材料力学刘鸿文主编

1、第1章绪论班书昊第1章绪论§ 1.1材料力学的任务与研究对象材料对人类文明产生过重大影响，历史划分为旧石器，新石器，青铜，铁器，和 现在有人称为的合成材料时代，21世纪将发展成智能材料时代。材料的力学行为是工程材料研究的重要方面。直至5060年代，力学是科学技术发展的主导学科，汽车、火车、飞机、火箭、卫星，力学家功居首位，伽利略、牛顿、卡 门、铁摩辛柯、钱学森、钱伟长、钱令希、周培源这些众人熟知的科学家都为力学家。-信息时代，材料是科学技术发展的物质基础，材料力学是一门不可缺少的技术基础 课。构件：组成机械与结构的零构件。理力：刚体假设，研究构件外力与约束反力。材力：变形体力学，研究

2、内力与变形1. 材料力学任务（1）构件设计基本要求"强度（抵抗破坏能力）刚度（抵抗变形能力）,安全 稳定性（保持原有平衡形式的 能力） 合理设计R （矛盾）'、经济（2）任务：研究构件在外力作用下受力、变形和破坏的规律, 为合理设计提供有关强度、刚度和稳定性分析的基本理论和方法。2. 研究对象（1）构件按几何特征分类（2）构件按受力分类匚- - ： r拉压：杆扭转：轴弯曲：梁材料力学主要研究杆。杆常常是决定结构强度关键部件。（房屋承载：梁、柱；飞机:主梁，框架+蒙皮；人体：骨骼；栋梁，中流砥柱 -）,“一根细杆打天下，学好压弯扭就 不怕”（顺口溜，工作体会）。材料力学工程师知

3、识结构的梁和柱。§ 1.2变形固体的基本假设从几何尺度，科学研究可分为宇观、宏观、微观；宇观和微观自然属前沿研究领域, 从事的人不多，宇观力学研究大体和宇宙运动，发生和发展行为，它告诉我们宇宙、太阳 系、地球的现在的状态、从哪来到哪去；微观力学如量子力学则研究构成物质的粒子力学 行为。但我们肉眼所观测到的宏观尺度是科技主战场。1. 连续性假设：无空隙，力学量是坐标连续函数2. 均匀性假设：（晶粒在统计意义上是平均的）3. 各向同性假设：沿各方向力学性能相同。如图，（木材）A、B两点及其它点性能相同，材料均匀；A点在x和 y方向性能不同，各向异性。§ 1.3 外力及其分类1.

4、外力（其它物体或构件的作用力，包括载荷与约束反力）外力在理力中已经研究，理论力学（刚体静力学）一般只研究外力，它采用刚体模 型，通过求解平衡方程，求解约束反力，解决了外力问题。§ 1.4 内力、截面法和应力概念（承受同样大小的力，细杆比粗杆易断，可见控制强度的是应力，即内力分布的集 度或单位截面上的内力）1. 内力与截面法刚体静力学（理力），通过力系（外力）的简化与平衡，求得约 束反力变形体力学，则要求计算内力，它是解决构件的强度、刚度与稳定 性问题的基础。内力：物体两部分之间的相互作用力。截面法：由假想截面将杆件截开，即接触内部约束，相应内力得以显露。这样内 力转化为外力。内力通常

5、是分布力，内力的合力亦简称内力，即内力常指内力的合力。内力向截面形心简化（得一主矢量和主力矩），有6个内力分量: 轴力（沿轴线的内力分量）N ,剪力（位于横截面内力分量）Qy , Qz,扭矩（矢量沿轴线的内力矩分量） T,弯矩（矢量位于横截面 的内力矩分量）M y , Mz。力偶矢量方向按右手螺旋法则确定。例1：均质杆，考虑白重，单位体积重 V,横截面积A,求内力解：单位长度重为q = A沿坐标为处截开，取下段为研究对象，则力的平衡方称为' Fx = 0 N x - qx 1 A I = 01J1 N(x)= qx A = A x I3< 3 )N 0 = -1A I, N I

6、= 2 A I332.正应力与剪应力（在截面任一点周围去微小面积 AA,设其上内力 AF，则应力定义为（比较压强概 念）_ .F应力p = Iim ，类似于压强作用于表面。总应力 p的法向 a- A分量。（。上垂直横截面）称为正应力；切向分量w称为剪应力。单位：1Pa = 1N/m2 , 1MPa = 106 N/m2 = 1N/mm2§ 1.5 变形与应变为了了解构件各点的应变状态，需要研究一点的应变线变形（棱边长度的改变）角变形（相邻直角边夹角的改变）正应变：；=limLSr0 L s剪应变：Y （弧度），小变形：丫= tgV-6 -第3章扭转班书昊第2章拉压、压缩与剪切

7、7; 2.1轴向拉压的概念与实例在不同形式的外力作用下，杆件的变形与应力也相应不同。(1) 外力的合力沿轴线作用(偏离轴线、怎样处理?)(2) 内力：在轴向载荷作用下，杆件横截面上的唯一内力分量为轴力N ,它们在该截面的两部分的大小相等、方向相反。规定拉力为正，压力为负。(3) 变形：轴向伸缩§ 2.2横截面上的内力和应力1.轴力通常规定拉力为正，压力为负(画轴力图的原则)。Fn =F2.轴力计算采用截面法求轴力“三步法”：(1) 在需要求轴力的横截面处，假想地切开杆，任选切开后的一段杆为研究对象；(2) 采用设正法，假定轴力为拉力，画受力图；(3) 应用平衡方程求出该段的轴力。&q

8、uot;二03.轴力图表示轴力沿轴线方向变换情况的图线称为轴力图。平行于轴线的坐标表示横截面的位置，垂直于轴线的坐标表示轴力，外正内负(或上正下负)。做轴力图的三步：(1) 计算约束反力；(2) 分段计算轴力；(3) 参照轴力图的画法，画轴力图。4.拉压杆横截面上的应力平面设应变均匀应力均匀P/NP。=一或。=(拉为正，压为负)AA§ 2.3斜截面上的应力设斜截面外法线与轴线正方向的夹角为-12 -2C- . = p .cos ：=二0 cos :.=p .sin ： = d cos ： sin :0：；max = I、，： = °1Iu°"ax =二&

9、#176;0。=45§ 2.4L.2材料拉压时的力学性能1. 拉伸时的应力一应变图标距l与实验段截面直径 d的关系为：(6)；l =10d 或 l =5dl =11.3 '. A或l =5.65、A构件的强度、刚度和稳定性，不仅与 构件的形状、尺寸和所受外力有关，而且 与材料的力学性能有关。拉伸试验是最基 本、最常用的试验。T力传感器TT变形传感器T绘图系统放大-拉伸图2. 低碳钢拉伸时的力学性能（1） 材料分类：脆性材料（玻璃、陶瓷和铸铁）、塑性材料（低碳钢：典型塑性材料）（2） 四个阶段：线性阶段（应力应变成正比，符合胡克定律，正比阶段的结束点称为比例极限）、屈服阶段（滑

10、移线）（可听见响声，屈服极限 bs ）、强化阶段（b强度极限）、局部变形（颈缩）阶段（名义应力 4，实际应力 ）（3）三（四个）特征点：比例极限、（接近弹性极限）、屈服极限、强度极限（超过强度极限、名义应力下降、实际应力仍上升）。弹性极限§e与比例极限接近，通常认为二者一样。 ep（4）材料在卸载与再加载时的力学行为见前节图，冷作硬化（钢筋、链条），加工硬化，提高比例极限。（5）材料的塑性材料能经受较大塑性变形而不破坏的能力，称为材料的延性或塑性。塑性指标：延伸率5 =，W00%,虬为残余变形。5 >5%塑性材料，延性材料；5 < 5%脆性材料断面收缩率=七勺100%A平

11、60% 6 = 25% 30%。低碳钢Q235的断面收缩率问题：低碳钢的应力应变曲线如图所示。试在图中标出的D点的弹性应变 气、塑性e应变以。及延伸率5 。 p3. 其它材料的力学性能(1) 一般金属材料的拉伸力学性能(见P19页)(有些材料无明显屈服阶段，工程中通常以卸载后产生数值0.2%的残余应力作为屈服强度或名义屈服应力)，名义屈服应力：。0 2。(2) 脆性材料拉伸的力学性能不存在屈服与局部变形阶段铸铁，没有明显的直线段。(3) 复合材料与高分子材料的拉伸力学性能复合材料，纤维增强，各向异性高分子材料，从脆性到延伸率为500600%勺塑性。随温度变化，从脆性塑性r粘弹性第3章扭转班书昊

12、§ 2.5材料压缩时的力学性能脆性材料（铸铁）：压缩强度远大于拉伸八一一+一强度（34倍），压缩b >> b，只 有强度极限，无屈服极限。断口方位角约55 -60 *通常认为 剪断。塑性材料（低碳钢）：能拉断，但压 不断，愈压愈扁，压成饼。§ 2.6 温度和时间对材料力学性能的影响（略）蠕变的概念§ 2.7失效、安全因子和强度计算1. 失效与许用应力。=（工作应力）A（工作应力随外载变化。要判断构件是否失效，还要知道材料抵抗破 坏的能力。）脆性材料在其强度极限bb破坏，塑性材料在其屈服极限os时失 效。二者统称为极限应力理想情形：bmac <极限

13、应力气=I ¥口（极限应力是材料的强度指、塑标）工作应力的计算不可能绝对精确，材料也不可能有完全理-11 -第3章扭转班书昊想。因此工作应力的最大允许值低于许用应力'<】=二n般工程中)n1,安全因数，儿一 1.52.2(几=3.0 5.02. 强度条件-16 -C7maxI<yA八maxpsin Ptg:pNmax < L- IA（1）求 Ni =轴力N2 =（2）求内力（ACTi =-.A sin 口1 和 A2 Ip为横截'2 = 一 At如面积）(3)由校核强度np71强度条1件能解_决的几选择截面尺寸A *类问题刁确定承载能力FN =A。&

14、#167; 2.8轴向拉伸或压缩时的变形1. 拉压杆的轴向变形与胡克定律；-E ；(8)J =氏1EA2. 拉压杆的横向变形与泊松比Lb =n -b0b' I z =E3. 叠加原理几个载荷同时作用产生的效果，等于各载荷单独作用产生的效果的总和。§ 2.9轴向拉伸或压缩时的应变能§ 2.10拉伸超静定问题§ 2.11温度应力和装配应力§ 2.12应力集中的概念原孔洞应力向两旁分配，造成应力分 配不均匀。max二、-n -n (b-d)、.应力系中系数 K，名义应力cn。拉力为F，板后为6，板宽为b ,孔径为d 。1.应力集中对构件强度的影响塑性材

15、料：由于塑性引起应力均布，对静强度极限影响不大。疲劳强度，应力集中影响§ 2.13剪切和挤压的实用计算第3章扭转班书昊第3章扭转§ 3.1 概述受扭杆通常称为轴。工程实例：方向盘轴、传动轴。(力学特征)外力特征：力偶矩矢/杆轴。变形特征：各轴线仍直，各横截面绕轴作相对转动。§ 3.2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图1. 功率与扭力偶的关系P=M，= MnLm =9549np(1)2. 扭矩与扭矩图类似与轴力图，规定扭矩 T的矢量方向与外法线的方向一致时为正(右手螺旋法则)T = M(2)3. 解题步骤参见P171-172页例题：(1 )计算扭力偶(外力偶)；(2) 分段

16、计算扭矩(轴的内力)；(3) 画扭矩图。§ 3.3 纯剪切1.薄壁圆管的扭转应力在圆管横截面上的各点处，仅存在垂直于半径方向的切应力T,而且它们沿圆周大小不变；管壁很薄，近似认为切应力沿壁厚方向(半径方向)均匀分布。精确分析表明：当R0/10时，上式具有足够的精度，误差不超过4.53%,此时，可以采用该式计算应力。由于剪应力均布的假定对所有匀质材料制成的薄壁圆管均成立，故公式(4-9)对于弹性、非弹性；大变形、小变形、各向同性、各向异性均成立。2 -=0 .、.岳W -2代'.T2.切应力互等定理3. 切应变剪切胡克定律2(1+。各向同性材料只有两个相互独立的弹性常数；钢的剪

17、切模量G = 75- 80GPa，铝(铝合金)的剪切模量约为 G =2630GPa。4. 剪切应变能§ 3.4圆轴扭转横截面上的应力1.扭转切应力的一般公式变形后，横截面保持平面，其形状、大小和间距不变，且半径为直线。显然，根据本 假定可知：圆轴纵向没有变形，因此，横截面没有正应力。横截面变形为横截面间相对转 动一角度，其变形为垂直半径剪切转动，即横截面内存在垂直半径的剪切应变。（1）几何方面外部现象各圆周线形状不变，仅 绕轴线作相对转动；小变形时，各圆周线的 大小与间距均不改变；小变形时，纵线转动一 角度。可以设想圆轴由许多薄壁圆管组成，相邻管变形协调。内部变形假定根据所观测外部现

18、象，对内 部变形作如下假设：平面假设：横截面绕轴 线作刚性转动。（横截 面仍保持为平面，其形 状和大小均不改变，半 径仍为直线）各截面之间间距保持 不变。物理方面、d=GP p为横截面dx上任一点到轴线的距离， Ep为 该点的剪应力。上式表明：扭转 剪应力随p线性变化（如图示）P=0的点，即原点处剪应力为0，轴边缘剪应力最大，半径为P 圆圈上剪应力相同；剪应力垂直d半径。（G ,吊数，T p dx沿半径线性变 化，丁 pL半（3）静力学方面由于横截面各点剪应力的合力构成其内力。即剪应力的合力偶等于扭矩。:dA = TA将物理方程代入上式，即将式 （c）代入G d 2dA = Tdx a攵工dx

19、 GI °p、2,aTI p =P2dA 极惯性矩丁 p =1 p式中|p =P2dA是一个纯几何量，称为截面的极惯性矩，由此式可以看出：Ip是与材料A力学性能无关的几何性质参数，只与截面几何尺寸有关。教材294给出了实心圆轴的即惯性矩| np 32能更充分地利用材料。d4,空心圆轴4.4I p = （D - d）。应该指出的是：米用仝心圆轴2. 最大扭转切应力max =（工）max = "Wpn24TR T§ 3.5圆轴扭转时的变形1. 圆轴扭转变形微段dx的扭转变形为()d = - dxGI相距l的两横截面间的扭转角:JxGIp()*l2.圆轴扭转刚度条件()

20、3.例题分析§ 3.6圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形1.弹簧丝横截面上的应力8FD .4c -10.615()max = k 3 - , k =,4c 4 c2.弹簧的变形刚度C =Gd464R3n()例题3.6 （参见F93页）§ 3.7非圆截面杆扭转的概念矩形截面（宽b,高h）：()T-max =2:hbG -hb3GIt -1对于狭长矩形，a =P -，所以3T 、max =1时23 >中=TlG-33第4章弯曲内力班书昊第4章弯曲内力§ 4.1 概述弯曲：以轴线变弯为主要特征的变形方式。梁：以弯曲为主要变形的杆件。§ 4.2受弯杆件的简化1

21、.支座形式与支反力(1)活动皎支座(2)固定皎支座2品(3)固定端-33 -2. 梁的类型(1) 简支梁(2) 悬臂梁(3) 外伸梁禹禹§ 4.3 剪力与弯矩1. 剪力与弯矩的计算步骤(1) 采用截面法，假想切开梁；(2) 根据梁的平衡条件，列平衡方程(设正法)'、Fy =0= Q' Mc =0= M(2)2. 例题分析参见P|96197页。§ 4.4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图1.剪力、弯矩方程Q =Q(x)M =M (x)2.剪力、弯矩图(1) 正符号的规定使微段具有顺时针方向 转动趋势的剪力为正+；使微段弯曲呈凹形的弯矩为正（2）剪力弯矩图的绘制步骤

22、（参见轴力图、扭矩图）3. 例题分析解：（1）求支反力一 P' M B = 0 RA =B4（2）建立Q, M方程（截面法）AB 段：Q1 = RaIA：M = RAx1II4Px1Rb5Px 4aBC段：Q2 = Px2 aM 2 = - Px?也可以只建一个坐标系,BC 段：Q2 = P(4ax5ax14a & x1 £ 5a（3）画图+M图§ 4.5 剪力、弯矩与载荷之间的微分关系1. 剪力、弯矩与载荷的关系、dMQ(X)fq(x)孥 dxdQ dx(6)2. 利用微分关系绘制剪力、弯矩图(1) 无分布载荷作用的“梁段”由丁 q(x)=0，所以，Q(x

23、)=C , M(x)=Cx+b 为直线。(2) 均布载荷作用的“梁段”19由丁 q(x) =C，所以，Q(x)=Cx+n 为倾斜直线，M(x)=-Cx +bx+b22为抛物线。其中，q(x)=C0，弯矩图为凹曲线(开口向上);q(x)=C<0, 弯矩图为凸曲线(开口向下)。3. 例题分析§ 4.6平面曲杆的弯曲内力第5章弯曲应力班书昊第5章弯曲应力§ 5.1纯弯曲基本变形：拉压、扭转和弯曲组合变形对称弯曲：外力作用在纵向对称面内，则梁的变形对称于纵向对称面。对称纯弯曲-41 -§ 5.2对称弯曲正应力1. 基本假设(1)梁侧表面的横线仍为直线，仍与纵向相交，

24、只是横线间发生了相对转动;几何现象(2) 纵线变为弧线，切一侧的纵线伸长，另一侧的纵线缩短；(3) 在纵线伸长区，梁的宽度减小；在缩短区，梁的宽度增加,类似与轴向拉压的变形。平面假设 变形后，横截面仍为平面，并与纵线正交。单向受力梁内各纵向“纤维”仅承受轴向拉压应力。假设(1)(2)(3)(4)(5 )中性层：长度不变的一层(过度层) 。中性轴：中性层与横截面的交线。2. 弯曲正应力一般公式y(1) 几何方面8=石_ y(2) 物理方面b=EB；dA =0e、A(3) 静力学万面a 二 ydA = Miz =" y*A1 _ M 、下=瓦M静力学一般公式'、 =ry1 z3.

25、 最大弯曲正应力-M"-'max - ymaxzWz卜，其中,Wz抗弯截面系数(6)Wzy max§ 5.3横力弯曲时的弯曲正应力横力弯曲与正弯曲相比有些差异，但正应力计算相差不大。_M、-max - |ymaxWz卜，其中，Wz抗弯截面系数(6)ymax-max<bmax§ 5.4对称弯曲切应力"y） = W(12)Izb 、，、.* Sz（仍）=J y dACO 1.矩形截面梁的弯曲切应力(y)23Q 4y(i-Y)2bh h2y =0,3 QT =max2 bh(13)2. 工字形薄壁截面梁的弯曲切应力Q 2222(y b(ho -h

26、 ) 、(h -4y ) 8lz°(14)y=±h/2 ,7= %in ； y=0, 7= Tmax3. 弯曲正应力与弯曲切应力比较对于矩形截面梁：maxa(15)因此，对于细长梁，梁的最大弯曲正应力远远大于弯曲切应力。§ 5.5关于弯曲理论的基本假设（略）§ 5.6提高弯曲强度的措施1.梁的合理截面形状采用较小的A获得具有较大抗弯截面系数 WZ的截面。2.变截面梁与等强度梁maxM (x) W(x)=岳(18)3. 梁的合理受力合理安排梁的约束与加载方式也可以提高梁的强度（减小梁内的最大弯矩）第6章弯曲变形班书昊第6章弯曲变形-46 -§ 6

27、.1概述扰曲轴、扰度与、扰曲轴方程、转角 0的定义。，八"X3上dx§ 6.2扰曲轴近似微分方程(1)1 -M7 = EI13(2)(3)扰曲轴近似微分方程为:2d - M (x)dx2 一 EI广0, y“<0,M > 0,(4)§ 6.3用积分法求弯曲变形(5)(6)M (x) 八 dx CEIM (x)；.? x = g dxdx Cx DC、D为积分常数，它由位移边界与连续条件确定。边界条件：(1)固定端：与=e =0；(2)皎支座：CC = 0;(3 )连续条件:y芝=0yC = o 眨A右="左右左右口左 口右yB=yBVg =V

28、ge - = a 八GG§ 6.4用叠加法求弯曲变形1.叠加法例1： EI=常数，求yA, 9 Af,% 仇4口口 11 口 az,土nil nirn分三个载荷叠加（查表）2.逐段分析求和法Pa5Pa2EI J6EI%膈MoM°lEIMol22EIPPl22EI3EIqql3ql46EI8EIE-23MolPl _ qlEI2EI 6EI.23. 4M olPlql2EI 3EI8EI§ 6.5简单超静定梁例题分析§ 6.6提高弯曲刚度的一些措施1. 降低弯矩的数值2. 选择合理的截面形状第7章应力状态分析班书昊-53 -§ 7.1§

29、 7.2例题分析§ 7.31.2.第7章 应力和应变分析强度理论概述u；-max 危卜=一n-max - =一n(T(1)二向、三向应力状态的实例（参加P215页）二向应力状态分析-解析法平面应力状态斜截面应力L =y L cos2- - xsin 22x'"L.=sin2 - xcos2-2x平面应力状态的极值应力了 max L 'y r =2maxminCT2 y)2;(2)(3)(5)(6)3.纯剪切状态的最大应力(a = -45°)(7)Wmax = Wmin = 7 ?§7.4二向应力状态分析一图解法1.应力圆(4)2.应力圆的

30、应用§ 7.5三向应力状态1.三向应力圆2.最大应力/ 七. J 2/ c2；y 22(")(：.-°) =():cr =amax 1(8)min 3J 一七 max-23.主应力切应力为°的截面称为主平面。主平面微体主应力通常用代数值表示：C-1 _。2 Ml%I 23（1）单向应力状态（简单应力状态）（2）二向应力状态（3）三向应力状态§ 7.6位移与应变分虽（略）§ 7.7平面应变状态分析（略）§ 7.8 广义胡克定律1'头=吼一+s）1 _.=巨坤y 一 "（林+%）（9）1矣=E电 一 "

31、;（Oy +脂§ 7.9复杂应力状态的应变能密度3V/ 二二；"V 2 m m|1 + p2 工22 °Vd =-（"二3）（。1 -七）（了 2 -。3）V ； f Vd§ 7.10强度理论概述杆件轴向拉压时的强度条件Fm厂，（十）max 习口1（1）An强度理论：长期以来，人们根据对材料失效（破坏现象）的分析与研究，提出了种种关于 材料破坏规律的假说或学说。§ 7.11四种常用强度理论1. 强度理论第一强度理论b。1 W(2)n。为材料单向拉伸时的许用应力。第二强度理论最大拉应变达 罗到材料单向拉伸断裂时的最大拉应变&1u

32、 ,材料就发生断裂。1 -g +%) W。(3)第三强度理论D %2(4)第四强度理论(5)法(。1 一。2)2 +(。3 一。2)2 +(。1 电)2十2. 脆性与塑性状态(1) 脆性材料：应用第一或第二强度理论(2) 塑性材料：应用第三或第四强度理论3. 单向与纯剪切组合应力状态的强度条件-11>=-32(二二二-2 4.2)分别应用第三强度理论、第四强度理论：(6)；了3 =%乌2 . 4 2 £二了r4 = 了2 3 2 £二§ 7.12莫尔强度理论5m = 5 -。3H()L§ 7.13构件含裂纹时的断裂准则设穿透平板厚度的裂纹长为a,应

33、力强度因子 汀代，则构件含裂纹时的断裂准则：K| = 口= %()Kic为断裂韧性，是材料固有的力学性能。第8章复杂应力状态强度分析班书昊-55 -§ 8.1§ 8.2§ 8.3第8章组合变形组合变形与叠加原理、=C1F1 C2F2拉压与弯曲的组合-maxFn 工 M max -A W偏心压缩和截面形心(略)§ 8.4对于塑性材料圆截面轴：Jm2+t2、-十WM 2 0.75T2 -*扭转和弯曲的组合；r4 =W其中，W为抗弯截面系数。§ 8.5组合变形的普遍情况；M f)2 4 冬 *；M n)2 饵；U(1)(2)(7)(8)第9章压杆稳定

34、问题班书昊-64 -第9章压杆稳定§ 9.1概述1.意义满足强度要求的细长杆可能发生破坏！十八世纪钢结构出现后，几座大桥失稳倒塌，近年来北京某施工队脚手架失稳倒塌。Euler(1707-1783)首先从理论上解决了弹性压杆稳定问题，100多年后才找到实际应用。2. 概念(1)刚体(2)弹性体PX1稳定、不稳定、临界平衡，按受微干扰后能否回到平衡位置来区分!3. 分析方法(1)静力平衡分析微扰动后，系统的合力(合力矩)是否指向平衡位置?r > 0稳定c&i - pK = 0临界pcr = cl< 0不稳定P由小T大，系统从稳定T不稳定(2)能量法微扰动后，应变能增加，AU是否大于外力功AW> 稳定AU <= AW 临界< 不稳定1 2临界一c 2 = P 1 - cos ： l2 cr122= % ；l (COS"级数展开)Cl = Pcr本章利用静力平衡研究弹性杆的稳定问题。§ 9.2两端皎支细长压杆的临界压力压杆扰曲轴方程 缶=o(x)满足下述关系式:2d - M (x)dx2