二次函数典型例题解析与习题训练.

1、二次函数一、知识点梳理1.定义：一般地， 如果 yax2bxc(a, b, c 是常数， a 0) ，那么 y 叫做 x 的二次函数 .2.二次函数 y ax2bxc 的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线 .二次函数yax2(,是常数，a0)bx c a b ca>0a<0yy0x0x（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是 x=b ，顶点坐标是（b ， （2）对称轴是 x=b ，顶点坐标是（b，2a2a2a2a4ac b24ac b24a）；4a）；（3）在对称轴的左侧，即当b时， y（ 3）在对称轴的左侧，即当b时，

2、yx<x<2a2a随 x 的增大而减小；在对称轴的右侧，随 x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当 x>b时， y 随 x 的增大而增大即当 x>b时， y 随 x 的增大而减小2a2a（4）抛物线有最低点，当 x=b 时， y 有（4）抛物线有最高点，当x=b 时， y有2a2a4acb24acb2最小值，y最小值最大值，y最大值4a4a3. 用待定系数法求二次函数的解析式（ 1）一般式： y ax2 bx c . 已知图像上三点或三对 x 、 y 的值，通常选择一般式 .（ 2）顶点式： ya xh2k . 已知图像的顶点或对称轴以及最值，通常选择顶点式.b24ac

3、b 2求抛物线的顶点、对称轴的方法：yax2bxca x，2a4a顶点是（b4ac b2）xb，.2a4a，对称轴是直线2a（ 3）交点式：已知图像与 x轴的交点坐标x1、，通常选用交点式：y a x x1 x x2x2抛 物 线 与 x 轴 两 交 点 之 间 的 距 离 ： 若 抛 物 线 yax2bx c 与 x 轴 两 交 点 为A x ， B x ， ，由于x1、 x2是方程 ax2bxc0 的两个根，故1020x1x2b , x1 x2caab2b24acAB x1x2x12x1x224x1 x24cx2aaaa4. 抛物线 yax 2bxc 中， a,b, c 的作用（1） a

4、决定开口方向及开口大小：a >0 ，开口向上；a <0 ，开口向下；越大，开口越小（ 2） b 和 a 决定抛物线对称轴（左同右异 ） b0 时，对称轴为y 轴； b0 （即a 、 b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；a b0 （即a 、 b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.a（ 3） c 决定抛物线与 y 轴交点的位置 . c 0 ，抛物线经过原点； c 0 , 与 y 轴交于正半轴； c 0 , 与 y 轴交于负半轴 .（ 4）b24ac 决定抛物线与x 轴的交点个数 0，有 2个交点0, 有1个交点； 0 ，无交点二、例题解析例 1 已知：二次函数为 y=x2 x+m（ 1）写出

5、它的图像的开口方向，对称轴及顶点坐标；（2） m 为何值时，顶点在x 轴上方（3）若抛物线与y 轴交于 A，过 A 作 AB x 轴交抛物线于另一点B，当SAOB =4 时，求此二次函数的解析式【分析】（ 1）用配方法可以达到目的；（2）顶点在 x 轴的上方，即顶点的纵坐标为正；（3） AB x 轴， A ， B 两点的纵坐标是相等的，从而可求出m 的值【解答】（ 1）由已知 y=x 2 x+m 中，二次项系数a=1>0，开口向上，又 y=x 2 x+m=x 2x+ （ 1 ） 21+m= （ x1 ）2+4m 12424对称轴是直线 x=1 ，顶点坐标为（1 ， 4m1 ）224（ 2

6、）顶点在 x 轴上方，顶点的纵坐标大于4m10，即>041 m>4 m> 1 时，顶点在x 轴上方4（ 3）令 x=0 ，则 y=m 即抛物线y=x 2 x+m 与 y 轴交点的坐标是A （0， m） AB x 轴 B 点的纵坐标为m当 x2 x+m=m 时，解得 x1=0， x2=1 A （ 0， m）， B（ 1， m）在 RtBAO 中， AB=1 ，OA= m1 S AOB = OA ·AB=4 2 1 m· 1=4 ， m=±82故所求二次函数的解析式为y=x 2 x+8 或 y=x 2 x 8【点评】正确理解并掌握二次函数中常数a，b

7、，c 的符号与函数性质及位置的关系是解答本题的关键之处2m<n，抛物线2例 2 已知： m， n 是方程 x 6x+5=0 的两个实数根，且y= x +bx+c 的图像经过点 A （ m， 0）， B （ 0， n），如图所示（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（ 1）中的抛物线与 x 轴的另一交点为 C，抛物线的顶点为D，试求出点 C， D 的坐标和 BCD 的面积；（ 3）P 是线段 OC 上的一点，过点 P 作 PH x 轴，与抛物线交于 H 点，若直线 BC 把 PCH 分成面积之比为 2： 3 的两部分，请求出 P 点的坐标【分析】（ 1）解方程求出 m， n 的值用待定系数法

8、求出b， c 的值（ 2）过 D 作 x 轴的垂线交x 轴于点 M ，可求出 DMC ，梯形 BDBO ， BOC 的面积，用割补法可求出BCD 的面积（ 3） PH 与 BC 的交点设为 E 点，则点 E 有两种可能： EH=32EP， EH=EP23【解答】（ 1）解方程x2 6x+5=0 ，得 x1=5， x2=1由 m<n，有 m=1， n=5 所以点 A ，B 的坐标分别为A （ 1，0）， B（ 0，5）将A （ 1， 0）， B （0， 5）的坐标分别代入 y= x2+bx+c ，1bc0,b4,得解这个方程组，得c5c5所以抛物线的解析式为y= x2 4x+5 （ 2）由

9、 y= x2 4x+5 ，令 y=0，得 x2 4x+5=0 解这个方程，得 x1 = 5， x2=1 所以点 C 的坐标为（ 5， 0），由顶点坐标公式计算，得点D （ 2， 9）过 D 作 x 轴的垂线交 x 轴于 M ，如图所示则 SDMC = 1 ×9×（ 52） = 27 22S 梯形 MDBO =1× 2×（ 9+5） =14 ，21 ×5×5= 25SBDC=22所以 S BCD =S 梯形 MDBO +S DMC S BOC =14+ 27 25 =15 22（ 3）设 P 点的坐标为（ a， 0）因为线段 BC 过

10、B， C 两点，所以BC 所在的直线方程为y=x+5 2那么， PH 与直线 BC 的交点坐标为E（ a，a+5）， PH 与抛物线y= x +4x+5 ?的交点坐标为 H （a， a2 4a+5）3由题意，得EH=EP，即2（ a2 4a+5）（ a+5） = 3 （ a+5）2解这个方程，得a= 3 或 a=5（舍去）22 EH= EP，得323（ a+5）（ a 4a+5）（ a+5） =2解这个方程，得a=2 或 a=5（舍去）3P 点的坐标为（3 ， 0）或（ 2 ， 0）23例 3 已知关于2m2 12m22x 的二次函数 y=x mx+2与 y=xmx ，这两个二次函数的2图像中的一条与x 轴交于 A ， B 两个不同的点（1）试判断哪个二次函数的图像经过A ，B 两点；（2）若 A 点坐标为（ 1， 0），试求 B 点坐标；（3）在（ 2）的条件下，对于