二次函数中平行四边形通用解决方法.

1、探究（ 1）在图 1 中，已知线段 AB ，CD ，其中点分别为 E， F。若 A （-1， 0），B （ 3， 0），则 E 点坐标为 _ ；若 C（-2， 2）， D（ -2， -1），则 F 点坐标为 _ ；（2）在图 2 中，已知线段AB 的端点坐标为A（ a，b），B（ c，d），求出图中AB中点D 的坐标（用含a， b， c，d 的代数式表示） ，并给出求解过程；归纳无论线段 AB 处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为A（ a，b），B（ c，d），AB 中点为（不必证明）运用D（ x，y） 时，x=_ ，y=_ ；在图2 中，一次函数y=x-2与反比例函数的图象交点为A，B

2、。求出交点A ，B 的坐标；若以 A ，O，B，P 为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点P 的坐标。以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂， 知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解为此，笔者另辟蹊径，借助探究平行四边形顶点坐标公式来解决这一类题1 两个结论，解题的切入点数学课标， 现行初中数学教材中没有线段的中点坐标公式，也没有平行四边形的顶点坐标公式，我们可帮助学生来探

3、究，这可作为解题的切入点。1.1线段中点坐标公式平面直角坐标系中，点A 坐标为 ( x1, y1) ，点 B 坐标为 ( x2, y2) ，则线段 AB 的中点坐标为( x1x2 , y1 y2 ).22证明 ： 如图 1，设 AB 中点 P 的坐标为 ( x , y ). 由 x，得 xx1x2 ，同理P PP -x1=x 2-xPP=2yP=y1y2 ，所以线段 AB 的中点坐标为 ( x1 x2 , y1y2 ).2221.2 平行四边形顶点坐标公式图 1ABCD 的顶点坐标分别为A( xA , yA) 、B( xB, yB) 、C( xC, yC) 、D ( xD, yD ) ，则：x

4、A+xC=x B+xD；yA+yC=y B+yD.证明：如图 2，连接 AC、 BD，相交于点E点 E 为 AC 的中点， E 点坐标为 ( x AxC ,y AyC).22图 2又点 E 为 BD 的中点，xBxD,yByD).E 点坐标为 (22 xA+xC=x B+xD ；yA +yC=y B+yD.即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等2 一个基本事实，解题的预备知识图 3如图 3，已知不在同一直线上的三点A、B、C，在平面内另找一个点D，使以 A、B、C、D 为顶点的四边形是平行四边形答案有三种：以AB 为对角线的 ACBD 1，以 AC 为对角线的 ABCD 2，以

5、BC 为对角线的 ABD 3C3 两类存在性问题解题策略例析与反思3.1三个定点、一个动点，探究平行四边形的存在性问题例 1已知抛物线y=x 2-2x+a ( a 0）与 y 轴相交于点 A，顶点为 M. 直线 y=1 x-a 分别2与 x 轴、 y 轴相交于 B、 C 两点，并且与直线AM 相交于点 N.( 1) 填空：试用含 a 的代数式分别表示点M 与 N 的坐标，则 M( ),N()；( 2) 如图 4，将 NAC 沿 y 轴翻折，若点N 的对应点 N恰好落在抛物线上，AN 与 x轴交于点 D ，连接 CD，求 a 的值和四边形ADCN 的面积；( 3) 在抛物线 y=x 2- 2x+

6、a ( a0）上是否存在一点P，使得以 P、 A、 C、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由 .解： ( 1) M ( 1, a-1) ， N( 4 a , -1 a ) ； ( 2) a=-9； S 四边形 ADCN = 189 ；33416( 3) 由已知条件易得A( 0, a) 、 C( 0, -a) 、N(4 a , - 1 a ). 设 P( m, m2-2m+a).33当以 AC 为对角线时，由平行四边形顶点坐标公式（解题时熟练推导出），得：004mm5a23, .1m215aaa2m aa38 P1( 5,-5)； 2 8当以 AN 为对

7、角线时，得:040mm5a2 ( 不合题意，舍去 ).3, a1 aa m22m aa15图 438当以 CN 为对角线时，得 :040mm1a2 .3, a1aam22m aa338P(-1,7).228在抛物线上存在点P1( 5 ,-5)和 P2(- 1,7) ，使得以 P、 A、 C、 N 为顶点的四边形2828是平行四边形 .反思：已知三个定点的坐标， 可设出抛物线上第四个顶点的坐标， 运用平行四边形顶点坐标公式列方程 （组）求解 . 这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚，往往要以这三条线段分别为对角线分类，分三种情况讨论.3.2 两个定点、两个动点，探究平行四边形存

8、在性问题例 2 如图 5，在平面直角坐标系中，抛物线A( -1, 0), B( 3, 0),C( 0, -1) 三点 .（ 1）求该抛物线的表达式；（ 2）点 Q 在 y 轴上，点 P 在抛物线上，要使以点Q、P、A、 B 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P的坐标.解 ：（ 1）易求抛物线的表达式为y= 1x22x 1 ；33( 2) 由题意知点 Q 在 y 轴上，设点 Q 坐标为 ( 0, t) ；点 P 在抛物线上，设点 P 坐标为 ( m, 1m22m 1 ).33图 5尽管点 Q 在 y 轴上，也是个动点，但可理解成一个定点，这样就转化为三定一动了当以 AQ 为对角线时，由

9、四个顶点的横坐标公式得：-1+0= 3+m ， m=- 4， P1( - 4, 7) ；当以 BQ 为对角线时，得：- 1+m= 3+ 0， m=4， P2( 4, 5 ) ；3当以 AB 为对角线时，得： -1+3=m+0， m=2， P3( 2, -1).综上，满足条件的点P 为 P1( -4,7) 、P2( 4,5 ) 、P3( 2, -1).3反思： 这种题型往往特殊，一个动点在抛物线上，另一个动点在x 轴（ y 轴）或对称轴或某一定直线上设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x 轴上，纵坐标为 0，则用平行四边形顶点纵坐标公式；若在y 轴上，横坐标为0，则用平行四边形顶点横坐标公式该

10、动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式本例中点 Q的纵坐标 t没有用上，可以不设另外，把在定直线上的动点看成一个定点，这样就转化为三定一动了，分别以三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论.例 3 如图 6，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A( -4, 0),B( 0, -4), C( 2, 0) 三点（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m， AMB 的面积为 S求S 关于 m 的函数关系式，并求出S 的最大值；（ 3）若点 P 是抛物线上的动点，点Q 是直线 y=- x 上的动点，判断有几个位置能使以点 P、 Q、 B、 O

11、 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标解：（ 1）易求抛物线的解析式为y=12x +x-4；2（ 2） s=-m 2-4m( -4<m<0) ；s 最大 =4（过程略）；（ 3）尽管是直接写出点Q 的坐标，这里也写出过程由题意知O( 0, 0) 、B( 0, -4).由于点 Q 是直线 y=-x上的动点，设Q( s, -s) ，把 Q 看做定点；设 P( m, 1 m2+m-4).2当以 OQ 为对角线时，0s0m0s41m 2m42 s=- 2 2 5 . Q1(-2+2 5, 2-2 5)，Q2(-2-2 5, 2+2 5)；图 6当以 BQ 为对角线时，0m

12、 0s01 m2m 44 s2 s1=- 4， s2= 0( 舍 ). Q3( -4, 4) ；当以 OB 为对角线时，00sm0 4s1 m2m 42 s1= 4， s2= 0( 舍 ). Q4( 4, -4).综上，满足条件的点Q 为 Q1(-2+2 5,2-2 5)、Q2(-2-2 5,2+2 5)、Q3(-4,4)、Q4( 4, -4).反思：该题中的点Q是直线 y=- x 上的动点， 设动点 Q的坐标为 ( s, -s ) ，把 Q看做定点，就可根据平行四边形顶点坐标公式列方程组了.4 问题总结这种题型， 关键是合理有序分类：无论是三定一动，还是两定两动，统统把抛物线上的动点作为第四

13、个动点， 其余三个作为定点， 分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程（组）这种解法，不必画出平行四边形草图，只要合理分类，有序组合，从对角线入手不会漏解，条理清楚，而且适用范围广 其本质是用代数的方法解决几何问题，体现的是分类讨论思想、数形结合的思想.如图，在平面直角坐标系中，已知RtAOB 的两条直角边OA 、 OB 分别在 y 轴和 x 轴上，并且 OA 、OB 的长分别是方程x2 7x+12=0 的两根 (OA<0B) ，动点 P 从点 A 开始在线段AO上以每秒 l 个单位长度的速度向点 O 运动；同时，动点 Q 从点

14、 B 开始在线段 BA 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 运动，设点 P、 Q 运动的时间为 t 秒(1) 求 A 、 B 两点的坐标。(2) 求当 t 为何值时， APQ 与 AOB 相似，并直接写出此时点Q 的坐标(3) 当 t=2 时，在坐标平面内，是否存在点 M，使以 A 、 P、Q、 M 为顶点的四边形是平行四边形 ?若存在，请直接写出 M 点的坐标；若不存在，请说明理由如图，抛物线经过A （ 1， 0）， B（ 5，0）， C（0，）三点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使 PA+PC 的值最小，求点P 的坐标；（3）点 M 为 x 轴上一动点，在抛物

15、线上是否存在一点N，使以 A， C， M ， N四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由四点构成的如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x +4与y 轴交于A 点，与x 轴交于B 点，抛物线 C1： y=x2 +bx+c 过A、B 两点，与x 轴另一交点为C（1）求抛物线解析式及C 点坐标（2）向右平移抛物线C1，使平移后的抛物线C2 恰好经过 ABC 的外心，抛物线C1、C2相交于点 D ，求四边形AOCD 的面积（3）已知抛物线C2 的顶点为 M ，设 P 为抛物线C1 对称轴上一点，Q 为抛物线C1 上一点，是否存在以点M 、 Q、 P、B 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出P 点坐标；不存在，请说明理由如图，在平面直角坐标系中，直线 y= 3x 3 与 x 轴交于点 A