下列说法对不对？为什么？4 有一个平方根只有正数有平方根 任何数都有平方根若 a 0, a 有两个平方根，它们互为相反数例 3、求下列各数的平方根：(1)9(2)丄 3) 0.36(4)4变式 3、.下列语句中，正确的是()A 一个实数的平方根有两个，它们互为相反数B 负数没有立方根C. 一个实数的立方根不是正数就是负数D 立方根是这个数本身的数共有三个变式 4.下列说法正确的是()A -2 是(-2) 2 的算术平方根 B . 3 是-9 的算术平方根C. 16 的平方根是土 4D 27 的立方根是土 3题型三、化简求值例 1、已

7、知0 x 3，化简：.(2x 1)2|x 5例 2 已知a,b,c实数在数轴上的对应点如图所示，化简变式 2、实数a在数轴上的位置如图所示，化简：a 1, (a 2)2=169.a2a b c a (b c)29易混淆的三个数（自行分析它们）：（1）-a2（2）Ca）2（3）3a31-2-101-k2变式 3 如图所示，数轴上 A、B 两点分别表示实数1A.1Bi 、1-2-1 11, . 5，点 B 关于点 A的对称点为 C,则点 C 所表示的实数为() A. ,5 - 2 B. 2 、5C.5- 3D.3- . 5注意：(1)任何非负数的和仍是非负数；(2)若几个非负数的和是 0,那么这几

8、个非负数均为0.例 1、已知实数 x, y 满足.x 2+(y+1)2=0,则 x-y 等于【变式 1】已知a、b 是有理数，且满足(a 2)2+b 3=0,则ab的值为【变式 2】已知戸+触幼讣+ 1 卜。那么 a+b-c 的值为_【变式 3】已知(x-6)2+ +|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。求被开方数中的未知数的值例 2 若 y=x 5+5 x+2017,则 x+y=变式 1、若x_1I(x y)2，则 x y 的值为()例 3、当 a 0 时，得到 a b。当 a-b 0 时，得到 a b;当一 =1 时，a=b。来比较 a 与 b 的大小。b 1331例 2、比较13

9、3与丄的大小。8 84、方法三：平方法平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据 较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。例 3、比较 2 .7 与 33的大小5、方法四：估算法估算法的基本是思路是设 a，b 为任意两个正实数，先估算出 a，b 两数或两数中某部分的取值范围，再进行比 较。诸13 31例 4、比较与丄的大小。a 与 b 得商。当av1 时，avb ;当- 1 时，abb_ 2 2a 0，b0 时，可由ab得到 a b 来比8 8综合演练一、 填空题I、 （-0.7）2的平方根是2、若a=25,b=3,则 a+b=3、 已知一个正数的两个平方根分别是2a- 2 和 a

10、-4,贝 U a 的值是4、34=_5、 若 m、n 互为相反数，则m 5 n=_6、若Va2a，贝 V a_07、 若3x 7有意义，则 x 的取值范围是8 16 的平方根是土 4”用数学式子表示为9、 大于-Q2,小于屮 0 的整数有 _个。10、 一个正数 x 的两个平方根分别是 a+2 和 a-4，贝 U a=_ , x=_II、 当x-时，x 3有意义。12、-当x时，2x 3有意义。113、- 当x时，J x 有意义。 X 114、- 当x时，式子x 2有意义。15、 若.4a 1有意义，则a能取的最小整数为二、 选择题1. 9 的算术平方根是（）A . -3 B . 3 C .土

11、 3 D . 812下列计算正确的是（）A. .4=2B. &? 81=9C.- 36 6D.9293.下列说法中正确的是（）A. 9 的平方根是 3 B .16的算术平方根是土 2C.16的算术平方根是 4 D. 一 16 的平方根是土 24 . 64 的平方根是（）A. 8 B . 4 C . 2 D . 25. 4 的平方的倒数的算术平方根是（)A. 4 B .1C8.-1D .丄446.下列结论正确的是（)2A (6)26B(3)29C(佝216D16 1625257以下语句及写成式子正确的是（）A 7是 49 的算术平方根，即.497B、7 是（7的平方根，即（7）27C 7 是 49 的平方根，即49 7D、7 是 49 的平方根，即土. 4978 下列语句中正确的是（）A、9的平方根是3B9的平方根是3C9的算术平方根是3D9的算术平方根是39.下列说法：（1）3是 9 的平方根；（2）9 的平方根是3； （3）3 是 9 的平方根；（4）9 的平方根是 3,其中正确的有（ ）A . 3 个 B . 2 个 C. 1 个 D . 4 个10.下列语句中正确的是（ ）A、任意算术平方根是正数B、只有正数才有算术平方根3 的平方是 9 , 9 的平方根是 3 D、1是 1 的平方根三、利用平