专题五：均值不等式与最值、放缩法

1、.专题五：均值不等式与最值、放缩法基础梳理1常用的基本不等式和重要的不等式：（ 1） a R,a 20, a0 当且仅当 a0取“ ”号； （ 2） a,bR,则 a2b22ab ；（ 3） a, b,c R ，则 a2b2c2abbcca 。2均值不等式：两个正数的均值不等式：abab ；三个正数的均值不等式：a b c3abc ；23n 个正数的均值不等式：a1a2ann a1 a2 an 。n3四种均值的关系：（ 1）两个正数a、b 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数之间的关系是：2ababa 2b21221ab（ 2）三个正数 a、b、c 的调和平均数几何平均数算术平均数

2、平方平均数：1313 abca bca2b2c2133abc小结：几何平均数”的多种表达形式：“算数平均数整式形式根式形式分式形式倒数形式a2b22abababbaa12(a0)aba, bR2aab22(2)(a,bR )aba12(a0)(a, b同号）a333abc(ab)(11)4(a,bR )abc3abc3abcaba11abc( a bc )3a,b, c R3b(ab19(a,b, cR)a2c)(b)3bac(a, b异号）(a,b,cR )4. 均值不等式求最值：（ 1）如果 x, yR, xy如果 x, y, z R , xyz（ 2）如果 x, yR, x如 果 x,

3、y, zR ,x_。P（定值），由 _，当 xy 时， xy 有 _；P（定值），由 _，当 xy z时，xyz 有 _；yS （定值），由 _，当 xy 时， xy 有 _；yz（S定 值 ）， 由 _ ， 当 xyz时 ， xyz 有利用均值不等式求最值必须注意：“ 一正、二定、三相等 ”。三者缺一不可！;.能力巩固考点一：均值不等式与最值1. 已知 x, y, zR ， x2 y3z0 ，则 y2 的最小值 _ 。xz2设 x0, y0, x y 1 ， xy 最大值是（）A. 1B.223C.D.223. 已知 a0, b0 ，且 ab2 ，若 Sa2b22 ab ，则 S 的最大值为

4、 _ 。4. 已知 x, y 都在区间 (2,2) 内，且 xy1，则函数 u492 的最小值是（）x29y4A 8B 24C 12D 12511755. 若 a 是2 b 与 2b 的等比中项，则2ab的最大值为（）| a | b |A. 2B. 1C.22D.246设 M 是ABC 内一点, 且 ABAC23,BAC30 , 定义 f ( M )(m, n, p), 其;.中 m、n、p 分别是MBC , MCA , MAB 的面积， 若 f ( M )114( , x, y), 则x的最小值是2y_ 。7若 a,b 均为正实数，且abam b 恒成立，则m的最小值是 _。变式：（ 1）若

5、不等式 b2a b22 对任意正实数 a 、 b 都成立，则的最大值是（）aA 1B 22C 3D 5（ 2）若对于任意的实数a1 且 b1 ，不等式 a2b2t( ab2) 恒成立，则实数t 的最大值是_。8. 设 x, y 都是整数，且满足xy 22 x y ，则 x2y 2 的最大可能值为（）A. 32B. 25C. 18D. 169. 函数 f x2 x4x的值域为（）A. 2,4B.0, 25C. 4,2 5D. 2,2 5;.练习：使关于x 的不等式x 36 xk 有解的实数k 的最大值是（）A 63B 3C 63D 610已知 a,b,cR 且 a(3a 4b2c)48 bc ，

6、则 3a2bc的最小值为（）3A.32B.22C.23D.43练习：若 a, b, c0 且 a(abc)bc423 ，则 2abc 的最小值为 _ 。考点二：放缩法与不等式例 1.（ 1）求证：11112 ；变式：11115122232n2122232n2。3;.11171（2） 152(2 n 1) 26( n 2, n N ) ；322(2n 1)111（ 3） 2 n 132( n 1 1) ；2n（ 4）111 23115 ；212212n 1 3（5） 1111（其中 n! n (n 1) (n 2)321）。！223n!1111（ 6）求证： (1+ )(1+)(1+) (1+)

7、2n 1( n N ) ；1352n-1;.（ 7）证明：当 n 1,nN * 时， n1 1111n 。22342n1例 2设各项为正的数列nan 1(n 1)an1,令an 满足： a1 1,an 1an2 a1111( n 2).b1 a1, bn n222a2a3an 1( ) 求 an;11)(114( n1).( ) 求证： (1)(1b2)b1bn;.例 3. 在数列 a中，已知 a2 ， a a2aa，n N。n1n 1 nnn 1（ 1）证明数列 11 为等比数列，并求数列 an 的通项公式；ann1) 3， nN 。（ 2）求证：ai (aii 1例 4在数列 an 中， a1 1,3anan 1anan 10( n2) ，设数列 ba ， bn 的前 n 项nn和为 Tn 。（ 1）若 an an 10 对任意的正整数n 恒成立，求实数的取值范围；（ 2）求证：对任意n 2 的整数， b2b3. bn2 (3n 2 1) ；nN * ， Tn3M ，如（ 3）是否存在实数M，使得对任何的M 恒成立，如果存在求出最小的果不存在请说明理由。;.例 5. 已知数列an 满足 a1 =-1 ， an 1(3n 3)an4n6